Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 7 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 3: Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen · LehrplanPLUS
Maßstab, Dreiecke konstruieren und Prismen erkennen
Ein Bauplan zeigt ein ganzes Haus auf einem Blatt Papier. Ein Dachstuhl besteht aus Dreiecken. Eine Regenrinne ist ein Prisma. In diesem Lernbereich lernst Du das Handwerkszeug dafür: sauber konstruieren, mit dem Maßstab umrechnen und räumliche Körper erkennen.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Die Senkrechte durch einen Punkt
- Die Mittelsenkrechte
- Abstände bestimmen
- Winkelhalbierende konstruieren (nur M-Zug)
- Der Maßstab
- Vergrößern und Verkleinern
- Dreiecksarten
- Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
- Dreiecke fachgerecht beschriften
- Dreieckskonstruktion SSS
- Dreieckskonstruktion SWS
- Dreieckskonstruktion WSW
- Die Innenwinkelsumme im Dreieck
- Prismen erkennen
- Netze und Schrägbilder von Prismen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
Regelklasse oder M-Zug? In Jahrgangsstufe 7 ist dieser Lernbereich für beide Züge gleich. Diese Seite gilt also für Dich, egal in welcher Klasse Du bist. Der M-Zug hat hier einen Abschnitt zusätzlich – er ist unten deutlich gekennzeichnet.
1. Die Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke steht senkrecht auf ihr und geht genau durch ihre Mitte. Jeder Punkt auf ihr hat zu beiden Endpunkten denselben Abstand – das brauchst Du später beim Konstruieren.
Merke
Wichtig: Die Zirkelspanne muss größer als die halbe Strecke sein und darf zwischen den beiden Bögen nicht verändert werden. Sonst schneiden sich die Bögen nicht oder an der falschen Stelle.
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird immer senkrecht gemessen – es ist die kürzeste Verbindung.
2. Der Maßstab
Merke
Der Maßstab \( 1 : 50 \) bedeutet: 1 cm auf dem Plan sind 50 cm in Wirklichkeit. Die erste Zahl gehört immer zur Zeichnung, die zweite zur Wirklichkeit.
Wirklichkeit \( = \) Planlänge \( \cdot \) Maßstabszahl
Planlänge \( = \) Wirklichkeit \( : \) Maßstabszahl
Kontrolle: Bei \( 1 : 50 \) wird verkleinert – die echte Länge muss also größer herauskommen als die im Plan. Bei \( 50 : 1 \) (etwa bei einer Uhrfeder) ist es umgekehrt.
Beispiel: Maßstab anwenden
a) Auf einem Grundriss im Maßstab \( 1:50 \) ist ein Zimmer 4 cm breit. Wie breit ist es wirklich?
\( 4\ \text{cm} \cdot 50 = 200\ \text{cm} = 2\ \text{m} \)
b) Auf einer Wanderkarte \( 1:200\,000 \) sind zwei Dörfer 3,5 cm voneinander entfernt. Wie weit ist es wirklich?
\( 3{,}5\ \text{cm} \cdot 200\,000 = 700\,000\ \text{cm} = 7\,000\ \text{m} = 7\ \text{km} \)
c) Eine Wand ist in Wirklichkeit 6 m lang. Wie lang wird sie im Plan \( 1:50 \)?
\( 600\ \text{cm} : 50 = 12\ \text{cm} \)
Tipp: Rechne immer zuerst alles in Zentimeter um, dann multiplizierst oder dividierst Du, und erst am Schluss wandelst Du in eine gut lesbare Einheit um.
3. Dreiecksarten und Beschriftung
Merke: die Beschriftungsregel
Ecken heißen \( A \), \( B \), \( C \) – immer gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite gegenüber einer Ecke bekommt den passenden Kleinbuchstaben: \( a \) liegt gegenüber \( A \). Die Winkel heißen \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) und liegen bei \( A \), \( B \), \( C \).
Innenwinkelsumme: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
Beispiel: fehlenden Winkel berechnen
a) Im Dreieck sind \( \alpha = 47^\circ \) und \( \beta = 68^\circ \). Wie groß ist \( \gamma \)?
\( \gamma = 180^\circ – 47^\circ – 68^\circ = 65^\circ \)
b) Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze \( 40^\circ \). Wie groß sind die beiden Basiswinkel?
Sie sind gleich groß. Zusammen betragen sie \( 180^\circ – 40^\circ = 140^\circ \):
\( 140^\circ : 2 = 70^\circ \)
Probe: \( 40^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ \) – stimmt.
4. Dreiecke konstruieren
Merke: drei Stücke genügen
| Fall | gegeben | Werkzeug |
|---|---|---|
| SSS | drei Seiten | Lineal und Zirkel |
| SWS | zwei Seiten und der Winkel dazwischen | Lineal und Geodreieck |
| WSW | eine Seite und die beiden Winkel daran | Lineal und Geodreieck |
Immer gleicher Ablauf: Planskizze zeichnen und beschriften → mit der gegebenen Seite beginnen → die übrigen Stücke antragen → Ergebnis nachmessen.
5. Prismen
Merke: woran Du ein Prisma erkennst
- Es hat zwei gleiche, parallele Grundflächen – oben und unten.
- Die Seitenflächen sind Rechtecke; zusammen bilden sie den Mantel.
- Der Körper ist überall gleich dick – man kann ihn sich als gestapelte Grundflächen vorstellen.
Benannt wird ein Prisma nach seiner Grundfläche: Dreiecksprisma, Fünfecksprisma. Quader und Würfel sind auch Prismen – mit rechteckiger beziehungsweise quadratischer Grundfläche.
Nur für den M-Zug: die Winkelhalbierende konstruieren
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M7. In der Regelklasse wird er nicht verlangt – Du kannst ihn überspringen, wenn Du im Regelzug bist.
Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile. Sie wird genauso konstruiert wie die Mittelsenkrechte – mit Zirkelbögen, die alle dieselbe Spannweite haben.
Merke
Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat zu beiden Schenkeln denselben Abstand. Das ist genau die Eigenschaft, die die Mittelsenkrechte für zwei Punkte hat – nur eben für zwei Geraden.
Wie bei der Mittelsenkrechten gilt: Die Zirkelspanne darf zwischen den beiden Bögen aus Schritt 2 nicht verändert werden.
Beispiel
a) Ein Winkel misst \( 76^\circ \). Wie groß sind die beiden Teilwinkel nach der Halbierung?
\( 76^\circ : 2 = 38^\circ \)
b) Im gleichschenkligen Dreieck fällt die Winkelhalbierende der Spitze mit der Mittelsenkrechten der Basis zusammen. Sie ist zugleich Höhe und Symmetrieachse – drei Linien in einer.
Kontrolle beim Konstruieren: Miss die beiden Teilwinkel mit dem Geodreieck nach. Weichen sie um mehr als ein Grad ab, hat sich die Zirkelspanne verändert.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 7, Regelklasse, Lernbereich 3 „Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.