Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 (Mathematik I) bzw. Klasse 10 (Mathematik II/III) · Lernbereich „Raumgeometrie“ (LehrplanPLUS) · BY
Raumgeometrie: Volumen und Oberfläche von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel
In der 6. Klasse hast du das Volumen des Quaders gelernt: Grundfläche mal Höhe. Jetzt weitest du genau diese Idee aus. Ein Verpackungskarton mit dreieckigem Querschnitt, eine gedrechselte Holzsäule, ein Kegel als Lampenschirm, eine Holzkugel – für jeden dieser Körper gibt es eine Formel, und fast alle gehen auf dieselbe Grundvorstellung zurück: stapeln. Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach, wie du bei jedem dieser Körper das Volumen (den Rauminhalt) und die Oberfläche (die gesamte Außenhaut) berechnest – und wie du beides bei zusammengesetzten Körpern kombinierst.
Wann kommt dieses Thema dran? Mathematik I behandelt dieses Thema bereits in der 9. Klasse, Mathematik II/III erst in der 10. Klasse – der Inhalt ist identisch, nur der Zeitpunkt unterscheidet sich. Beide Ausrichtungen haben dafür 20 Stunden vorgesehen. Einen einzigen Unterschied gibt es doch: Mathematik II/III hat zusätzlich die Axialschnitte von Rotationskörpern in der Kompetenzerwartung. Dieser Punkt steht im letzten Kapitel und ist dort ausdrücklich gekennzeichnet.
Wozu brauchst du das?
Überall dort, wo etwas hineinpasst oder etwas außen herum muss: den Rauminhalt eines Verpackungskartons bestimmen · ausrechnen, wie viel Lack die Außenfläche eines Werkstücks braucht · aus dem Volumen und der Dichte das Gewicht eines Holzteils bestimmen · den Materialverbrauch für einen Blechtrichter aus seiner Abwicklung ablesen · ein Silo, einen Tank oder ein Schwimmbecken füllen. In der Abschlussprüfung ist die Raumgeometrie einer der größten Aufgabenblöcke – meist als zusammengesetzter Körper, bei dem du zuerst mit dem Satz des Pythagoras eine fehlende Länge bestimmen musst.
Inhalt dieser Seite
- Die Grundidee: Stapeln und das Prinzip von Cavalieri
- Das Prisma: Volumen und Oberfläche
- Die Pyramide – und woher das Drittel kommt
- Der gerade Kreiszylinder
- Der gerade Kreiskegel
- Die Kugel
- Zusammengesetzte Körper
- Funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme
- Rotationskörper und Axialschnitte (nur Mathematik II/III)
- Das Wichtigste in Kürze
1. Die Grundidee: Stapeln und das Prinzip von Cavalieri
Lege 100 gleiche Spielkarten aufeinander. Der Stapel ist ein Quader: Volumen gleich Grundfläche mal Höhe. Schiebe die Karten nun seitlich gegeneinander, sodass der Stapel schräg steht. Keine Karte ist verschwunden, keine ist dicker geworden – das Volumen ist unverändert, obwohl der Körper jetzt ganz anders aussieht.
Genau das ist das Prinzip von Cavalieri: Zwei Körper mit gleicher Höhe haben dasselbe Volumen, wenn jeder waagrechte Schnitt in gleicher Höhe bei beiden denselben Flächeninhalt hat. Daraus folgt der Satz, der auf dieser ganzen Seite die Hauptrolle spielt: Es kommt nur auf die Grundfläche und die Höhe an, nicht auf die Form der Grundfläche und nicht darauf, ob der Körper gerade oder schief steht.
Keine Karte geht verloren: Verschieben ändert die Form, aber nicht das Volumen.
Achte bei allen Formeln auf zwei Dinge. Erstens: Die Höhe \( h \) steht immer senkrecht auf der Grundfläche – sie ist nie eine schräge Kante. Zweitens: Volumen misst du in Kubikeinheiten (\( \text{cm}^3 \), \( \text{dm}^3 \), \( \text{m}^3 \)), Oberflächen in Quadrateinheiten (\( \text{cm}^2 \), \( \text{m}^2 \)). Merke dir außerdem: \( 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l} \) und \( 1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml} \).
Merke: Nach dem Prinzip von Cavalieri hängt das Volumen nur von der Grundfläche und der senkrechten Höhe ab. Deshalb gilt für jeden Prismenkörper \( V = G \cdot h \) und für jeden Spitzkörper \( V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \) – egal, welche Form die Grundfläche hat.
2. Das Prisma: Volumen und Oberfläche
Ein Prisma entsteht, wenn du ein ebenes Vieleck senkrecht in die Höhe ziehst. Oben und unten liegt dieselbe Figur, die Grundfläche \( G \); rundherum liegen Rechtecke, zusammen der Mantel \( M \). Der Quader aus der 6. Klasse ist genau der Sonderfall mit rechteckiger Grundfläche.
Dabei ist \( u \) der Umfang der Grundfläche. Warum \( M = u \cdot h \)? Wickle den Mantel ab: Es entsteht ein einziges großes Rechteck, das so hoch ist wie das Prisma und so breit wie der Umfang der Grundfläche.
Beispiel – ein Verpackungskarton des Holzwerks Brandl
Für lange Leisten fertigt das Holzwerk Brandl Kartons mit dreieckigem Querschnitt. Die Grundfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \( g = 12\ \text{cm} \) und der zugehörigen Höhe \( h_g = 8\ \text{cm} \); der Karton ist \( h = 30\ \text{cm} \) lang. Wie groß sind Volumen und Oberfläche?
Die beiden Schenkel sind je 10 cm lang – das folgt aus \( \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \).
| Grundfläche | \( G = \dfrac{1}{2} \cdot 12\ \text{cm} \cdot 8\ \text{cm} = 48\ \text{cm}^2 \) |
| Volumen | \( V = 48\ \text{cm}^2 \cdot 30\ \text{cm} = 1440\ \text{cm}^3 \) |
| Schenkellänge | \( \sqrt{6^2 + 8^2}\ \text{cm} = \sqrt{100}\ \text{cm} = 10\ \text{cm} \) |
| Umfang der Grundfläche | \( u = 12\ \text{cm} + 10\ \text{cm} + 10\ \text{cm} = 32\ \text{cm} \) |
| Mantel | \( M = 32\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} = 960\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = 2 \cdot 48\ \text{cm}^2 + 960\ \text{cm}^2 = 1056\ \text{cm}^2 \) |
Kontrolle und Antwort: \( 1440\ \text{cm}^3 = 1{,}44\ \text{dm}^3 = 1{,}44\ \text{l} \). Der Karton fasst also 1,44 Liter; für seine Außenhülle werden \( 1056\ \text{cm}^2 \), also gut ein Zehntel Quadratmeter Karton gebraucht. Beachte, dass hier zwei verschiedene Höhen vorkommen: die Höhe \( h_g = 8\ \text{cm} \) im Grundflächendreieck und die Körperhöhe \( h = 30\ \text{cm} \). Sie zu verwechseln ist der häufigste Fehler in dieser Aufgabenart.
Merke: Beim Prisma gilt \( V = G \cdot h \), \( M = u \cdot h \) und \( O = 2G + M \). Die Grundfläche \( G \) berechnest du mit der Formel, die zu ihrer Form gehört (Dreieck, Trapez, Sechseck …), der Umfang \( u \) ist die Summe aller Seiten dieser Grundfläche. \( h \) ist immer die Körperhöhe, nie eine Höhe innerhalb der Grundfläche.
3. Die Pyramide – und woher das Drittel kommt
Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche und läuft in einer Spitze zusammen. Ihre Formel enthält den Faktor \( \tfrac{1}{3} \) – und das ist keine Willkür. Nimm ein dreiseitiges Prisma und zerlege es: Es zerfällt in genau drei Pyramiden, die alle dasselbe Volumen haben. Jede einzelne ist also ein Drittel des Prismas.
Links die Herleitung des Drittels, rechts das Netz einer quadratischen Pyramide: ein Quadrat und vier Dreiecke.
Bei einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante \( a \) besteht der Mantel aus vier gleichschenkligen Dreiecken. Deren Höhe heißt Seitenhöhe \( h_s \). Sie ist nicht die Körperhöhe – du bekommst sie mit dem Satz des Pythagoras aus \( h \) und der halben Grundkante:
Beispiel – ein pyramidenförmiger Dachaufsatz
Ein Dachaufsatz aus Fichtenholz ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante \( a = 10\ \text{cm} \) und der Höhe \( h = 12\ \text{cm} \). Berechne Volumen und Oberfläche.
| Grundfläche | \( G = (10\ \text{cm})^2 = 100\ \text{cm}^2 \) |
| Volumen | \( V = \tfrac{1}{3} \cdot 100\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 400\ \text{cm}^3 \) |
| Seitenhöhe | \( h_s = \sqrt{12^2 + 5^2}\ \text{cm} = \sqrt{169}\ \text{cm} = 13\ \text{cm} \) |
| Mantel | \( M = 2 \cdot 10\ \text{cm} \cdot 13\ \text{cm} = 260\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = 100\ \text{cm}^2 + 260\ \text{cm}^2 = 360\ \text{cm}^2 \) |
Kontrolle: Ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe hätte \( 100\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 1200\ \text{cm}^3 \) – und \( 1200 : 3 = 400 \) ✓. Probe der Seitenhöhe: \( 13^2 = 169 = 144 + 25 = 12^2 + 5^2 \) ✓. Antwort: Der Dachaufsatz hat ein Volumen von \( 400\ \text{cm}^3 \) und eine Oberfläche von \( 360\ \text{cm}^2 \).
Verwechsle die drei Längen nicht: die Körperhöhe \( h = 12\ \text{cm} \) von der Spitze senkrecht zur Grundfläche, die Seitenhöhe \( h_s = 13\ \text{cm} \) in der Mitte einer Seitenfläche und die Seitenkante von der Spitze zu einer Ecke, hier \( \sqrt{12^2 + (\sqrt{50})^2}\ \text{cm} = \sqrt{194}\ \text{cm} \approx 13{,}93\ \text{cm} \). In die Mantelformel gehört ausschließlich \( h_s \).
Merke: Für jede Pyramide gilt \( V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \) und \( O = G + M \) – sie hat nur eine Grundfläche. Die Seitenhöhe der quadratischen Pyramide bestimmst du über \( h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} \). Zeichne im Zweifel das rechtwinklige Dreieck aus \( h \), \( \tfrac{a}{2} \) und \( h_s \) heraus.
4. Der gerade Kreiszylinder
Ein gerader Kreiszylinder ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Kreis ist. Es ändert sich also nichts an der Idee, nur die Grundflächenformel wird ersetzt: \( G = \pi r^2 \), Umfang \( u = 2\pi r \).
Auch die Abwicklung des Mantels funktioniert wie beim Prisma: Schneide den Mantel entlang einer Linie auf und rolle ihn aus – es entsteht ein Rechteck mit der Breite \( 2\pi r \) (dem Kreisumfang) und der Höhe \( h \).
Die Breite des Mantelrechtecks ist genau der Umfang des Grundkreises.
Beispiel – eine gedrechselte Holzsäule
Das Holzwerk Brandl drechselt zylindrische Säulen mit dem Radius \( r = 5\ \text{cm} \) und der Höhe \( h = 12\ \text{cm} \). Berechne Volumen und Oberfläche, jeweils exakt und gerundet.
| Grundfläche | \( G = \pi \cdot (5\ \text{cm})^2 = 25\pi\ \text{cm}^2 \approx 78{,}54\ \text{cm}^2 \) |
| Volumen (exakt) | \( V = 25\pi\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 300\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Volumen (gerundet) | \( V \approx 942{,}5\ \text{cm}^3 \) |
| Mantel | \( M = 2\pi \cdot 5\ \text{cm} \cdot 12\ \text{cm} = 120\pi\ \text{cm}^2 \approx 377{,}0\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = 2 \cdot 25\pi + 120\pi = 170\pi\ \text{cm}^2 \approx 534{,}1\ \text{cm}^2 \) |
Kontrolle: \( 300 \cdot 3{,}14159\ldots = 942{,}477\ldots \) ✓ und \( 170 \cdot 3{,}14159\ldots = 534{,}070\ldots \) ✓. Antwort: Die Säule hat das Volumen \( 300\pi\ \text{cm}^3 \approx 942{,}5\ \text{cm}^3 \) und die Oberfläche \( 170\pi\ \text{cm}^2 \approx 534{,}1\ \text{cm}^2 \).
Rechne so lange wie möglich mit \( \pi \) als Symbol weiter und runde erst ganz am Ende. Wer schon nach dem ersten Schritt auf 78,5 rundet, schleppt den Rundungsfehler durch die ganze Rechnung.
Merke: Der Zylinder ist ein Prisma mit Kreis als Grundfläche: \( V = \pi r^2 h \), \( M = 2\pi r h \), \( O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h) \). Der abgewickelte Mantel ist ein Rechteck mit den Seiten \( 2\pi r \) und \( h \). Gib das Ergebnis exakt als Vielfaches von \( \pi \) und gerundet an.
5. Der gerade Kreiskegel
Der Kegel verhält sich zum Zylinder genau so wie die Pyramide zum Prisma: gleiche Grundfläche, gleiche Höhe, ein Drittel des Volumens. Neu ist die Mantellinie \( s \) – die schräge Strecke von der Spitze zum Rand des Grundkreises. Sie bildet mit \( r \) und \( h \) ein rechtwinkliges Dreieck:
Der abgewickelte Kegelmantel ist kein Rechteck, sondern ein Kreissektor mit dem Radius \( s \). Sein Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises, also \( 2\pi r \). Daraus ergibt sich der Mittelpunktswinkel der Abwicklung:
Der Sektorbogen und der Umfang des Grundkreises sind gleich lang – sonst passte der Mantel nicht.
Beispiel – ein gedrechselter Kegelaufsatz
Auf die Säule aus Kapitel 4 kommt ein Kegel mit demselben Radius \( r = 5\ \text{cm} \) und der Höhe \( h = 12\ \text{cm} \).
| Mantellinie | \( s = \sqrt{5^2 + 12^2}\ \text{cm} = \sqrt{169}\ \text{cm} = 13\ \text{cm} \) |
| Volumen (exakt) | \( V = \tfrac{1}{3} \cdot 25\pi\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 100\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Volumen (gerundet) | \( V \approx 314{,}2\ \text{cm}^3 \) |
| Mantel | \( M = \pi \cdot 5\ \text{cm} \cdot 13\ \text{cm} = 65\pi\ \text{cm}^2 \approx 204{,}2\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = 25\pi + 65\pi = 90\pi\ \text{cm}^2 \approx 282{,}7\ \text{cm}^2 \) |
Kontrolle: Der Zylinder mit gleichem \( r \) und \( h \) hatte \( 300\pi\ \text{cm}^3 \); ein Drittel davon ist \( 100\pi\ \text{cm}^3 \) ✓. Und \( 90 \cdot 3{,}14159\ldots = 282{,}743\ldots \) ✓. Der Abwicklungswinkel beträgt \( \alpha = 360^\circ \cdot \tfrac{5}{13} = \tfrac{1800^\circ}{13} \approx 138{,}5^\circ \).
Der klassische Fehler: \( h \) statt \( s \) in die Mantelformel einsetzen. \( \pi \cdot 5 \cdot 12 = 60\pi \) wäre falsch – die Mantelfläche ist schräg und damit größer. Merke: In \( V \) steht die Höhe, in \( M \) steht die Mantellinie.
Merke: Beim geraden Kreiskegel gilt \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \), \( M = \pi r s \) und \( O = \pi r^2 + \pi r s = \pi r (r + s) \), wobei \( s = \sqrt{r^2 + h^2} \). Die Abwicklung des Mantels ist ein Kreissektor mit dem Radius \( s \) und dem Winkel \( \alpha = 360^\circ \cdot \tfrac{r}{s} \).
6. Die Kugel
Die Kugel ist der einzige Körper hier ohne Grundfläche, ohne Kante und ohne Netz – du kannst ihre Oberfläche nicht in die Ebene abwickeln (deshalb ist jede Weltkarte verzerrt). Beide Formeln hängen nur vom Radius ab:
Eine Merkhilfe aus dem Prinzip von Cavalieri: Eine Kugel vom Radius \( r \) füllt genau zwei Drittel des Zylinders aus, in den sie exakt hineinpasst (Radius \( r \), Höhe \( 2r \)). Rechne nach: \( \tfrac{2}{3} \cdot \pi r^2 \cdot 2r = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \) ✓. Und die Kugeloberfläche \( 4\pi r^2 \) ist genau viermal so groß wie die Fläche des Großkreises \( \pi r^2 \).
Zwei Drittel für das Volumen, vier Großkreise für die Oberfläche – zwei Bilder, die man sich gut merkt.
Beispiel – eine gedrechselte Holzkugel
Eine Kugel aus Buchenholz hat den Durchmesser \( d = 12\ \text{cm} \). Berechne Volumen und Oberfläche.
| Radius | \( r = 12\ \text{cm} : 2 = 6\ \text{cm} \) |
| \( r^3 \) | \( 6^3 = 216 \) |
| Volumen (exakt) | \( V = \tfrac{4}{3} \pi \cdot 216\ \text{cm}^3 = 288\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Volumen (gerundet) | \( V \approx 904{,}8\ \text{cm}^3 \) |
| Oberfläche | \( O = 4\pi \cdot 36\ \text{cm}^2 = 144\pi\ \text{cm}^2 \approx 452{,}4\ \text{cm}^2 \) |
Kontrolle: \( \tfrac{4}{3} \cdot 216 = 288 \) ✓ und \( 288 \cdot 3{,}14159\ldots = 904{,}778\ldots \) ✓; \( 144 \cdot 3{,}14159\ldots = 452{,}389\ldots \) ✓. Antwort: Die Kugel hat das Volumen \( 288\pi\ \text{cm}^3 \approx 904{,}8\ \text{cm}^3 \) und die Oberfläche \( 144\pi\ \text{cm}^2 \approx 452{,}4\ \text{cm}^2 \).
Die häufigste Falle: Im Text steht der Durchmesser, in der Formel steht der Radius. Hättest du 12 statt 6 eingesetzt, wäre das Ergebnis achtmal zu groß, denn \( 2^3 = 8 \).
Merke: Für die Kugel gilt \( V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \) und \( O = 4\pi r^2 \). Beide Formeln brauchen den Radius; steht im Text der Durchmesser, halbiere ihn zuerst. Die Kugel hat keine Grundfläche, kein \( h \) und kein Netz.
7. Zusammengesetzte Körper
In der Prüfung kommt selten ein einzelner Körper vor, sondern fast immer eine Kombination. Die Strategie ist immer dieselbe:
So gehst du vor: (1) Den Körper in Teilkörper zerlegen und jeden benennen. (2) Fehlende Längen bestimmen – meist mit dem Satz des Pythagoras. (3) Volumen addieren (oder bei einer Bohrung subtrahieren). (4) Bei der Oberfläche nicht die Teiloberflächen addieren, sondern überlegen, welche Flächen tatsächlich außen sichtbar sind. (5) Antwortsatz mit Einheit.
Die beiden Kreisflächen in der Mitte verschwinden im Inneren – sie gehören nicht zur Außenhaut.
Beispiel – das komplette Drechselteil
Das Drechselteil besteht aus der Säule aus Kapitel 4 (\( r = 5\ \text{cm} \), \( h_1 = 12\ \text{cm} \)) mit dem aufgesetzten Kegel aus Kapitel 5 (\( r = 5\ \text{cm} \), \( h_2 = 12\ \text{cm} \), \( s = 13\ \text{cm} \)). Berechne Volumen und Oberfläche. Buchenholz hat die Dichte \( 0{,}72\ \tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \) – wie schwer ist das Teil?
| Volumen Zylinder | \( V_1 = 25\pi \cdot 12 = 300\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Volumen Kegel | \( V_2 = \tfrac{1}{3} \cdot 25\pi \cdot 12 = 100\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Gesamtvolumen | \( V = 400\pi\ \text{cm}^3 \approx 1256{,}6\ \text{cm}^3 \) |
| Grundkreis unten | \( \pi r^2 = 25\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Zylindermantel | \( 2\pi r h_1 = 120\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Kegelmantel | \( \pi r s = 65\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = 25\pi + 120\pi + 65\pi = 210\pi\ \text{cm}^2 \approx 659{,}7\ \text{cm}^2 \) |
Masse: \( m = V \cdot \varrho \approx 1256{,}6\ \text{cm}^3 \cdot 0{,}72\ \tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \approx 904{,}8\ \text{g} \), also rund 0,9 kg.
Kontrolle: \( 400 \cdot 3{,}14159\ldots = 1256{,}637\ldots \) ✓ und \( 210 \cdot 3{,}14159\ldots = 659{,}734\ldots \) ✓. Beachte den entscheidenden Punkt: Die Einzeloberflächen wären \( 170\pi + 90\pi = 260\pi \) – um \( 50\pi \) zu viel. Genau diese \( 50\pi = 2 \cdot 25\pi \) sind die beiden Kreisflächen, die in der Klebefuge verschwinden. Antwort: Das Drechselteil hat \( 400\pi\ \text{cm}^3 \approx 1256{,}6\ \text{cm}^3 \) Volumen, \( 210\pi\ \text{cm}^2 \approx 659{,}7\ \text{cm}^2 \) Oberfläche und wiegt etwa 905 g.
Merke: Bei zusammengesetzten Körpern addierst du Volumina (bei Bohrungen und Aussparungen subtrahierst du). Die Oberfläche setzt du dagegen aus den tatsächlich sichtbaren Teilflächen zusammen: Berührflächen im Inneren zählen nicht mit. Schreibe dir jede Teilfläche einzeln auf und hake sie ab.
8. Funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme
Bis jetzt waren alle Maße fest vorgegeben. Jetzt lässt du eine Länge variabel: Das Volumen wird dann eine Funktion dieser Länge, und du kannst fragen, für welchen Wert es am größten wird.
Beispiel – die größtmögliche Schachtel
Aus einer quadratischen Sperrholzplatte mit der Seitenlänge 24 cm schneidet das Holzwerk Brandl an allen vier Ecken Quadrate der Seitenlänge \( x \) heraus und klappt die Ränder zu einer oben offenen Schachtel hoch. Für welches \( x \) fasst die Schachtel am meisten?
Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \( 24 – 2x \), die Höhe ist \( x \). Also:
Der Definitionsbereich ist wichtig: Für \( x \le 0 \) schneidest du nichts heraus, ab \( x \ge 12 \) bleibt keine Grundfläche übrig. Eine Wertetabelle zeigt, wo das Maximum liegt:
| \( x \) in cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \( V(x) \) in cm³ | 484 | 800 | 972 | 1024 | 980 | 864 |
Der Graph steigt bis \( x = 4 \) und fällt danach – das Maximum liegt am Hochpunkt.
Nachrechnen der Randwerte: \( V(3) = 3 \cdot 18^2 = 3 \cdot 324 = 972 \), \( V(4) = 4 \cdot 16^2 = 4 \cdot 256 = 1024 \), \( V(5) = 5 \cdot 14^2 = 5 \cdot 196 = 980 \). Die Nachbarwerte sind kleiner, das Maximum liegt also bei \( x = 4 \). Antwort: Schneidet man Eckquadrate mit 4 cm Seitenlänge heraus, entsteht die größte Schachtel: 16 cm × 16 cm × 4 cm mit \( 1024\ \text{cm}^3 \).
Zweites Beispiel – ein Spitzkörper: die größte Pyramide
Extremwertaufgaben gibt es zu jedem Körpertyp, nicht nur zum Quader. Das Holzwerk Brandl dreht quadratische Zierpyramiden, bei denen Grundkante \( x \) und Höhe zusammen immer 18 cm ergeben, die Höhe also \( h = 18 – x \) beträgt. Für welches \( x \) wird das Volumen am größten?
| \( x \) in cm | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| \( V(x) \) in cm³ | 243 | 266,7 | 282,3 | 288 | 281,7 | 261,3 |
Nachrechnen: \( V(11) = \tfrac{1}{3} \cdot 121 \cdot 7 = \tfrac{847}{3} \approx 282{,}3 \), \( V(12) = \tfrac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 = \tfrac{864}{3} = 288 \), \( V(13) = \tfrac{1}{3} \cdot 169 \cdot 5 = \tfrac{845}{3} \approx 281{,}7 \). Beide Nachbarwerte sind kleiner ✓. Antwort: Bei der Grundkante \( x = 12\ \text{cm} \) und der Höhe \( h = 6\ \text{cm} \) ist das Volumen mit \( 288\ \text{cm}^3 \) am größten. Die Werte steigen bis \( x = 12 \) und fallen danach wieder – genau diese Begründung über die Wertetabelle wird in der Realschule verlangt, eine Ableitung brauchst du dafür nicht.
Merke: Bei Extremwertaufgaben stellst du zuerst die Zielgröße (hier das Volumen) als Term einer einzigen Variablen dar und gibst den Definitionsbereich an, der zur Sachsituation passt. Den größten Wert findest du über eine Wertetabelle und den Graphen – der Hochpunkt liefert die Lösung.
9. Rotationskörper und Axialschnitte (nur Mathematik II/III)
Dieses Kapitel steht nur in der Kompetenzerwartung für Mathematik II/III (Jahrgangsstufe 10). Wer Mathematik I hat, darf es trotzdem lesen – es hilft beim Verständnis aller vorherigen Körper.
Ein Rotationskörper entsteht, wenn sich eine ebene Figur einmal vollständig um eine Achse dreht. Der Schnitt entlang dieser Drehachse heißt Axialschnitt. Er ist immer achsensymmetrisch zur Rotationsachse – und aus ihm kannst du alle Maße des Körpers ablesen.
| rotierende Figur | Rotationskörper | Axialschnitt |
| Rechteck an einer Seite | Zylinder | Rechteck (\( 2r \) breit, \( h \) hoch) |
| rechtwinkliges Dreieck an einer Kathete | Kegel | gleichschenkliges Dreieck |
| Halbkreis am Durchmesser | Kugel | Kreis mit dem Radius \( r \) |
Die gestrichelte Linie ist jeweils die Rotationsachse.
Beispiel – vom Axialschnitt zum Körper
Der Axialschnitt eines Rotationskörpers ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 10 cm und der Höhe 12 cm; die Rotationsachse ist die Höhe auf die Basis. Um welchen Körper handelt es sich, und wie groß ist er?
| Körper | gerader Kreiskegel |
| Radius | \( r = 10\ \text{cm} : 2 = 5\ \text{cm} \) |
| Höhe | \( h = 12\ \text{cm} \) |
| Schenkel = Mantellinie | \( s = \sqrt{5^2 + 12^2}\ \text{cm} = 13\ \text{cm} \) |
| Volumen | \( V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12\ \text{cm}^3 = 100\pi\ \text{cm}^3 \approx 314{,}2\ \text{cm}^3 \) |
Das ist genau der Kegel aus Kapitel 5 – nur anders beschrieben. Wichtig: Die Basis des Axialschnitts ist der Durchmesser, nicht der Radius. Und der Schenkel des Dreiecks ist die Mantellinie \( s \), nicht die Höhe.
Merke: Der Axialschnitt ist der Schnitt entlang der Rotationsachse. Rechteck → Zylinder, gleichschenkliges Dreieck → Kegel, Kreis → Kugel. Die Breite des Axialschnitts quer zur Achse ist immer der Durchmesser \( 2r \) – halbiere sie, bevor du in eine Formel einsetzt.
10. Das Wichtigste in Kürze
| Körper | Volumen | Oberfläche |
| Prisma | \( V = G \cdot h \) | \( O = 2G + u \cdot h \) |
| Pyramide | \( V = \tfrac{1}{3} G \cdot h \) | \( O = G + M \), quadratisch: \( M = 2 a h_s \) |
| Kreiszylinder | \( V = \pi r^2 h \) | \( O = 2\pi r (r + h) \) |
| Kreiskegel | \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \) | \( O = \pi r (r + s) \), \( s = \sqrt{r^2 + h^2} \) |
| Kugel | \( V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \) | \( O = 4\pi r^2 \) |
- Alles folgt aus zwei Grundformeln: Säulen (Prisma, Zylinder) haben \( V = G \cdot h \), Spitzkörper (Pyramide, Kegel) haben \( V = \tfrac{1}{3} G \cdot h \). Die Kugel ist der Sonderfall.
- Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Verwechsle sie nicht mit der Seitenhöhe \( h_s \) der Pyramide oder der Mantellinie \( s \) des Kegels – beide bekommst du über den Satz des Pythagoras.
- Fehlende Längen hängen fast immer an einem rechtwinkligen Dreieck. Zeichne es einzeln heraus, bevor du rechnest.
- Bei \( \pi \) rechnest du bis zum Schluss exakt weiter und gibst das Ergebnis als Vielfaches von \( \pi \) und gerundet an.
- Bei zusammengesetzten Körpern werden Volumina addiert bzw. subtrahiert, die Oberfläche aber aus den sichtbaren Flächen zusammengesetzt.
- Steht im Text der Durchmesser, halbiere ihn zuerst. Und prüfe die Einheiten: Volumen in \( \text{cm}^3 \), Oberfläche in \( \text{cm}^2 \), \( 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l} \).
11. So fragt die Abschlussprüfung
Raumgeometrie ist in der Abschlussprüfung ein sicherer Punktebringer, weil die Aufgabentypen sich kaum ändern: Ein Körper ist gegeben, eine fehlende Länge muss über ein rechtwinkliges Teildreieck bestimmt werden, danach folgen Volumen und Oberfläche. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext.
Aufgabe 1 – quadratische Pyramide: erst die Seitenhöhe, dann die Oberfläche. Das Holzwerk Brandl fertigt für ein Regalsystem massive Zieraufsätze in Form einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante \( a = 12\ \text{cm} \) und der Höhe \( h = 8\ \text{cm} \). Berechne Volumen und Oberfläche.
| Grundfläche | \( G = a^2 = (12\ \text{cm})^2 = 144\ \text{cm}^2 \) |
| Volumen | \( V = \tfrac{1}{3} \cdot 144\ \text{cm}^2 \cdot 8\ \text{cm} = 384\ \text{cm}^3 \) |
| Seitenhöhe (Pythagoras) | \( h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{cm} \) |
| Mantelfläche | \( M = 2 a h_s = 2 \cdot 12\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 240\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = G + M = 144\ \text{cm}^2 + 240\ \text{cm}^2 = 384\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: \( 144 \cdot 8 = 1152 \) und \( 1152 : 3 = 384 \) ✓. Die Seitenhöhe prüfst du rückwärts: \( 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2 \) ✓. Vier Dreiecke einzeln gerechnet: \( 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 240 \) ✓, das bestätigt die Kurzformel \( M = 2ah_s \). Antwort: Der Aufsatz hat \( 384\ \text{cm}^3 \) Volumen und \( 384\ \text{cm}^2 \) Oberfläche. Dass beide Zahlen gleich sind, ist Zufall – achte deshalb streng auf die Einheiten \( \text{cm}^3 \) und \( \text{cm}^2 \).
Aufgabe 2 – Kegel: Mantellinie über Pythagoras. Jonas dreht eine kegelförmige Zaunpfosten-Spitze mit dem Radius \( r = 9\ \text{cm} \) und der Höhe \( h = 12\ \text{cm} \). Berechne Volumen und Oberfläche, exakt und gerundet.
| Mantellinie | \( s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \text{cm} \) |
| Volumen | \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12\ \text{cm}^3 = 324\pi\ \text{cm}^3 \) |
| gerundet | \( V \approx 1017{,}88\ \text{cm}^3 \) |
| Oberfläche | \( O = \pi r (r+s) = \pi \cdot 9 \cdot 24\ \text{cm}^2 = 216\pi\ \text{cm}^2 \approx 678{,}58\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: \( 81 \cdot 12 = 972 \) und \( 972 : 3 = 324 \) ✓; \( 324 \cdot 3{,}14159265 = 1017{,}876\ldots \) ✓. Bei der Oberfläche getrennt gerechnet: Grundkreis \( \pi \cdot 81 = 81\pi \), Mantel \( \pi r s = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi \), Summe \( 216\pi \) ✓; \( 216 \cdot 3{,}14159265 = 678{,}584\ldots \) ✓. Antwort: Die Spitze hat \( 324\pi\ \text{cm}^3 \approx 1017{,}88\ \text{cm}^3 \) Volumen und \( 216\pi\ \text{cm}^2 \approx 678{,}58\ \text{cm}^2 \) Oberfläche.
Aufgabe 3 – rückwärts: die Höhe ist gesucht. Ein zylindrischer Leimbehälter mit dem Innenradius \( r = 10\ \text{cm} \) hat das Volumen \( V = 2000\pi\ \text{cm}^3 \). Wie hoch ist er innen?
| Grundformel | \( V = \pi r^2 h \), \( \; h \in \text{IR},\ h > 0 \) |
| nach \( h \) umstellen | \( h = \dfrac{V}{\pi r^2} \) |
| einsetzen und kürzen | \( h = \dfrac{2000\pi\ \text{cm}^3}{\pi \cdot 100\ \text{cm}^2} = \dfrac{2000}{100}\ \text{cm} \) |
| Ergebnis | \( h = 20\ \text{cm} \) |
Gegenprobe: Vorwärts: \( \pi \cdot 100\ \text{cm}^2 \cdot 20\ \text{cm} = 2000\pi\ \text{cm}^3 \) ✓. Zweite Kontrolle über das Fassungsvermögen: \( 2000\pi\ \text{cm}^3 \approx 6283\ \text{cm}^3 = 6{,}283\ \text{dm}^3 \), also knapp 6,3 Liter – für einen Leimkanister eine plausible Größe ✓. Antwort: Der Behälter ist innen 20 cm hoch. Weil \( \pi \) in Zähler und Nenner steht, kürzt es sich vollständig heraus – du brauchst hier keinen Taschenrechner.
Aufgabe 4 – zusammengesetzter Körper: verdeckte Flächen erkennen. Merve dreht Regalknäufe: ein Zylinder mit \( r = 3\ \text{cm} \) und \( h = 4\ \text{cm} \), oben mit einer aufgesetzten Halbkugel desselben Radius. Berechne Volumen und die zu lackierende Oberfläche.
| Zylindervolumen | \( V_1 = \pi \cdot 9 \cdot 4\ \text{cm}^3 = 36\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Halbkugelvolumen | \( V_2 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi \cdot 27\ \text{cm}^3 = 18\pi\ \text{cm}^3 \) |
| Gesamtvolumen | \( V = 54\pi\ \text{cm}^3 \approx 169{,}65\ \text{cm}^3 \) |
| sichtbar: Grundkreis unten | \( \pi \cdot 9\ \text{cm}^2 = 9\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Zylindermantel | \( 2\pi \cdot 3 \cdot 4\ \text{cm}^2 = 24\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Halbkugelkappe | \( \tfrac{1}{2} \cdot 4\pi \cdot 9\ \text{cm}^2 = 18\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Oberfläche | \( O = 51\pi\ \text{cm}^2 \approx 160{,}22\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: \( 54 \cdot 3{,}14159265 = 169{,}6460\ldots \) ✓ und \( 51 \cdot 3{,}14159265 = 160{,}2212\ldots \) ✓. Der entscheidende Punkt: Die Deckfläche des Zylinders (\( 9\pi\ \text{cm}^2 \)) liegt unter der Halbkugel und wird nicht mitgezählt – sonst kämen \( 60\pi\ \text{cm}^2 \) heraus, rund 18 % zu viel. Antwort: Der Knauf hat \( 54\pi\ \text{cm}^3 \approx 169{,}65\ \text{cm}^3 \) Volumen; lackiert werden \( 51\pi\ \text{cm}^2 \approx 160{,}22\ \text{cm}^2 \).
12. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Körperhöhe mit Seitenhöhe oder Mantellinie verwechselt. Ursache: In der Skizze sehen \( h \), \( h_s \) und \( s \) ähnlich aus, und der Text nennt nur eine der drei Größen. Vermeidung: \( h \) steht senkrecht auf der Grundfläche und geht zur Spitze; \( h_s \) und \( s \) liegen in der Mantelfläche. Zeichne das rechtwinklige Teildreieck einzeln heraus – \( h \) ist dort immer eine Kathete, \( s \) bzw. \( h_s \) immer die Hypotenuse.
- Das Drittel bei Pyramide und Kegel vergessen. Ursache: Es wird die Säulenformel \( V = G \cdot h \) verwendet. Vermeidung: Frage zuerst, ob der Körper eine Spitze hat. Spitzkörper haben immer \( V = \tfrac{1}{3} G h \) – und das Ergebnis muss deutlich kleiner sein als bei der gleich hohen Säule.
- Durchmesser statt Radius eingesetzt. Ursache: Der Text nennt den Durchmesser (oder die Breite des Axialschnitts), die Formel braucht aber \( r \). Vermeidung: Notiere \( r = d : 2 \) als eigene erste Zeile. Beim Volumen wird der Fehler vierfach, bei der Kugel sogar achtfach.
- Verdeckte Flächen bei zusammengesetzten Körpern mitgezählt. Ursache: Beide Einzelkörper werden mit ihrer vollen Oberfläche addiert. Vermeidung: Volumina darfst du addieren, Oberflächen nicht – zähle nur, was du nach dem Zusammenbau noch anfassen kannst, und streiche jede Klebe- oder Auflagefläche.
- Einheiten nicht mitgeführt oder falsch umgerechnet. Ursache: \( \text{cm}^3 \) und \( \text{cm}^2 \) werden vertauscht, oder es wird mit dem Längenfaktor 10 statt mit 1000 zwischen \( \text{cm}^3 \) und \( \text{dm}^3 \) gerechnet. Vermeidung: Merke \( 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{Liter} \). Volumen trägt immer die dritte, Oberfläche immer die zweite Potenz der Längeneinheit.
- \( \pi \) zu früh gerundet. Ursache: Nach dem ersten Teilschritt wird mit 3,14 weitergerechnet, und die Abweichung wächst bei jeder Multiplikation. Vermeidung: Rechne in der Form \( 324\pi \) oder \( 51\pi \) durch und runde erst im Antwortsatz – die Prüfung erwartet meist beides, den exakten und den gerundeten Wert.
Weiterlernen
- Volumen von Quader und Würfel – die Stapel-Idee, aus der alles hier hervorgeht.
- Satz des Pythagoras – das Werkzeug für Seitenhöhe, Mantellinie und Seitenkante.
- Der Kreis – Kreisfläche, Umfang und Kreissektor, die in Zylinder und Kegel stecken.
- Schrägbilder und wahre Größe – wie du räumliche Körper richtig zeichnest und ausmisst.
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