Ebenengleichungen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analytische Geometrie (Technik)
Eine Gerade braucht einen Punkt und eine Richtung. Eine Ebene braucht einen Punkt und zwei Richtungen. Es gibt drei gebräuchliche Darstellungen – wir bauen sie aufeinander auf und wandeln sie ineinander um.
Durchgehendes Beispiel. Die Ebene \(E\) durch \(A(1\mid 0\mid 0)\), \(B(0\mid 2\mid 0)\) und \(C(0\mid 0\mid 3)\).
1 Parameterform
Parameterform der Ebene. Mit Stützvektor \(\vec a\) und zwei nicht kollinearen Spannvektoren \(\vec u,\vec v\):
\(E:\ \vec x=\vec a+s\cdot\vec u+t\cdot\vec v,\quad s,t\in\mathbb{R}\)
Stufe 2 · hilfsmittelfreiAus drei Punkten aufstellen
Beispiel A. Ebene durch \(A(1\mid 0\mid 0)\), \(B(0\mid 2\mid 0)\), \(C(0\mid 0\mid 3)\).
| \(\vec u=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\) | |
| \(\vec v=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\) | |
| \(E:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\) |
2 Normalenvektor und Normalenform
Ein Normalenvektor \(\vec n\) steht senkrecht auf der Ebene, also senkrecht auf \(\vec u\) und \(\vec v\). Ob zwei Vektoren senkrecht sind, prüft man mit dem Skalarprodukt:
\(\vec a\circ\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\qquad\text{und}\qquad \vec a\perp\vec b\ \Leftrightarrow\ \vec a\circ\vec b=0\)
Für den Normalenvektor gilt also \(\vec n\circ\vec u=0\) und \(\vec n\circ\vec v=0\).
Stufe 3 · AusbauNormalenvektor per Kreuzprodukt
Am schnellsten liefert das Kreuz- bzw. Vektorprodukt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht:
\(\vec u\times\vec v=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}\)
Beispiel B. Normalenvektor der Ebene aus Beispiel A (\(\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\)):
| \(n_1=u_2v_3-u_3v_2=2\cdot 3-0\cdot 0=6\) | |
| \(n_2=u_3v_1-u_1v_3=0\cdot(-1)-(-1)\cdot 3=3\) | |
| \(n_3=u_1v_2-u_2v_1=(-1)\cdot 0-2\cdot(-1)=2\) | |
| \(\Rightarrow\ \vec n=\vec u\times\vec v=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\) | Probe: \(\vec n\circ\vec u=0\), \(\vec n\circ\vec v=0\) |
Normalenform
| \(E:\ \begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=0\) |
3 Koordinatenform
Stufe 3-4 · PrüfungParameterfreie Darstellung
Koordinatenform. \(E:\ a\,x_1+b\,x_2+c\,x_3=d\). Die Koeffizienten \(a,b,c\) sind die Komponenten des Normalenvektors \(\vec n\); die Zahl \(d\) erhält man durch \(d=\vec n\circ\vec a\) (Stützpunkt einsetzen).
Beispiel C. Aus \(\vec n=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\) und dem Stützpunkt \(A(1\mid 0\mid 0)\):
| \(6x_1+3x_2+2x_3=d\) | Koeffizienten aus \(\vec n\) |
| \(d=\vec n\circ\vec a=6\cdot 1+3\cdot 0+2\cdot 0=6\) | |
| \(E:\ 6x_1+3x_2+2x_3=6\) |
Probe mit \(C(0\mid 0\mid 3)\): \(6\cdot 0+3\cdot 0+2\cdot 3=6\) ✓ – \(C\) liegt in \(E\).
Aus der Koordinatenform liest man den Normalenvektor sofort ab: \(\vec n=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\).
SonderfallAchsenabschnittsform
Teilt man die Koordinatenform durch \(d\) (mit \(d\neq0\)), erhält man die Achsenabschnittsform. Aus ihr liest man direkt die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte) ab:
\(\dfrac{x_1}{s_1}+\dfrac{x_2}{s_2}+\dfrac{x_3}{s_3}=1\)
Dabei sind \(s_1,s_2,s_3\) die Achsenabschnitte: Die Ebene schneidet die \(x_1\)-Achse bei \((s_1\mid0\mid0)\), die \(x_2\)-Achse bei \((0\mid s_2\mid0)\) und die \(x_3\)-Achse bei \((0\mid0\mid s_3)\).
Beispiel D. Aus \(E:\ 6x_1+3x_2+2x_3=6\) (durch \(6\) teilen):
| \(\dfrac{6x_1}{6}+\dfrac{3x_2}{6}+\dfrac{2x_3}{6}=1\ \Rightarrow\ \dfrac{x_1}{1}+\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{x_3}{3}=1\) |
Also \(s_1=1,\ s_2=2,\ s_3=3\): Die Ebene schneidet die Achsen in \((1\mid0\mid0)\), \((0\mid2\mid0)\), \((0\mid0\mid3)\) – genau die drei Punkte \(A,B,C\), mit denen wir die Ebene aufgestellt haben. Damit lässt sich die Ebene schnell skizzieren.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Zwei kollineare (parallele) Spannvektoren wählen.
✓ Richtig
\(\vec u\) und \(\vec v\) müssen in verschiedene Richtungen zeigen – sonst spannen sie keine Ebene auf.
✗ Falsch
Beim Kreuzprodukt die mittlere Komponente falsch: \(u_1v_3-u_3v_1\).
✓ Richtig
Mittlere Komponente ist \(u_3v_1-u_1v_3\) (Vorzeichen beachten – die Mitte ist „vertauscht“).
✗ Falsch
In der Koordinatenform \(d\) vergessen oder \(d=0\) setzen.
✓ Richtig
\(d=\vec n\circ\vec a\) – Stützpunkt einsetzen. Nur wenn die Ebene durch den Ursprung geht, ist \(d=0\).
✗ Falsch
Skalarprodukt und Kreuzprodukt verwechseln.
✓ Richtig
Skalarprodukt ergibt eine Zahl (=0 bei Orthogonalität); Kreuzprodukt ergibt einen Vektor (den Normalenvektor).
Auf einen Blick
- Parameterform: \(\vec x=\vec a+s\vec u+t\vec v\) (Punkt + zwei nicht kollineare Richtungen).
- Skalarprodukt: \(\vec a\circ\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\); \(=0\Leftrightarrow\) orthogonal.
- Normalenvektor: \(\vec n=\vec u\times\vec v\); Normalenform \(\vec n\circ(\vec x-\vec a)=0\).
- Koordinatenform: \(a x_1+b x_2+c x_3=d\) mit \((a,b,c)=\vec n\) und \(d=\vec n\circ\vec a\).
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Trainieren Sie Ebenen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform sowie das Kreuzprodukt – für die FOS/BOS 12 Bayern (Technik).