Wahrscheinlichkeiten: Laplace, Gegenereignis und Baumdiagramm

Darum geht es in diesem Lernbereich

1. Die Ergebnismenge
2. Das Ereignis
3. Das Laplace-Experiment
4. Günstige und mögliche Ergebnisse
5. Wahrscheinlichkeit als Bruch
6. Wahrscheinlichkeit als Prozentwert
7. Das Baumdiagramm als Darstellung
8. Das Gegenereignis
9. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
10. Gewinnchancen vergleichen
11. Anspruchsvollere Laplace-Experimente mit zwei Würfeln (nur M-Zug)

Merke: die beiden Grundbegriffe

• Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ausgänge. Beim Würfel: \( \{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\} \) – sechs Ergebnisse.
• Ein Ereignis ist eine Auswahl daraus, beschrieben durch eine Bedingung. „Gerade Augenzahl“ ist das Ereignis \( \{2;\,4;\,6\} \) – drei günstige Ergebnisse.

Voraussetzung: Alle Ergebnisse müssen gleich wahrscheinlich sein – ein Laplace-Experiment. Bei einem Glücksrad mit ungleich großen Feldern gilt die Formel nicht.

Beispiel: Würfel und Urne

a) Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist eine gerade Augenzahl?

\( P(\text{gerade}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\ \% \)

b) In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird einmal gezogen.

\( P(\text{rot}) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\ \% \)

Drei Schreibweisen, ein Wert: Bruch, Dezimalzahl, Prozent. In der Prüfung wird oft ausdrücklich nach einer bestimmten verlangt – lies die Aufgabe genau.

Merke

Das Gegenereignis \( \overline{E} \) enthält alles, was nicht zu \( E \) gehört. Zusammen decken beide die ganze Ergebnismenge ab:

\( P(\overline{E}) = 1 – P(E) \)

Wann es sich lohnt: immer bei dem Wort „mindestens“. Statt viele Fälle einzeln zu addieren, rechnest Du einmal das Gegenteil aus und ziehst es von 1 ab.

Beispiel

a) Aus der Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln:

Kontrolle über das direkte Abzählen: 2 von 5 Kugeln sind blau, also \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \). Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

b) Ein Würfel wird geworfen. Wie wahrscheinlich ist „mindestens 3“?

Das Gegenteil von „mindestens 3“ ist „höchstens 2“, also \( \{1;\,2\} \):

Vorsicht mit der Sprache: „Mindestens 3“ schließt die 3 mit ein. Das Gegenteil ist also „höchstens 2“ und nicht „höchstens 3“.

Merke: die beiden Pfadregeln

• Entlang eines Pfades wird multipliziert.
• Zwischen mehreren günstigen Pfaden wird addiert.

Kontrolle: Alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben immer 1. Und die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten weggehen, ergeben ebenfalls 1.

Beispiel: zweimal Münze werfen

Kontrolle: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \) – das Baumdiagramm ist vollständig.

Bei „genau einmal“ sind es zwei Pfade: KZ und ZK. Wer nur einen zählt, halbiert das Ergebnis.

Beispiel: zwei Lostrommeln

Trommel A enthält 200 Lose, davon 30 Gewinne. Trommel B enthält 500 Lose, davon 70 Gewinne. Wo ist die Chance besser?

A: \( \dfrac{30}{200} = 0{,}15 = 15\ \% \qquad \) B: \( \dfrac{70}{500} = 0{,}14 = 14\ \% \)

Antwort: Trommel A ist besser, obwohl sie weniger Gewinne enthält. Entscheidend ist nicht die Anzahl, sondern der Anteil. Genau diese Verwechslung nutzt Werbung gern aus.

Merke: 36 statt 11 Ergebnisse

Werden zwei Würfel geworfen, denken viele zuerst an die Augensummen von 2 bis 12 – also elf Ergebnisse. Das ist kein Laplace-Experiment, denn die Summe 7 kommt viel häufiger vor als die Summe 2.

Richtig ist, die Würfel als unterscheidbar zu behandeln, zum Beispiel einen roten und einen blauen. Dann gibt es \( 6 \cdot 6 = 36 \) gleich wahrscheinliche Ergebnispaare – und die Laplace-Formel gilt wieder.

Beispiel: vier Fragen an die 36er-Tabelle

a) Augensumme 7? In der Tabelle liegen sechs Felder auf der Diagonale:

\( P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 16{,}7\ \% \)

b) Pasch, also zweimal dieselbe Zahl? Das sind die Paare (1,1) bis (6,6):

\( P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \)

c) Augensumme mindestens 10? Günstig sind (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5) und (6,6):

\( P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \)

d) Mindestens eine 6? Hier lohnt sich das Gegenereignis: „keine 6“ bedeutet, dass beide Würfel eine der Zahlen 1 bis 5 zeigen, also \( 5 \cdot 5 = 25 \) Fälle:

\( P = 1 – \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36} \approx 30{,}6\ \% \)

Warum nicht \( \frac{2}{6} \)? Weil der Fall „zwei Sechsen“ sonst doppelt gezählt würde. Bei solchen Aufgaben ist das Gegenereignis fast immer der sichere Weg.

Die Formeln dieser Seite auf einen Blick

Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.