Physik Realschule Bayern › Mechanik › Jahrgangsstufe 7
Dichte
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 7 · Bayern · Teilbereich Mechanik
Laut LehrplanPLUS verwenden Lernende der 7. Jahrgangsstufe den Zusammenhang zwischen Masse und Volumen, um Materialien zu bestimmen. Die Dichte wird in der 9. Jahrgangsstufe beim Schweredruck und beim Auftrieb wieder gebraucht und taucht in Prüfungsaufgaben häufig als Zwischenschritt auf.
Was die Dichte angibt
Gleich große Würfel aus verschiedenen Stoffen sind unterschiedlich schwer. Ein Würfel aus Gold mit \(1\,\mathrm{cm^3}\) hat eine viel größere Masse als ein gleich großer Würfel aus Aluminium. Die Dichte \(\rho\) (gesprochen „rho“) gibt an, welche Masse ein Stoff pro Volumen hat:
\( \rho=\dfrac{m}{V} \)
Übliche Einheiten sind \(\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\), \(\mathrm{\frac{kg}{dm^3}}\) und \(\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\). Dabei gilt:
\( 1\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}=1\,\mathrm{\frac{kg}{dm^3}}=1000\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \)
Aluminium hat also eine Dichte von \(2{,}7\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}=2700\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\). Bei Flüssigkeiten hilft: \(1\,\mathrm{ml}=1\,\mathrm{cm^3}\) und \(1\,\mathrm{l}=1\,\mathrm{dm^3}\). Umgestellt ergeben sich:
\( m=\rho\cdot V\qquad V=\dfrac{m}{\rho} \)
Merke: Die Dichte ist eine Stoffeigenschaft. Sie hängt nicht davon ab, wie groß ein Körper ist: Ein halber Aluminiumwürfel hat die halbe Masse, aber dieselbe Dichte. Deshalb lässt sich mit der Dichte bestimmen, aus welchem Stoff ein Körper besteht.
| Stoff | Dichte in \(\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) | Stoff | Dichte in \(\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) |
| Aluminium | \(2{,}70\) | Wasser (\(4\,^\circ\mathrm{C}\)) | \(1{,}00\) |
| Eisen, Stahl | \(7{,}9\) | Eis (\(0\,^\circ\mathrm{C}\)) | \(0{,}917\) |
| Kupfer | \(8{,}93\) | Ethanol | \(0{,}789\) |
| Blei | \(11{,}34\) | Quecksilber | \(13{,}55\) |
| Gold | \(19{,}32\) | Luft (\(0\,^\circ\mathrm{C}\), \(1013\,\mathrm{hPa}\)) | \(0{,}00129\) |
Beispiel 1: Stoff eines Quaders bestimmen
Ein Metallquader ist \(5\,\mathrm{cm}\) lang, \(4\,\mathrm{cm}\) breit und \(2\,\mathrm{cm}\) hoch. Eine Waage zeigt \(316\,\mathrm{g}\). Aus welchem Metall besteht er?
Gegeben: \(a=5\,\mathrm{cm}\), \(b=4\,\mathrm{cm}\), \(c=2\,\mathrm{cm}\), \(m=316\,\mathrm{g}\)
Gesucht: Dichte \(\rho\), Stoff
Formel: \(V=a\cdot b\cdot c\), \(\rho=\frac{m}{V}\)
\( V=5\,\mathrm{cm}\cdot 4\,\mathrm{cm}\cdot 2\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm^3} \)
\( \rho=\dfrac{316\,\mathrm{g}}{40\,\mathrm{cm^3}}=7{,}9\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}} \)
Antwort: Die Dichte beträgt \(7{,}9\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\). Laut Tabelle besteht der Quader aus Eisen bzw. Stahl.
Beispiel 2: Unregelmäßige Körper mit dem Messzylinder
Ein unregelmäßig geformtes Metallstück hat die Masse \(54\,\mathrm{g}\). In einem Messzylinder steigt der Wasserstand beim Eintauchen von \(50\,\mathrm{ml}\) auf \(70\,\mathrm{ml}\). Um welches Metall handelt es sich?
Gegeben: \(m=54\,\mathrm{g}\), Wasserstand \(50\,\mathrm{ml}\) und \(70\,\mathrm{ml}\)
Gesucht: Volumen \(V\), Dichte \(\rho\)
Formel: \(V=V_{\mathrm{nachher}}-V_{\mathrm{vorher}}\), \(\rho=\frac{m}{V}\)
\( V=70\,\mathrm{ml}-50\,\mathrm{ml}=20\,\mathrm{ml}=20\,\mathrm{cm^3} \)
\( \rho=\dfrac{54\,\mathrm{g}}{20\,\mathrm{cm^3}}=2{,}7\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}} \)
Antwort: Das Metallstück besteht aus Aluminium. Das verdrängte Wasser hat genau das Volumen des Körpers.
Beispiel 3: Dichte im Masse-Volumen-Diagramm
Für Eisen, Aluminium und Wasser ist die Masse in Abhängigkeit vom Volumen dargestellt. Ein Körper mit \(10\,\mathrm{cm^3}\) hat die Masse \(27\,\mathrm{g}\). Auf welcher Geraden liegt er?
\( \rho=\dfrac{27\,\mathrm{g}}{10\,\mathrm{cm^3}}=2{,}7\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}} \)
Antwort: Der Punkt liegt auf der Aluminium-Geraden. Je steiler die Ursprungsgerade, desto größer die Dichte des Stoffs.
Beispiel 4: Ist die Krone aus reinem Gold?
Eine Krone hat die Masse \(579\,\mathrm{g}\). Im Messzylinder verdrängt sie \(34\,\mathrm{cm^3}\) Wasser. Ist sie aus reinem Gold \(\left(\rho=19{,}32\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\right)\)?
Gegeben: \(m=579\,\mathrm{g}\), \(V=34\,\mathrm{cm^3}\)
Gesucht: Dichte \(\rho\) der Krone
Formel: \(\rho=\frac{m}{V}\)
\( \rho=\dfrac{579\,\mathrm{g}}{34\,\mathrm{cm^3}}\approx 17{,}0\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}} \)
Zum Vergleich: Reines Gold mit derselben Masse hätte das Volumen
\( V=\dfrac{579\,\mathrm{g}}{19{,}32\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}}\approx 30\,\mathrm{cm^3} \)
Antwort: Die Dichte der Krone ist mit etwa \(17{,}0\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) deutlich kleiner als die von Gold. Die Krone enthält also einen leichteren Stoff, etwa Silber oder Kupfer, und ist nicht aus reinem Gold.
Beispiel 5: Wie schwer ist die Luft im Klassenzimmer?
Ein Klassenzimmer ist \(10\,\mathrm{m}\) lang, \(8\,\mathrm{m}\) breit und \(3\,\mathrm{m}\) hoch. Welche Masse hat die Luft darin? Gerechnet wird mit dem Tabellenwert \(\rho_{\mathrm{Luft}}=1{,}29\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\).
Gegeben: Raummaße \(10\,\mathrm{m}\), \(8\,\mathrm{m}\), \(3\,\mathrm{m}\); \(\rho=1{,}29\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\)
Gesucht: Masse \(m\) der Luft
Formel: \(m=\rho\cdot V\)
\( V=10\,\mathrm{m}\cdot 8\,\mathrm{m}\cdot 3\,\mathrm{m}=240\,\mathrm{m^3} \)
\( m=1{,}29\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 240\,\mathrm{m^3}\approx 310\,\mathrm{kg} \)
Antwort: Die Luft im Klassenzimmer hat eine Masse von rund \(310\,\mathrm{kg}\). Der Tabellenwert gilt für \(0\,^\circ\mathrm{C}\); bei Zimmertemperatur ist die Luft etwas weniger dicht, das Ergebnis bleibt aber in dieser Größenordnung. Luft ist also keineswegs „nichts“.
Beispiel 6: Ein Kilogramm Quecksilber
Welches Volumen nimmt \(1\,\mathrm{kg}\) Quecksilber \(\left(\rho=13{,}55\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\right)\) ein, und welches \(1\,\mathrm{kg}\) Wasser?
Gegeben: \(m=1\,\mathrm{kg}=1000\,\mathrm{g}\)
Gesucht: Volumen \(V\)
Formel: \(V=\frac{m}{\rho}\)
\( V_{\mathrm{Hg}}=\dfrac{1000\,\mathrm{g}}{13{,}55\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}}\approx 74\,\mathrm{cm^3}\qquad V_{\mathrm{Wasser}}=\dfrac{1000\,\mathrm{g}}{1{,}00\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}}=1000\,\mathrm{cm^3} \)
Antwort: Ein Kilogramm Quecksilber passt in etwa \(74\,\mathrm{ml}\), ein Kilogramm Wasser braucht einen ganzen Liter.
Typische Fehler und Prüfungstipps
- Endstand statt Differenz: Beim Messzylinder ist das Volumen des Körpers die Differenz der Wasserstände, nicht der Endstand.
- Einheiten gemischt: Gramm durch Kubikmeter ergibt keine Tabellenwerte. Entweder \(\mathrm{g}\) und \(\mathrm{cm^3}\) oder \(\mathrm{kg}\) und \(\mathrm{m^3}\) verwenden.
- „Großer Körper, große Dichte“: Ein großer Holzbalken hat eine große Masse, aber eine kleine Dichte. Die Dichte hängt vom Stoff ab, nicht von der Größe.
- Umrechnung falsch herum: \(2{,}7\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) sind \(2700\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\), nicht \(0{,}0027\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\).
- Tabellenwert nicht angegeben: Bei der Stoffbestimmung den berechneten Wert mit dem passenden Tabellenwert vergleichen und beides nennen.
Üben: Aufgaben zur Dichte
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zur Dichteberechnung, Stoffbestimmung mit Tabelle, Messzylinder-Messungen und Diagrammen, mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
Vorheriges Thema: Reibung
Nächstes Thema: Lichtausbreitung, Schatten, Finsternisse (Optik)
Vertiefung Jahrgangsstufe 9: Auftrieb und archimedisches Prinzip
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