Physik Realschule Bayern › Mechanik › Jahrgangsstufe 7
Gesetz von Hooke
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 7 · Bayern · Teilbereich Mechanik
Laut LehrplanPLUS stellen Lernende der 7. Jahrgangsstufe den Zusammenhang zwischen Verlängerung und Kraft bei einer Schraubenfeder grafisch dar und erkennen, in welchem Bereich das Gesetz von Hooke gilt. Das Gesetz erklärt, wie ein Federkraftmesser funktioniert, und ist eine Standardformel im Prüfungsteil Mechanik.
Federn als Kraftmesser
Hängt man an eine Schraubenfeder einen Körper, wird die Feder gedehnt. Die Verlängerung \(\Delta\ell\) ist der Unterschied zwischen der gedehnten und der ungedehnten Länge. Bei doppelter Kraft wird die Feder doppelt so weit gedehnt, bei dreifacher Kraft dreimal so weit. Kraft und Verlängerung sind also direkt proportional zueinander.
Das Gesetz von Hooke
Für die Kraft \(F\), mit der eine Feder gedehnt wird, und die Verlängerung \(\Delta\ell\) gilt:
\( F=D\cdot\Delta\ell \)
Die Federkonstante \(D\) gibt an, wie viel Kraft nötig ist, um die Feder um eine Längeneinheit zu dehnen. Ihre Einheit ist \(\mathrm{\frac{N}{m}}\) oder \(\mathrm{\frac{N}{cm}}\), wobei \(1\,\mathrm{\frac{N}{cm}}=100\,\mathrm{\frac{N}{m}}\) ist. Eine harte Feder hat eine große Federkonstante, eine weiche eine kleine. Umgestellt ergeben sich:
\( D=\dfrac{F}{\Delta\ell}\qquad \Delta\ell=\dfrac{F}{D} \)
Merke: Das Gesetz von Hooke gilt nur im elastischen Bereich. Wird eine Feder zu stark belastet, wird sie überdehnt, verformt sich bleibend, und Kraft und Verlängerung sind nicht mehr proportional.
Beispiel 1: Messreihe auswerten
An eine Feder werden nacheinander Kräfte gehängt und die Verlängerungen gemessen. Wie groß ist die Federkonstante, und bis zu welcher Kraft gilt das Gesetz von Hooke?
| \(F\) in \(\mathrm{N}\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \(\Delta\ell\) in \(\mathrm{cm}\) | 5 | 10 | 15 | 20 | 28 | 40 |
| \(\frac{F}{\Delta\ell}\) in \(\mathrm{\frac{N}{cm}}\) | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,18 | 0,15 |
Gegeben: Messwerte der Tabelle
Gesucht: Federkonstante \(D\), Gültigkeitsbereich
Formel: \(D=\frac{F}{\Delta\ell}\)
Bis \(4\,\mathrm{N}\) ist der Quotient konstant, danach wird er kleiner. Aus dem ersten Wertepaar folgt:
\( D=\dfrac{1\,\mathrm{N}}{5\,\mathrm{cm}}=0{,}20\,\mathrm{\frac{N}{cm}}=20\,\mathrm{\frac{N}{m}} \)
Antwort: Die Federkonstante beträgt \(20\,\mathrm{\frac{N}{m}}\). Das Gesetz von Hooke gilt bis etwa \(4\,\mathrm{N}\). Bei \(6\,\mathrm{N}\) wäre nach Hooke eine Verlängerung von \(30\,\mathrm{cm}\) zu erwarten, gemessen wurden aber \(40\,\mathrm{cm}\): Die Feder ist überdehnt.
Beispiel 2: Verlängerung statt Gesamtlänge
Eine Feder mit \(D=20\,\mathrm{\frac{N}{m}}\) ist ungedehnt \(8{,}0\,\mathrm{cm}\) lang. Mit einer angehängten Last ist sie \(13{,}0\,\mathrm{cm}\) lang. Wie groß ist die Kraft, mit der die Last an der Feder zieht?
Gegeben: \(D=20\,\mathrm{\frac{N}{m}}\), \(\ell_0=8{,}0\,\mathrm{cm}\), \(\ell=13{,}0\,\mathrm{cm}\)
Gesucht: Kraft \(F\)
Formel: \(F=D\cdot\Delta\ell\) mit \(\Delta\ell=\ell-\ell_0\)
\( \Delta\ell=13{,}0\,\mathrm{cm}-8{,}0\,\mathrm{cm}=5{,}0\,\mathrm{cm}=0{,}050\,\mathrm{m} \)
\( F=20\,\mathrm{\frac{N}{m}}\cdot 0{,}050\,\mathrm{m}=1{,}0\,\mathrm{N} \)
Antwort: Die Last zieht mit \(1{,}0\,\mathrm{N}\). Wer die Gesamtlänge \(13\,\mathrm{cm}\) einsetzt, erhält fälschlich \(2{,}6\,\mathrm{N}\).
Beispiel 3: Ein Expander wird gedehnt
Ein Trainingsexpander hat die Federkonstante \(D=200\,\mathrm{\frac{N}{m}}\). Er wird mit \(50\,\mathrm{N}\) auseinandergezogen. Um wie viel wird er länger?
Gegeben: \(D=200\,\mathrm{\frac{N}{m}}\), \(F=50\,\mathrm{N}\)
Gesucht: Verlängerung \(\Delta\ell\)
Formel: \(\Delta\ell=\frac{F}{D}\)
\( \Delta\ell=\dfrac{50\,\mathrm{N}}{200\,\mathrm{\frac{N}{m}}}=0{,}25\,\mathrm{m}=25\,\mathrm{cm} \)
Antwort: Der Expander wird um \(25\,\mathrm{cm}\) länger. An beiden Griffen wird mit je \(50\,\mathrm{N}\) gezogen; die Feder wird mit \(50\,\mathrm{N}\) gespannt, nicht mit \(100\,\mathrm{N}\).
Beispiel 4: Zwei Federn im Vergleich
Das Diagramm zeigt die Kennlinien zweier Federn A und B. Welche Feder ist härter, und wie groß sind die Federkonstanten?
Gegeben: Kennlinien im Diagramm; bei \(4\,\mathrm{N}\) ist A um \(8\,\mathrm{cm}\), B um \(20\,\mathrm{cm}\) verlängert
Gesucht: \(D_A\), \(D_B\)
Formel: \(D=\frac{F}{\Delta\ell}\)
\( D_A=\dfrac{4\,\mathrm{N}}{0{,}08\,\mathrm{m}}=50\,\mathrm{\frac{N}{m}}\qquad D_B=\dfrac{4\,\mathrm{N}}{0{,}20\,\mathrm{m}}=20\,\mathrm{\frac{N}{m}} \)
Antwort: Feder A ist härter. Ihre Kennlinie verläuft steiler: Für dieselbe Verlängerung ist eine größere Kraft nötig.
Beispiel 5: Warum die Skala eines Kraftmessers gleichmäßig ist
Ein Federkraftmesser hat eine Skala bis \(5\,\mathrm{N}\), deren Striche alle gleich weit auseinanderliegen. Warum?
Antwort: Im Hooke-Bereich ist die Verlängerung proportional zur Kraft. Jedes zusätzliche halbe Newton dehnt die Feder um dieselbe Strecke, deshalb sind die Skalenstriche gleich weit voneinander entfernt. Ein Kraftmesser darf deshalb nicht über seinen Messbereich hinaus belastet werden, sonst wird die Feder überdehnt und zeigt danach falsch an.
Typische Fehler und Prüfungstipps
- Gesamtlänge statt Verlängerung: In \(F=D\cdot\Delta\ell\) steht die Längenänderung, nie die Gesamtlänge der Feder.
- Einheiten gemischt: Bei \(D\) in \(\mathrm{\frac{N}{m}}\) muss \(\Delta\ell\) in Metern eingesetzt werden, bei \(\mathrm{\frac{N}{cm}}\) in Zentimetern.
- Gültigkeitsbereich übersehen: Liegen Messpunkte nicht mehr auf der Ursprungsgeraden, ist die Feder überdehnt. Das Gesetz gilt dort nicht mehr.
- Hart und weich verwechselt: Je steiler die Kennlinie im Kraft-Verlängerungs-Diagramm, desto härter die Feder und desto größer \(D\).
- Kraft doppelt gezählt: Wird eine Feder an beiden Enden mit je \(50\,\mathrm{N}\) gezogen, wirkt in ihr eine Kraft von \(50\,\mathrm{N}\).
Üben: Aufgaben zum Gesetz von Hooke
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zu Federkonstante, Kraft und Verlängerung, mit Messreihen zum Auswerten und Kennlinien zum Ablesen, jeweils mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
Vorheriges Thema: Wechselwirkung und Kräftegleichgewicht
Nächstes Thema: Masse, Gewichtskraft und Ortsfaktor
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