Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 4: Flächeninhalt – Vielecke · LehrplanPLUS
Flächeninhalt von Vielecken und zusammengesetzten Figuren
Ein Grundstück, ein Blechzuschnitt, eine Sechskantmutter: In der Prüfung sind Flächen fast nie einfache Rechtecke. Der Trick ist immer derselbe – zerlegen oder ergänzen. Wer das beherrscht, braucht keine neue Formel, sondern nur die aus den Klassen 6 bis 8.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
Regelklasse oder M-Zug? Der Grundstoff ist für beide Züge gleich und ist Quali-Stoff. Der M-Zug hat einen Abschnitt zusätzlich zu den Oberflächen von Pyramide und Kegel.
1. Die Formeln, die Du brauchst
Merke: die Flächenformeln im Überblick
| Rechteck | \( A = a \cdot b \) | Parallelogramm | \( A = g \cdot h \) |
| Dreieck | \( A = \frac{1}{2} g h \) | Trapez | \( A = \frac{1}{2}(a+c) h \) |
| Raute / Drachen | \( A = \frac{e \cdot f}{2} \) | Kreis | \( A = r^2\pi \) |
Neu ist nur das Prinzip: Ein regelmäßiges \( n \)-Eck zerlegst Du in \( n \) gleiche Dreiecke, rechnest eines aus und multiplizierst mit \( n \).
2. Das regelmäßige Vieleck
Beispiel: regelmäßiges Sechseck mit \( s = 4\ \text{cm} \)
Das Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seite 4 cm. Die Höhe eines solchen Dreiecks findest Du mit Pythagoras über die halbe Seite:
\( h = \sqrt{4^2 – 2^2}\ \text{cm} = \sqrt{12}\ \text{cm} \approx 3{,}46\ \text{cm} \)
\( A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot 4\ \text{cm} \cdot 3{,}46\ \text{cm} \approx 6{,}93\ \text{cm}^2 \)
\( A_{\text{Sechseck}} \approx 6 \cdot 6{,}93\ \text{cm}^2 \approx 41{,}57\ \text{cm}^2 \)
Wichtig: Rechne mit dem ungerundeten Wert weiter und runde erst am Schluss. Wer schon bei 3,46 rundet und dann mal 6 nimmt, weicht am Ende spürbar ab.
3. Zusammengesetzte Figuren
Merke: zwei Wege, ein Ergebnis
- Zerlegen: Teil die Figur in Rechtecke, Dreiecke, Trapeze und Kreisteile. Rechne jede Teilfläche einzeln und addiere.
- Ergänzen: Denk Dir die Figur zu einem großen Rechteck vervollständigt und zieh das Fehlende ab.
Nutze den zweiten Weg als Probe. Kommt beides Mal dasselbe heraus, stimmt Deine Rechnung fast sicher.
Beispiel: Grundstück und Materialbedarf
Ein Grundstück besteht aus einem Rechteck (20 m lang, 12 m breit) und einem aufgesetzten Dreieck (Grundseite 20 m, Höhe 6 m).
\( A = 20 \cdot 12\ \text{m}^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6\ \text{m}^2 = 240\ \text{m}^2 + 60\ \text{m}^2 = 300\ \text{m}^2 \)
Weiterfrage: Rollrasen kostet \( 4{,}50\ \text{€} \) je Quadratmeter. Wie teuer wird die Fläche?
\( 300 \cdot 4{,}50\ \text{€} = 1350\ \text{€} \)
Antwort: Der Rasen kostet 1350 €. In der Praxis rechnet man etwa 5 % Verschnitt dazu.
Beispiel: Trapez und Aussparung
a) Trapez mit \( a = 10\ \text{cm} \), \( c = 6\ \text{cm} \), \( h = 4\ \text{cm} \):
\( A = \dfrac{1}{2} \cdot (10 + 6)\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 32\ \text{cm}^2 \)
b) Blech mit Bohrung: Aus einer Platte von \( 20\ \text{cm} \times 15\ \text{cm} \) wird ein Loch mit \( r = 4\ \text{cm} \) gebohrt.
\( A = 300\ \text{cm}^2 – 16\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 300\ \text{cm}^2 – 50{,}24\ \text{cm}^2 = 249{,}76\ \text{cm}^2 \)
Bei Aussparungen wird immer abgezogen – auch wenn in der Aufgabe nur von „der Fläche des Blechs“ die Rede ist.
Nur für den M-Zug: Oberfläche von Pyramide und Kegel
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M9. In der Regelklasse werden die Oberflächen dieser beiden Körper nicht verlangt.
Merke: die beiden Oberflächen
Quadratische Pyramide: \( O = G + M = a^2 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \)
Kegel: \( O = G + M = r^2\pi + r \pi s \)
Bei der Pyramide besteht der Mantel aus vier gleichen Dreiecken mit der Grundseite \( a \) und der Seitenhöhe \( h_s \). Beim Kegel ist der Mantel ein Kreissektor – seine Fläche ist \( r\pi s \).
Beide brauchen zuerst Pythagoras: \( h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} \) beziehungsweise \( s = \sqrt{h^2 + r^2} \).
Beispiel: quadratische Pyramide
Grundkante \( a = 6\ \text{cm} \), Körperhöhe \( h = 4\ \text{cm} \).
\( h_s = \sqrt{4^2 + 3^2}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
\( G = 6 \cdot 6\ \text{cm}^2 = 36\ \text{cm}^2 \)
\( M = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 60\ \text{cm}^2 \)
\( O = 36\ \text{cm}^2 + 60\ \text{cm}^2 = 96\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Die Oberfläche beträgt \( 96\ \text{cm}^2 \). Bei einem Zelt ohne Boden wären es nur die \( 60\ \text{cm}^2 \) Mantel.
Beispiel: Kegel
Radius \( r = 3\ \text{cm} \), Körperhöhe \( h = 4\ \text{cm} \).
\( s = \sqrt{4^2 + 3^2}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
\( G = 9\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 28{,}26\ \text{cm}^2 \)
\( M = 3\ \text{cm} \cdot 3{,}14 \cdot 5\ \text{cm} = 47{,}10\ \text{cm}^2 \)
\( O = 28{,}26\ \text{cm}^2 + 47{,}10\ \text{cm}^2 = 75{,}36\ \text{cm}^2 \)
Merke Dir die Reihenfolge: erst \( s \) mit Pythagoras, dann Grundfläche, dann Mantel, dann addieren. Wer \( h \) statt \( s \) in die Mantelformel einsetzt, rechnet zu klein.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( O = G + M = a^2 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \)
\( O = G + M = r^2\pi + r \pi s \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Lernbereich 4 „Flächeninhalt – Vielecke“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.