Mathematik Realschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 1 „Rationale Zahlen“ (LehrplanPLUS) · BY

Rationale Zahlen: Brüche, Dezimalzahlen und wie sie zusammengehören

Bisher kanntest du nur ganze Zahlen: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Aber was machst du, wenn ein Brett nicht genau 1 m lang sein soll, sondern nur ein Stück davon – oder wenn du 3 Tafeln Schokolade unter 4 Kindern aufteilen willst? Dann reichen ganze Zahlen nicht mehr aus. Du brauchst Brüche und Dezimalzahlen. Zusammen mit den negativen Zahlen bilden sie die Menge der rationalen Zahlen. Auf dieser Seite lernst du, was Brüche bedeuten, wie du mit ihnen rechnest und wie sie mit Dezimalzahlen und Prozenten zusammenhängen.

Inhalt dieser Seite

1. Warum reichen ganze Zahlen nicht mehr?
2. Brüche verstehen: Zähler, Nenner, echt und unecht
3. Erweitern und Kürzen
4. Brüche ordnen und der Zahlenstrahl
5. Bruch, Dezimalzahl und Prozent
6. Brüche addieren und subtrahieren
7. Brüche multiplizieren und dividieren
8. Rechnen mit Dezimalzahlen
9. Negative Brüche und Dezimalzahlen

1. Warum reichen ganze Zahlen nicht mehr?

In der Schreinerei liegt ein Brett mit 1 m Länge. Für ein kleines Regal wird aber nur ein Teil davon gebraucht: das Brett wird in 4 gleich lange Stücke gesägt, und nur 3 davon werden verwendet. Keine ganze Zahl beschreibt diese Menge – es ist mehr als 0, aber weniger als 1 m. Du brauchst eine neue Schreibweise: den Bruch \( \dfrac{3}{4} \). Er bedeutet: Das Ganze wird in 4 gleich große Teile zerlegt, und 3 davon werden genommen.

Solche Situationen entstehen überall, wo etwas Ganzes geteilt wird, ohne dass ganze Zahlen als Ergebnis herauskommen. Die Zahlenmenge, die Brüche und ganze Zahlen zusammenfasst, heißt Menge der rationalen Zahlen, abgekürzt \( \text{Q} \).

2. Brüche verstehen: Zähler, Nenner, echt und unecht

Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen: Der Nenner (unten) sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Der Zähler (oben) sagt, wie viele dieser Teile genommen werden.

Eine Pizza wird in 8 gleich große Stücke geschnitten. Lisa und ihre Freunde essen 5 Stücke. Gegessen wurden \( \tfrac{5}{8} \) der Pizza, übrig sind \( \tfrac{3}{8} \).

Ist der Zähler kleiner als der Nenner (wie bei \( \tfrac{5}{8} \)), spricht man von einem echten Bruch – er steht für weniger als ein Ganzes. Ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, heißt der Bruch unecht. Ein Schreiner hat 11 Leistenstücke von je \( \tfrac{1}{4} \) m Länge, zusammen also \( \tfrac{11}{4} \) m. Da \( 11 = 2 \cdot 4 + 3 \), ergibt das 2 ganze Meter und noch \( \tfrac{3}{4} \) m – geschrieben als gemischter Bruch \( 2\tfrac{3}{4} \).

3. Erweitern und Kürzen

Derselbe Anteil lässt sich mit unterschiedlichen Brüchen darstellen. \( \tfrac{3}{4} \) eines Bretts ist genau derselbe Anteil wie \( \tfrac{9}{12} \) desselben Bretts – nur feiner unterteilt. Multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert des Bruchs nicht: das ist Erweitern. Teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, ist das Kürzen.

Beim Kürzen suchst du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Für \( \tfrac{18}{24} \) ist das die 6 (\( 18 = 6\cdot 3 \), \( 24 = 6\cdot 4 \)). Ein Bruch, der sich nicht mehr weiter kürzen lässt, ist vollständig gekürzt – Ergebnisse gibst du immer in dieser Form an.

4. Brüche ordnen und der Zahlenstrahl

Haben zwei Brüche denselben Nenner, vergleichst du einfach die Zähler. Haben sie verschiedene Nenner, musst du sie erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen – am einfachsten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der beiden Nenner.

Beispiel: Was ist größer, \( \tfrac{5}{6} \) oder \( \tfrac{7}{9} \)?

5. Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben: Du teilst einfach Zähler durch Nenner. \( \tfrac{3}{8} \) bedeutet \( 3 : 8 \), und das ergibt \( 0{,}375 \). Da \( 0{,}375 \) nach drei Nachkommastellen endet, heißt das eine endliche Dezimalzahl.

Manche Brüche ergeben aber keine endliche Dezimalzahl: \( \tfrac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}3333\ldots \). Die Ziffer 3 wiederholt sich unendlich oft – das ist eine periodische Dezimalzahl, geschrieben \( 0{,}\overline{3} \). Umgekehrt geht es auch: Aus einer Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen machst du einen Bruch, indem du sie als Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner schreibst, z. B. \( 0{,}375 = \tfrac{375}{1000} = \tfrac{3}{8} \) (gekürzt durch 125). Und aus einer Dezimalzahl wird ein Prozentwert, indem du sie mit 100 multiplizierst: \( 0{,}375 \cdot 100\,\% = 37{,}5\,\% \).

6. Brüche addieren und subtrahieren

Brüche darfst du nur addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben – genauso, wie du Äpfel nur mit Äpfeln zusammenzählst. Haben sie verschiedene Nenner, bringst du sie zuerst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner.

Beispiel – Addition: Für eine Randleiste braucht der Schreiner ein Stück von \( \tfrac{3}{4} \) m und ein zweites Stück von \( \tfrac{5}{8} \) m. Wie lang ist die Leiste insgesamt?

Probe: \( \tfrac{3}{4}\,\text{m} = 0{,}75\,\text{m} \), \( \tfrac{5}{8}\,\text{m} = 0{,}625\,\text{m} \), zusammen \( 1{,}375\,\text{m} = 1\tfrac{3}{8}\,\text{m} \) ✓. Die Leiste ist \( 1\tfrac{3}{8} \) m lang.

Beispiel – Subtraktion: Von einem Brett mit \( \tfrac{7}{8} \) m Länge wird ein Stück von \( \tfrac{1}{2} \) m abgesägt. Wie lang ist der Rest?

7. Brüche multiplizieren und dividieren

Bei der Multiplikation ist alles einfacher als bei der Addition: Du multiplizierst einfach Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner – ganz ohne gemeinsamen Nenner.

Beispiel – Multiplikation: Ein Brett ist \( \tfrac{2}{3} \) m lang. Davon werden \( \tfrac{3}{5} \) für einen Zuschnitt verwendet. Wie lang ist das Zuschnittstück?

Bei der Division mit einem Bruch drehst du den zweiten Bruch um (Kehrwert bilden) und multiplizierst dann.

Beispiel – Division: Ein Brett ist \( \tfrac{3}{4} \) m lang. Wie viele Stücke von je \( \tfrac{1}{8} \) m lassen sich daraus sägen?

Probe: 6 Stücke von je \( \tfrac{1}{8} \) m ergeben \( 6 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4} \) m ✓. Aus dem Brett lassen sich 6 Stücke sägen.

8. Rechnen mit Dezimalzahlen

Bei Dezimalzahlen orientierst du dich an den Stellenwerten: Einer, Zehntel, Hundertstel, Tausendstel – jede Stelle ist zehnmal kleiner als die vorherige. Bei Addition und Subtraktion schreibst du die Zahlen so untereinander, dass die Kommas genau übereinanderstehen.

Beispiel – Addition: Eine Werkstattkasse hat \( 12{,}50\,\text{€} \). Es kommen \( 3{,}75\,\text{€} \) Trinkgeld dazu: \( 12{,}50 + 3{,}75 = 16{,}25\,\text{€} \).

Beispiel – Subtraktion: Von \( 20{,}00\,\text{€} \) werden \( 4{,}35\,\text{€} \) für Schleifpapier bezahlt: \( 20{,}00 – 4{,}35 = 15{,}65\,\text{€} \).

Beispiel – Multiplikation: Ein Liter Lasur kostet \( 4{,}20\,\text{€} \). Es werden 3 Liter gekauft.

Beispiel – Division: \( 7{,}50\,\text{€} \) werden gleichmäßig auf Stücke zu je \( 2{,}50\,\text{€} \) aufgeteilt: \( 7{,}50 : 2{,}50 = 3 \). Probe: \( 2{,}50 \cdot 3 = 7{,}50 \) ✓.

9. Negative Brüche und Dezimalzahlen

Aus Klasse 5 kennst du negative ganze Zahlen, zum Beispiel für Temperaturen unter 0 °C oder Schulden. Genauso gibt es negative Brüche und negative Dezimalzahlen – sie liegen auf der Zahlengeraden links von der 0. Zusammen mit den positiven Brüchen, den negativen Brüchen, der 0 und den ganzen Zahlen bilden sie die vollständige Menge der rationalen Zahlen. Die Vorzeichenregeln aus den ganzen Zahlen gelten unverändert weiter.

Beispiel: Am Abend zeigt das Thermometer in der Werkstatt \( -2{,}5\,\text{°C} \). In der Nacht fällt die Temperatur um weitere \( 1{,}5\,\text{°C} \).

Auch mit negativen Brüchen rechnest du genauso wie mit positiven, nur dass du das Vorzeichen mitnimmst: \( -\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{4} + \tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{4} \). Die Betragssumme bzw. -differenz bildest du wie gewohnt, das Vorzeichen bestimmst der größere Betrag – genau wie bei den ganzen Zahlen.

10. So fragt die Abschlussprüfung

Rationale Zahlen sind nie das eigentliche Prüfungsthema – und trotzdem in fast jeder Aufgabe enthalten: als Bruch in einer Gleichung, als Dezimalzahl in einer Sachaufgabe, als Prozentwert in einer Tabelle. Wer hier sauber rechnet, verliert später keine Folgefehler. Vier Aufgaben aus der Möbelmanufaktur Holzwerk Brandl e.K.:

Aufgabe 1 – Lackvorrat (Brüche subtrahieren). Eine Lackdose ist noch \( \tfrac{3}{4} \) voll. Für eine Tischplatte verbraucht Tobias \( \tfrac{1}{3} \) einer ganzen Dose. Welcher Anteil der Dose bleibt übrig?

Gegenprobe: \( \tfrac{5}{12} + \tfrac{4}{12} = \tfrac{9}{12} = \tfrac{3}{4} \) ✓. Zweite Kontrolle über die Größenordnung: \( \tfrac{5}{12} \) ist etwas weniger als die Hälfte – das passt, denn von drei Vierteln wurde ein knappes Drittel abgezogen ✓. Antwort: Es bleiben \( \tfrac{5}{12} \) der Dose übrig.

Aufgabe 2 – Zuschnitt (Brüche multiplizieren und dividieren). a) Merve sägt 8 Regalböden von je \( \tfrac{3}{4}\ \text{m} \) Länge. Wie viel Meter Brett braucht sie? b) Wie viele solche Böden ergibt eine Leiste von 6 m?

Gegenprobe: Die beiden Teilaufgaben prüfen sich gegenseitig – Multiplikation und Division sind Umkehrungen voneinander ✓. Beachte außerdem: Beim Dividieren durch einen Bruch, der kleiner als 1 ist, wird das Ergebnis größer. Und der Nenner darf nie 0 sein, ein Bruch mit dem Nenner 0 ist nicht definiert. Antwort: Merve braucht 6 m Brett; aus einer 6-m-Leiste ergeben sich genau 8 Böden (ohne Sägeverschnitt gerechnet).

Aufgabe 3 – Meterpreis (Dezimalzahlen dividieren). Eine Eichenleiste von 4,25 m kostet 12,75 €. Was kostet ein Meter?

Gegenprobe: \( 3 \cdot 4{,}25 = 12{,}75 \) ✓. Und eine Abschätzung vorweg: Rund 13 € für rund 4 m sind etwa 3 € je Meter – die Größenordnung stimmt ✓. Antwort: Ein Meter Eichenleiste kostet 3,00 €.

Aufgabe 4 – Umwandeln und negative Werte. a) \( \tfrac{3}{8} \) der Aufträge betreffen Regalsysteme. Gib diesen Anteil als Dezimalzahl und in Prozent an. b) In der Trockenkammer werden 3,5 °C gemessen. Über Nacht sinkt die Temperatur um 5,25 Grad. Welcher Wert wird morgens angezeigt?

Gegenprobe: a) \( 37{,}5\ \% \) von 8 Aufträgen sind 3 ✓. b) \( -1{,}75 + 5{,}25 = 3{,}50 \) ✓. Antwort: Der Anteil beträgt 0,375, also 37,5 %; die Trockenkammer zeigt morgens \( -1{,}75\ ^\circ\text{C} \) an. Bemerkung: Beim Subtrahieren einer größeren von einer kleineren Zahl muss das Ergebnis negativ sein – genau dafür brauchst du die rationalen Zahlen.

11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Beim Addieren werden die Nenner mitaddiert. Ursache: Die Regel der Multiplikation (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner) wird auf die Addition übertragen, aus \( \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{3} \) wird \( \tfrac{4}{7} \). Vermeidung: Addieren und Subtrahieren geht nur gleichnamig. Bestimme zuerst den Hauptnenner als kgV, erweitere beide Brüche und rechne dann nur mit den Zählern.
• Falsch gekürzt: über eine Summe hinweg. Ursache: In einem Bruch wie \( \tfrac{3 + 6}{6} \) wird die 6 „weggekürzt“. Vermeidung: Gekürzt wird nur, was in Zähler und Nenner als Faktor auftritt. Steht oben eine Summe, musst du sie vorher zusammenfassen oder ausklammern.
• Beim Dividieren den falschen Bruch gekehrt. Ursache: Es wird der erste statt der zweite Bruch umgedreht. Vermeidung: Sprich die Regel mit: „Mit dem Kehrbruch des Divisors multiplizieren“ – also des Bruchs hinter dem Divisionszeichen. Kontrolle: Beim Teilen durch eine Zahl unter 1 muss das Ergebnis größer werden.
• Das Komma bei Dezimalzahlen falsch gesetzt. Ursache: Bei der Multiplikation werden die Kommastellen nicht gezählt, bei der Division nur bei einer der beiden Zahlen verschoben. Vermeidung: Beim Multiplizieren hat das Ergebnis so viele Kommastellen wie beide Faktoren zusammen. Beim Dividieren verschiebst du das Komma bei beiden Zahlen um gleich viele Stellen. Und schätze das Ergebnis vorher grob ab.
• Beim Umwandeln in Prozent den Faktor 100 vergessen. Ursache: Aus 0,375 wird „3,75 %“ oder „0,375 %“. Vermeidung: Prozent heißt „von hundert“, also Dezimalzahl \( \cdot\ 100 \). Plausibilität prüfen: \( \tfrac{3}{8} \) ist etwas weniger als die Hälfte, muss also knapp unter 50 % liegen.
• Vorzeichen bei negativen Brüchen verloren. Ursache: Beim Erweitern oder Kürzen wird das Minus vergessen, oder es wird gleichzeitig vor den Bruch und in den Zähler geschrieben. Vermeidung: Schreibe das Minus konsequent an eine Stelle – entweder vor den Bruchstrich oder in den Zähler, und dann überall gleich. Es gilt \( -\tfrac{3}{4} = \tfrac{-3}{4} \).
• Der Bruchstrich wird nicht als Klammer gelesen. Ursache: In \( \tfrac{3 + 5}{2} \) wird zuerst geteilt und dann addiert. Vermeidung: Ein Bruchstrich fasst Zähler und Nenner jeweils wie eine Klammer zusammen. Rechne oben und unten fertig aus, bevor du dividierst.

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