Rechnen mit negativen Zahlen: die Vorzeichenregeln

Darum geht es in diesem Lernbereich

1. Rationale Zahlen mit Vorzeichen
2. Addition rationaler Zahlen
3. Subtraktion rationaler Zahlen
4. Multiplikation rationaler Zahlen
5. Division rationaler Zahlen
6. Die Vorzeichenregeln
7. Zahlengerade und Rechenpfeile
8. Überschlagsrechnungen
9. Sachaufgaben zu Guthaben, Schulden und Temperatur
10. Rechnen mit Brüchen und Vorzeichen (nur M-Zug)

Merke

Ein Minuszeichen kann zwei ganz verschiedene Dinge bedeuten:

• ein Vorzeichen: Es gehört zur Zahl. \( -5 \) ist eine Zahl links von der Null.
• ein Rechenzeichen: Es sagt, was zu tun ist. \( 8 – 5 \) heißt abziehen.

Damit es eindeutig bleibt, setzt man Vorzeichen in Klammern: \( 8 + (-5) \) oder \( 8 – (-5) \).

Merke: die beiden Klammerregeln

\( a + (-b) = a – b \)     Plus und Minus ergeben Minus

\( a – (-b) = a + b \)     Minus und Minus ergeben Plus

Anschaulich: Schulden wegnehmen ist dasselbe wie Geld bekommen. Deshalb wird aus zwei Minus ein Plus.

Beispiel: addieren und subtrahieren

Merke: die Vorzeichenregel

Kurz: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene ergeben Minus.

Bei mehreren Faktoren zählst Du einfach die Minuszeichen: gerade Anzahl bedeutet Plus, ungerade Anzahl bedeutet Minus.

Beispiel: multiplizieren und dividieren

Achtung: Plus und Mal haben verschiedene Regeln

\( (-3) + (-4) = -7 \)   aber   \( (-3) \cdot (-4) = +12 \)

Beim Addieren gehst Du weiter nach links – das Ergebnis wird kleiner. Beim Multiplizieren gilt die Vorzeichenregel. Schau also immer zuerst, welches Rechenzeichen dasteht.

Beispiel: verbundene Rechnungen

a) \( -8 + 3 \cdot (-5) \)

\( = -8 + (-15) = -23 \)

b) \( (-6) \cdot (-2) – 20 : (-4) \)

\( = 12 – (-5) = 12 + 5 = 17 \)

c) \( (-4) \cdot \left(7 – 10\right) \)

\( = (-4) \cdot (-3) = 12 \)

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich – und bei jedem Schritt auf das Vorzeichen achten.

Beispiel 1: Konto

Ein Konto ist mit \( 45\ \text{€} \) im Minus. Drei Wochen lang zahlt jemand je \( 20\ \text{€} \) ein. Wie ist der Stand danach?

Antwort: Auf dem Konto sind danach \( 15\ \text{€} \) Guthaben.

Beispiel 2: Temperatursturz

Um 14 Uhr sind es \( 9\ ^\circ\text{C} \). In der Nacht fällt die Temperatur um 15 Grad. Wie kalt wird es?

\( 9\ ^\circ\text{C} – 15\ \text{Grad} = -6\ ^\circ\text{C} \)

Antwort: Es wird \( -6\ ^\circ\text{C} \) kalt.

Und umgekehrt: Wie groß war der Temperaturunterschied? Von \( -6 \) bis \( 9 \) sind es \( 6 + 9 = 15 \) Grad – ein Unterschied ist immer positiv.

Beispiel 3: Tauchgang

Ein Taucher ist auf \( -18\ \text{m} \). Er steigt um 7 m auf, dann taucht er noch einmal 12 m ab. Auf welcher Tiefe ist er?

\( -18\ \text{m} + 7\ \text{m} – 12\ \text{m} = -23\ \text{m} \)

Antwort: Er befindet sich auf \( -23\ \text{m} \), also 23 m unter der Wasseroberfläche.

Merke: die Vorzeichenregeln gelten genauso für Brüche

An den Regeln ändert sich nichts. Neu ist nur, dass Du zusätzlich die Bruchrechnung aus Klasse 6 brauchst. Arbeite deshalb in zwei getrennten Schritten:

1. Vorzeichen bestimmen – Minuszeichen zählen, gerade bedeutet Plus.
2. Mit den Beträgen rechnen – erweitern, kürzen, multiplizieren wie gewohnt.

Beispiel: alle vier Rechenarten

a) Addieren – erst gleichnamig machen:

\( -\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{4} \)

b) Multiplizieren – zwei Minus ergeben Plus, dann Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

c) Dividieren – mit dem Kehrbruch multiplizieren, ein Minus bleibt ein Minus:

d) Zwischen Bruch und Dezimalzahl wechseln – nimm die Form, in der die Rechnung leichter fällt:

\( -0{,}75 + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5 \)

Tipp: Beim Addieren und Subtrahieren ist die Dezimalform oft schneller, beim Multiplizieren und Dividieren fast immer die Bruchform.

Die Formeln dieser Seite auf einen Blick

Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.