Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 5: Rauminhalt – Prismen, Pyramiden, Kegel · LehrplanPLUS
Volumen von Prisma, Pyramide und Kegel
Bisher galt für alle Körper dieselbe Formel: Grundfläche mal Höhe. Jetzt kommen zwei Körper dazu, die spitz zulaufen – und bei denen ein Drittel davon übrig bleibt. Warum das so ist, lässt sich mit einem Umschüttversuch in zwei Minuten zeigen.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge gleich. Diese Seite gilt für Dich, egal in welcher Klasse Du bist – und sie ist Quali-Stoff.
1. Woher das Drittel kommt
Merke: zwei Formeln für alle Körper
Prisma und Zylinder: \( V = G \cdot h \)
Pyramide und Kegel: \( V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \)
Merksatz: Alles, was spitz zuläuft, bekommt den Faktor \( \frac{1}{3} \). Alles, was oben genauso breit ist wie unten, nicht.
Die Grundfläche \( G \) rechnest Du mit den Formeln aus Lernbereich 4 aus: Quadrat, Dreieck, Sechseck oder Kreis. \( h \) ist immer die Körperhöhe – nicht die Seitenhöhe und nicht die Mantellinie.
2. Die vier Standardfälle
Beispiel a: Dreiecksprisma
Grundfläche ist ein Dreieck mit \( g = 6\ \text{cm} \) und \( h_\triangle = 4\ \text{cm} \), das Prisma ist 10 cm lang.
\( G = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\ \text{cm}^2 = 12\ \text{cm}^2 \)
\( V = 12 \cdot 10\ \text{cm}^3 = 120\ \text{cm}^3 \)
Beispiel b: Sechseckprisma – die Sechskantmutter
Eine Mutter hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit \( s = 4\ \text{cm} \) und ist 10 cm lang.
\( G \approx 41{,}57\ \text{cm}^2 \) (aus Lernbereich 4)
\( V \approx 41{,}57 \cdot 10\ \text{cm}^3 \approx 415{,}7\ \text{cm}^3 \)
So arbeitest Du in der Prüfung: erst die Fläche aus dem vorigen Lernbereich, dann mal die Höhe.
Beispiel c: quadratische Pyramide
Grundkante \( a = 6\ \text{cm} \), Körperhöhe \( h = 10\ \text{cm} \).
\( G = 36\ \text{cm}^2 \)
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10\ \text{cm}^3 = 120\ \text{cm}^3 \)
Vergleich: Das Dreiecksprisma aus Beispiel a hat genau dasselbe Volumen – obwohl die Pyramide viel höher ist. Das ist der Faktor \( \frac{1}{3} \) in Aktion.
Beispiel d: Kegel
Radius \( r = 3\ \text{cm} \), Körperhöhe \( h = 4\ \text{cm} \), \( \pi \approx 3{,}14 \).
\( G = 9\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 28{,}26\ \text{cm}^2 \)
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot 28{,}26 \cdot 4\ \text{cm}^3 = 37{,}68\ \text{cm}^3 \)
Achtung: In die Volumenformel gehört \( h = 4\ \text{cm} \), nicht die Mantellinie \( s = 5\ \text{cm} \). Die Mantellinie brauchst Du nur für die Oberfläche.
3. Zusammengesetzte Körper
Merke
Beim Volumen werden die Teilkörper einfach addiert – anders als bei der Oberfläche, wo verdeckte Flächen wegfallen. Bei einer Aussparung wird abgezogen.
Vorgehen: Skizze machen, Körper benennen, jedes Teilvolumen einzeln in einer eigenen Zeile berechnen, am Schluss zusammenzählen.
Beispiel: Silo mit Kegeldach
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (\( r = 2\ \text{m} \), \( h = 6\ \text{m} \)) mit einem aufgesetzten Kegel (\( r = 2\ \text{m} \), \( h = 1{,}5\ \text{m} \)).
\( V_{\text{Zylinder}} = 4\ \text{m}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 6\ \text{m} = 75{,}36\ \text{m}^3 \)
\( V_{\text{Kegel}} = \dfrac{1}{3} \cdot 4\ \text{m}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}5\ \text{m} = 6{,}28\ \text{m}^3 \)
\( V_{\text{gesamt}} = 75{,}36 + 6{,}28 = 81{,}64\ \text{m}^3 \)
Antwort: Das Silo fasst \( 81{,}64\ \text{m}^3 \), also rund 81 640 Liter.
4. Umkehraufgaben
Merke: das Drittel rückwärts
Aus \( V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \) folgt durch Umstellen:
\( h = \dfrac{3V}{G} \qquad G = \dfrac{3V}{h} \)
Das Wichtigste: Die 3 wandert nach oben. Wer sie vergisst, bekommt nur ein Drittel des richtigen Werts.
Beispiel
a) Eine Pyramide hat \( V = 120\ \text{cm}^3 \) und \( G = 30\ \text{cm}^2 \). Wie hoch ist sie?
\( h = \dfrac{3 \cdot 120\ \text{cm}^3}{30\ \text{cm}^2} = 12\ \text{cm} \)
Probe: \( \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 12 = 120 \) – stimmt.
b) Ein Kegel hat \( V = 37{,}68\ \text{cm}^3 \) und ist 4 cm hoch. Wie groß ist sein Radius?
\( G = \dfrac{3 \cdot 37{,}68\ \text{cm}^3}{4\ \text{cm}} = 28{,}26\ \text{cm}^2 \)
\( r^2 = \dfrac{28{,}26\ \text{cm}^2}{3{,}14} = 9\ \text{cm}^2 \)
\( r = 3\ \text{cm} \)
Drei Schritte rückwärts: mal 3 und durch \( h \), dann durch \( \pi \), dann die Wurzel. Die Einheiten zeigen Dir den Weg: cm³ → cm² → cm.
Beispiel: aus dem Berufsalltag
Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels mit dem Durchmesser \( 4\ \text{m} \) und der Höhe \( 1{,}5\ \text{m} \). Wie viele Kubikmeter Sand sind das, und wie viele Fuhren mit je \( 3\ \text{m}^3 \) werden zum Abtransport gebraucht?
\( r = 2\ \text{m} \)
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot 4\ \text{m}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}5\ \text{m} = 6{,}28\ \text{m}^3 \)
\( 6{,}28 : 3 \approx 2{,}09 \)
Antwort: Der Haufen enthält \( 6{,}28\ \text{m}^3 \) Sand. Es werden 3 Fuhren gebraucht – hier wird aufgerundet, denn zwei Fuhren reichen nicht.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( V = G \cdot h \)
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \)
\( h = \dfrac{3V}{G} \)
\( G = \dfrac{3V}{h} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Lernbereich 5 „Rauminhalt – Prismen, Pyramiden, Kegel“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.