Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 7 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 1: Prozentrechnung · LehrplanPLUS
Prozentrechnung: Rabatt, Anteil und Grundwert sicher berechnen
„30 % reduziert“, „19 % Mehrwertsteuer“, „2 % Ausschuss“: Prozente begegnen Dir im Laden, auf dem Lohnzettel und im Betrieb. Wenn Du dieses Kapitel beherrschst, kannst Du im Kopf überprüfen, ob ein Angebot wirklich so gut ist, wie es aussieht. Und Du hast die Grundlage für die Zinsrechnung im Quali gelegt.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Prozent als Hundertstelbruch
- Der Prozentsatz als Anteil
- Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz
- Grundaufgabe: Prozentwert berechnen
- Grundaufgabe: Prozentsatz berechnen
- Grundaufgabe: Grundwert berechnen
- Prozentrechnung mit dem Dreisatz
- Mischungsverhältnisse und Prozentanteile
- Prozentangaben in Diagrammen
- Berufsbezogene Prozentaufgaben
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 7.
Regelklasse oder M-Zug? In Jahrgangsstufe 7 ist dieser Lernbereich für beide Züge gleich. Diese Seite gilt also für Dich, egal in welcher Klasse Du bist. Unterschiede gibt es erst ab Jahrgangsstufe 8.
1. Was Prozent eigentlich bedeutet
„Prozent“ heißt nichts anderes als „von hundert“. Ein Prozentwert ist also immer ein Bruch mit dem Nenner 100 – das kennst Du schon aus Klasse 6.
Merke: die wichtigsten Umrechnungen
| \( 10\ \% = \frac{1}{10} = 0{,}1 \) | \( 20\ \% = \frac{1}{5} = 0{,}2 \) | \( 25\ \% = \frac{1}{4} = 0{,}25 \) |
| \( 50\ \% = \frac{1}{2} = 0{,}5 \) | \( 75\ \% = \frac{3}{4} = 0{,}75 \) | \( 100\ \% = 1 \) |
Diese sechs solltest Du im Kopf haben – damit rechnest Du die Hälfte aller Prozentaufgaben ohne Formel.
2. Die drei Größen
Merke
- Grundwert \( G \) – das Ganze, immer 100 %. Die Frage „wovon?“ führt Dich hin.
- Prozentsatz \( p\ \% \) – der Anteil in Prozent, erkennbar am %-Zeichen.
- Prozentwert \( W \) – der Anteil als echte Größe, meist in Euro, Kilogramm oder Stück.
\( W = G \cdot \dfrac{p}{100} \)
\( p = \dfrac{W \cdot 100}{G} \)
\( G = \dfrac{W \cdot 100}{p} \)
3. Die drei Grundaufgaben
Beispiel a: Der Prozentwert ist gesucht
Ein Fernseher kostet 250 €. Du bekommst 18 % Rabatt. Wie viel Euro sparst Du?
\( W = 250\ \text{€} \cdot \dfrac{18}{100} = 45\ \text{€} \)
Antwort: Du sparst 45 € und zahlst noch \( 250\ \text{€} – 45\ \text{€} = 205\ \text{€} \).
Mit dem Dreisatz geht es genauso: \( 250\ \text{€} : 100 = 2{,}50\ \text{€} \) sind 1 %, also \( 2{,}50\ \text{€} \cdot 18 = 45\ \text{€} \).
Beispiel b: Der Prozentsatz ist gesucht
Eine Jacke kostete 240 € und ist jetzt 36 € billiger. Wie viel Prozent Rabatt sind das?
\( p = \dfrac{36\ \text{€} \cdot 100}{240\ \text{€}} = 15 \)
Antwort: Der Rabatt beträgt 15 %.
Beispiel c: Der Grundwert ist gesucht
17 % einer Lieferung sind 51 Kisten. Wie groß ist die ganze Lieferung?
\( G = \dfrac{51 \cdot 100}{17} = 300 \)
Antwort: Die Lieferung umfasst 300 Kisten.
Merke: so findest Du heraus, was gesucht ist
| In der Aufgabe steht … | gesucht ist |
|---|---|
| eine Größe und ein Prozentsatz | der Prozentwert (wie viel Euro?) |
| zwei Größen, kein %-Zeichen | der Prozentsatz (wie viel Prozent?) |
| ein Teil und sein Prozentsatz | der Grundwert (wie groß ist das Ganze?) |
4. Mischungsverhältnisse
Beispiel: Saftschorle
Eine Schorle wird aus \( 3\ \text{l} \) Saft und \( 1\ \text{l} \) Wasser gemischt. Wie hoch ist der Saftanteil in Prozent?
Vorsicht – der Grundwert ist die ganze Schorle:
\( G = 3\ \text{l} + 1\ \text{l} = 4\ \text{l} \)
\( p = \dfrac{3 \cdot 100}{4} = 75 \)
Antwort: Der Saftanteil beträgt 75 %, der Wasseranteil 25 %. Zusammen ergeben sie 100 % – das ist Deine Kontrolle.
Beispiel: Mörtel anmischen
Für Mörtel werden 25 kg Zement und 100 kg Sand gemischt. Wie hoch ist der Zementanteil?
\( G = 25\ \text{kg} + 100\ \text{kg} = 125\ \text{kg} \)
\( p = \dfrac{25 \cdot 100}{125} = 20 \)
Antwort: Der Zementanteil beträgt 20 %.
5. Prozente im Beruf und im Diagramm
Beispiel: aus dem Diagramm rechnen
Ein Haushalt hat 2400 € im Monat zur Verfügung. Wie viel Euro entfallen auf das Wohnen?
\( W = 2400\ \text{€} \cdot \dfrac{40}{100} = 960\ \text{€} \)
Antwort: Fürs Wohnen gehen 960 € weg.
Und im Betrieb: Von 150 gefertigten Teilen sind 3 fehlerhaft. Wie hoch ist die Ausschussquote?
\( p = \dfrac{3 \cdot 100}{150} = 2 \)
Antwort: Die Ausschussquote beträgt 2 %.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( W = G \cdot \dfrac{p}{100} \)
\( p = \dfrac{W \cdot 100}{G} \)
\( G = \dfrac{W \cdot 100}{p} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 7, Regelklasse, Lernbereich 1 „Prozentrechnung“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.