Schnittwinkel und Abstände
Mathematik FOS/BOS · Bayern · Analytische Geometrie
Schneiden sich zwei Objekte, fragt man nach dem Schnittwinkel; liegen sie getrennt, nach dem Abstand. Beides berechnet man mit Skalar- und Vektorprodukt.
1 Schnittwinkel
In allen Formeln steht im Zähler der Betrag des Skalarprodukts – so erhält man stets den spitzen Schnittwinkel.
| Fall | Formel |
|---|---|
| Gerade – Gerade (Richtungsvektoren \(\vec u,\vec v\)) | \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec u\circ\vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}\) |
| Ebene – Ebene (Normalenvektoren \(\vec n_1,\vec n_2\)) | \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\circ\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}\) |
| Gerade – Ebene (\(\vec u\) und \(\vec n\)) | \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec u\circ\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}\) (hier Sinus!) |
Stufe 3-4 · BeispieleWinkel berechnen
Beispiel A (Gerade–Gerade). \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}\).
| \(\cos\alpha=\dfrac{|1\cdot0+0\cdot(-1)+3\cdot2|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{50}}\) | |
| \(\alpha=\cos^{-1}\!\left(\tfrac{6}{\sqrt{50}}\right)\approx 32{,}0^\circ\) |
Beispiel B (Ebene–Ebene). \(\vec n_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec n_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\).
| \(\cos\alpha=\dfrac{|1|}{1\cdot\sqrt{2}}=\tfrac{1}{\sqrt2}\ \Rightarrow\ \alpha=45^\circ\) |
2 Abstand Punkt – Ebene (Hesse’sche Normalenform)
Für die Ebene \(E:\ a x_1+b x_2+c x_3=e\) mit Normalenvektor \(\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) und einen Punkt \(P(p_1\mid p_2\mid p_3)\):
\(d(P,E)=\dfrac{|a\,p_1+b\,p_2+c\,p_3-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Man setzt den Punkt in die linke Seite ein, zieht \(e\) ab, nimmt den Betrag und teilt durch \(|\vec n|\).
Beispiel C. \(E:\ 2x_1+2x_2+x_3=6\), Punkt \(P(4\mid 1\mid 5)\).
| \(|\vec n|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3\) | |
| \(d=\dfrac{|2\cdot4+2\cdot1+1\cdot5-6|}{3}=\dfrac{|8+2+5-6|}{3}=\dfrac{9}{3}=3\) | [LE] |
3 Abstand Punkt – Gerade
Für die Gerade \(g:\ \vec x=\vec a+\lambda\vec u\) und einen Punkt \(P\) (mit \(\vec{AP}=\vec p-\vec a\)):
\(d(P,g)=\dfrac{|\vec{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\)
Alternativ über den Lotfußpunkt (Hilfsebene senkrecht zu \(\vec u\) durch \(P\)).
Beispiel D. \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\,\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), Punkt \(P(0\mid 3\mid 4)\).
| \(\vec{AP}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix},\quad \vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) | |
| \(\vec{AP}\times\vec u=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix},\quad |\vec{AP}\times\vec u|=\sqrt{0+16+9}=5\) | |
| \(d=\dfrac{5}{|\vec u|}=\dfrac{5}{1}=5\) | [LE] |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Beim Schnittwinkel den Betrag im Zähler weglassen (negativer \(\cos\), stumpfer Winkel).
✓ Richtig
Immer \(|\vec u\circ\vec v|\) – das liefert den spitzen Schnittwinkel.
✗ Falsch
Bei Gerade–Ebene mit \(\cos\) statt \(\sin\) rechnen.
✓ Richtig
Gerade–Ebene: \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec u\circ\vec n|}{|\vec u||\vec n|}\) (Winkel zur Normalen ist das Komplement).
✗ Falsch
Beim Punkt-Ebene-Abstand das Teilen durch \(|\vec n|\) vergessen.
✓ Richtig
Die Formel ist normiert (Hesse): durch \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) teilen.
✗ Falsch
Abstand Punkt–Gerade mit dem Skalarprodukt statt Kreuzprodukt.
✓ Richtig
\(d=\dfrac{|\vec{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\) – das Vektorprodukt.
Auf einen Blick
- Winkel G/G, E/E: \(\cos\alpha=\dfrac{|\ldots|}{|\,||\,|}\); G/E: \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec u\circ\vec n|}{|\vec u||\vec n|}\).
- Punkt–Ebene: \(d=\dfrac{|a p_1+b p_2+c p_3-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) (HNF).
- Punkt–Gerade: \(d=\dfrac{|\vec{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\).
- Immer: Betrag im Zähler → spitzer Winkel; Abstände sind positiv.
Jetzt üben
Trainieren Sie Schnittwinkel und Abstände (Punkt–Ebene, Punkt–Gerade) – für die FOS/BOS Bayern.