Mathematik Realschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 3 „Flächeninhalt ebener Figuren“ (LehrplanPLUS) · BY
Flächeninhalt ebener Figuren: vom Rechteck zu Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Drache und Raute
Für ein Rechteck kennst du die Formel schon: Länge mal Breite. Aber wie kommst du auf die Fläche eines Parallelogramms, eines Dreiecks oder eines Trapezes – Formen, die gar keine rechten Winkel haben müssen? Der Trick ist immer derselbe: Du zerlegst die neue Figur in Stücke und setzt sie so wieder zusammen, dass am Ende ein Rechteck entsteht, dessen Fläche du bereits berechnen kannst. Auf dieser Seite zeichnest du diese Umlagerung jedes Mal mit – so siehst du nicht nur, dass eine Formel stimmt, sondern auch warum.
Wozu brauchst du das?
Im Holzwerk Brandl werden ständig Platten in Dreiecks-, Parallelogramm- und Trapezform zugeschnitten – für Dachschrägen, Treppenstufen oder Deko-Elemente. Wer weiß, wie viel Fläche so ein Zuschnitt hat, kann Materialkosten berechnen, den Verschnitt abschätzen und Angebote prüfen. Auch beim Tapezieren einer Dachschräge, beim Anlegen eines rautenförmigen Blumenbeets oder beim Berechnen des Verpackungspapiers für einen Karton brauchst du genau diese Formeln.
Inhalt dieser Seite
- Wiederholung: Rechteck und Quadrat
- Das Parallelogramm: Umlagern in ein Rechteck
- Das Dreieck: die Hälfte eines Parallelogramms
- Das Trapez: verdoppeln zum Parallelogramm
- Drachenviereck und Raute: die Diagonalen nutzen
- Flächeninhalt von Vielecken durch Zerlegung
- Oberflächeninhalt von Quader und Würfel
- Das Wichtigste in Kürze
1. Wiederholung: Rechteck und Quadrat
Diese Formeln kennst du bereits aus Klasse 5 – sie sind die Grundlage für alles, was jetzt folgt. Ein Rechteck mit Länge \( a \) und Breite \( b \) besteht aus lauter Einheitsquadraten in \( a \) Spalten und \( b \) Zeilen, deshalb gilt:
Beispiel
Eine rechteckige Spanplatte im Holzwerk Brandl ist \( a = 12\ \text{dm} \) lang und \( b = 8\ \text{dm} \) breit.
Merke: Beim Rechteck stehen Länge und Breite senkrecht aufeinander, deshalb reicht „Länge mal Breite“. Sobald eine Figur schräge Seiten hat, funktioniert das nicht mehr direkt – genau deshalb brauchst du ab jetzt den Begriff der Höhe, die immer senkrecht auf einer Seite steht.
2. Das Parallelogramm: Umlagern in ein Rechteck
Ein Parallelogramm hat schräge Seiten – „Länge mal Breite“ ergibt hier keinen Sinn. Aber du kannst ein Stück davon abschneiden und so wieder ansetzen, dass ein Rechteck entsteht, das genau dieselbe Fläche hat. Zeichne dazu vom oberen linken Eckpunkt die Höhe senkrecht auf die Grundseite \( g \). Schneidest du das entstehende Dreieck links ab und setzt es rechts wieder an, entsteht ein Rechteck mit den Seiten \( g \) (Grundseite) und \( h \) (Höhe).
Das abgeschnittene Dreieck (links, gestrichelt) passt genau in die Lücke rechts – kein Stückchen Fläche geht verloren.
Das entstandene Rechteck hat die Seiten \( g \) und \( h \), also gilt für das Parallelogramm dieselbe Formel wie für das Rechteck:
Dabei ist \( h \) immer die senkrechte Höhe zur Grundseite \( g \) – nicht die schräge Seitenlänge!
Beispiel
Ein parallelogrammförmiger Zuschnitt für eine Dekoleiste hat die Grundseite \( g = 8\ \text{cm} \) und die dazugehörige Höhe \( h = 5\ \text{cm} \).
Probe durch Zerlegung: Das abgeschnittene Dreieck hat die Katheten \( 2\ \text{cm} \) und \( 5\ \text{cm} \), also \( A_{\text{Dreieck}} = \tfrac{2 \cdot 5}{2} = 5\ \text{cm}^2 \). Der verbleibende Rest des Parallelogramms ist ein Trapez mit \( 40\ \text{cm}^2 – 5\ \text{cm}^2 = 35\ \text{cm}^2 \). Setzt du das Dreieck rechts wieder an, ergibt sich das Rechteck \( 8\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 40\ \text{cm}^2 \) – genauso viel wie vorher ✓.
Merke: \( A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h \), wobei \( h \) die senkrechte Höhe zur gewählten Grundseite \( g \) ist. Ein Parallelogramm entsteht aus einem Rechteck durch Umlagern eines Dreiecks – deshalb bleibt die Fläche gleich, egal wie schräg die Seiten sind.
3. Das Dreieck: die Hälfte eines Parallelogramms
Nimmst du ein Dreieck und legst eine zweite, um 180° gedrehte Kopie davon an eine Seite an, entsteht ein Parallelogramm. Die Grundseite \( g \) und die Höhe \( h \) des Dreiecks sind dabei genau Grundseite und Höhe dieses Parallelogramms – und das Dreieck ist die Hälfte davon.
Dreieck ABC (durchgezogen) und seine gedrehte Kopie BDC (gestrichelt) füllen zusammen genau das Parallelogramm ABDC.
Beispiel
Ein dreieckiges Verschnittstück aus der Schäftung hat die Grundseite \( g = 6\ \text{cm} \) und die Höhe \( h = 4\ \text{cm} \).
Probe durch Verdoppeln: Das zugehörige Parallelogramm hat dieselbe Grundseite und Höhe, also \( A_{\text{Parallelogramm}} = 6\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 24\ \text{cm}^2 \). Das ist genau doppelt so viel wie \( 12\ \text{cm}^2 \) ✓.
Merke: \( A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{g \cdot h}{2} \). Jedes Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms mit gleicher Grundseite und Höhe. Wichtig: Zu jeder der drei Seiten gehört eine andere Höhe – wähle die Seite, zu der du die Höhe am leichtesten bestimmen kannst.
4. Das Trapez: verdoppeln zum Parallelogramm
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten unterschiedlicher Länge: die längere Grundseite \( a \) und die kürzere Seite \( c \). Genau wie beim Dreieck hilft eine um 180° gedrehte Kopie: Setzt du sie an eine Schrägseite an, entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite \( a + c \) und derselben Höhe \( h \).
Zusammen bilden Trapez und gedrehte Kopie ein Parallelogramm mit der Grundseite \( a + c \) – das Trapez ist genau die Hälfte davon.
Fläche des Parallelogramms: \( (a + c) \cdot h \). Das Trapez ist die Hälfte:
Beispiel
Eine trapezförmige Verkleidung für eine Dachgaube hat die Grundseite \( a = 7\ \text{cm} \) (maßstabsgetreu verkleinert), die obere Seite \( c = 3\ \text{cm} \) und die Höhe \( h = 4\ \text{cm} \).
| einsetzen | \( A = \dfrac{(7\ \text{cm} + 3\ \text{cm}) \cdot 4\ \text{cm}}{2} \) |
| Klammer | \( A = \dfrac{10\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm}}{2} = \dfrac{40\ \text{cm}^2}{2} \) |
| Ergebnis | \( A = 20\ \text{cm}^2 \) |
Probe durch Verdoppeln: Das Parallelogramm hätte die Grundseite \( 7\ \text{cm} + 3\ \text{cm} = 10\ \text{cm} \) und die Höhe \( 4\ \text{cm} \), also \( A_{\text{Parallelogramm}} = 10\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 40\ \text{cm}^2 \). Die Hälfte davon ist \( 20\ \text{cm}^2 \) ✓ – genau das Ergebnis von oben.
Merke: \( A_{\text{Trapez}} = \dfrac{(a + c) \cdot h}{2} \), mit \( a \) und \( c \) als den beiden parallelen Seiten und \( h \) als der senkrechten Höhe zwischen ihnen. Verwechsle \( c \) nie mit einer der beiden Schrägseiten – nur die zueinander parallelen Seiten gehören in die Formel.
5. Drachenviereck und Raute: die Diagonalen nutzen
Bei Drachenviereck und Raute stehen die beiden Diagonalen \( e \) und \( f \) senkrecht aufeinander. Zeichnest du um die Figur ein Rechteck, dessen Seiten genau so lang sind wie die Diagonalen, dann liegt die Figur zerlegt in vier rechtwinklige Dreiecke darin – und jedes dieser Dreiecke ist genau halb so groß wie das dazugehörige Reck-Teilstück. Insgesamt füllt die Figur also genau die Hälfte des Rechtecks aus.
Das Rechteck hat die Fläche \( e \cdot f \); das Drachenviereck (grün) nimmt genau die Hälfte davon ein.
Da eine Raute ein Sonderfall des Drachenvierecks ist (alle vier Seiten gleich lang), gilt für sie dieselbe Formel.
Beispiel
Ein rautenförmiges Fenster in der Werkstatthalle hat die Diagonalen \( e = 8\ \text{dm} \) und \( f = 6\ \text{dm} \).
Probe durch Zerlegung: Das umschließende Rechteck hat die Fläche \( 8\ \text{dm} \cdot 6\ \text{dm} = 48\ \text{dm}^2 \). Die Raute füllt genau die Hälfte, also \( 24\ \text{dm}^2 \) ✓.
Merke: \( A_{\text{Drache}} = A_{\text{Raute}} = \dfrac{e \cdot f}{2} \) mit den beiden Diagonalen \( e \) und \( f \), die senkrecht aufeinanderstehen. Diese Formel funktioniert nur, weil die Diagonalen senkrecht zueinander sind – bei einem beliebigen Viereck gilt sie nicht.
6. Flächeninhalt von Vielecken durch Zerlegung
Für Figuren, die zu keiner dieser Grundformen passen, gibt es keine fertige Formel. Der Trick bleibt derselbe wie bei allen bisherigen Herleitungen: Du zerlegst das Vieleck in Rechtecke, Dreiecke, Parallelogramme oder Trapeze, berechnest jede Teilfläche einzeln und addierst.
Ein Zuschnitt für eine Werkbankablage hat die Form eines „Hausfünfecks“: unten ein Rechteck, oben ein Dreieck als Spitze.
| Rechteck (\( 8\ \text{dm} \times 6\ \text{dm} \)) | \( A_1 = 8\ \text{dm} \cdot 6\ \text{dm} = 48\ \text{dm}^2 \) |
| Dreieck (\( g = 8\ \text{dm} \), \( h = 2\ \text{dm} \)) | \( A_2 = \dfrac{8\ \text{dm} \cdot 2\ \text{dm}}{2} = 8\ \text{dm}^2 \) |
| Gesamtfläche | \( A = A_1 + A_2 = 48\ \text{dm}^2 + 8\ \text{dm}^2 = 56\ \text{dm}^2 \) |
Antwort: Die Ablage hat eine Fläche von \( 56\ \text{dm}^2 \).
Merke: Zerlege ein Vieleck immer so, dass nur Rechtecke, Dreiecke, Parallelogramme oder Trapeze entstehen, deren Maße du aus der Zeichnung oder dem Text ablesen kannst. Berechne jede Teilfläche einzeln und addiere am Ende – achte darauf, keine Teilfläche zu vergessen oder doppelt zu zählen.
7. Oberflächeninhalt von Quader und Würfel
Klappst du einen Quader an seinen Kanten auf, erhälst du sein Netz: sechs Rechtecke, die paarweise deckungsgleich sind. Die Oberfläche des Körpers ist einfach die Summe dieser sechs Rechtecksflächen – du berechnest also nur noch Rechtecksflächen, die du schon kennst.
Bei einem Quader mit Länge \( l \), Breite \( b \) und Höhe \( h \) gibt es je zwei gleich große Rechtecke: \( l \cdot b \) (Boden und Deckel), \( l \cdot h \) (vorne und hinten) und \( b \cdot h \) (die beiden Seiten):
Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind (\( l = b = h = a \)). Alle sechs Flächen sind dann gleich große Quadrate:
Beispiel
Eine Holzkiste (Quader) hat die Maße \( l = 5\ \text{dm} \), \( b = 3\ \text{dm} \), \( h = 2\ \text{dm} \). Wie viel Furnier braucht Herr Brandl, um die Kiste außen komplett zu verkleiden?
| Boden/Deckel | \( 2 \cdot (5\ \text{dm} \cdot 3\ \text{dm}) = 30\ \text{dm}^2 \) |
| vorne/hinten | \( 2 \cdot (5\ \text{dm} \cdot 2\ \text{dm}) = 20\ \text{dm}^2 \) |
| beide Seiten | \( 2 \cdot (3\ \text{dm} \cdot 2\ \text{dm}) = 12\ \text{dm}^2 \) |
| Oberfläche gesamt | \( O = 30\ \text{dm}^2 + 20\ \text{dm}^2 + 12\ \text{dm}^2 = 62\ \text{dm}^2 \) |
Probe mit der Formel: \( O = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2)\ \text{dm}^2 = 2 \cdot (15 + 10 + 6)\ \text{dm}^2 = 2 \cdot 31\ \text{dm}^2 = 62\ \text{dm}^2 \) ✓. Antwort: Herr Brandl braucht \( 62\ \text{dm}^2 \) Furnier.
Merke: Die Oberfläche eines Körpers ist die Summe der Flächen seines Netzes. Beim Quader gilt \( O = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) \), beim Würfel vereinfacht sich das zu \( O = 6 \cdot a^2 \).
8. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die Formeln dieser Seite im Überblick:
- Parallelogramm: \( A = g \cdot h \) – entsteht aus einem Rechteck durch Umlagern eines Dreiecks.
- Dreieck: \( A = \dfrac{g \cdot h}{2} \) – die Hälfte eines Parallelogramms mit gleicher Grundseite und Höhe.
- Trapez: \( A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2} \) – die Hälfte eines Parallelogramms mit Grundseite \( a + c \).
- Drachenviereck und Raute: \( A = \dfrac{e \cdot f}{2} \) – die Hälfte des Rechtecks aus den beiden Diagonalen.
- Vielecke: in bekannte Grundformen zerlegen, einzeln berechnen, addieren.
- Oberfläche von Quader und Würfel: \( O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) \), \( O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot a^2 \) – die Summe der Netzflächen.
9. So fragt die Abschlussprüfung
Flächenformeln werden bis zur Abschlussprüfung immer wieder gebraucht – später bei Prismen, Zylindern und beim Satz des Pythagoras. Geprüft wird selten die Formel selbst, sondern ob du die richtige Höhe zur richtigen Grundseite nimmst und die Einheiten führst. Vier Aufgaben aus der Möbelmanufaktur Holzwerk Brandl e.K. in Rosenheim:
Aufgabe 1 – Verschnittdreieck (Dreiecksfläche). Beim Zuschnitt fällt ein dreieckiges Reststück an. Die Grundseite ist 1,20 m lang, die zugehörige Höhe beträgt 0,50 m. Welchen Flächeninhalt hat der Verschnitt?
| Formel | \( A = \tfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \) |
| einsetzen | \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}20\ \text{m} \cdot 0{,}50\ \text{m} \) |
| Zwischenschritt | \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}60\ \text{m}^2 \) |
| Flächeninhalt | \( A = 0{,}30\ \text{m}^2 = 30\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe in Dezimetern: \( \tfrac{1}{2} \cdot 12\ \text{dm} \cdot 5\ \text{dm} = 30\ \text{dm}^2 \) ✓ – und \( 30\ \text{dm}^2 = 0{,}30\ \text{m}^2 \), weil \( 1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 \). Zweite Kontrolle: Das Dreieck muss genau halb so groß sein wie das umschließende Rechteck mit \( 1{,}20 \cdot 0{,}50 = 0{,}60\ \text{m}^2 \) ✓. Antwort: Der Verschnitt hat einen Flächeninhalt von 0,30 m².
Aufgabe 2 – Tischplatte in Trapezform. Eine Eckplatte hat die Form eines rechtwinkligen Trapezes: Die beiden parallelen Seiten messen 1,80 m und 1,20 m, die Höhe dazwischen 0,80 m. Wie groß ist die zu lackierende Fläche?
| Formel | \( A = \tfrac{a + c}{2} \cdot h \) |
| parallele Seiten addieren | \( 1{,}80\ \text{m} + 1{,}20\ \text{m} = 3{,}00\ \text{m} \) |
| halbieren (Mittellinie) | \( 3{,}00\ \text{m} : 2 = 1{,}50\ \text{m} \) |
| Flächeninhalt | \( A = 1{,}50\ \text{m} \cdot 0{,}80\ \text{m} = 1{,}20\ \text{m}^2 \) |
Gegenprobe über die Zerlegung: Das rechtwinklige Trapez besteht aus einem Rechteck \( 1{,}20\ \text{m} \cdot 0{,}80\ \text{m} = 0{,}96\ \text{m}^2 \) und einem Dreieck mit der Grundseite \( 1{,}80 – 1{,}20 = 0{,}60\ \text{m} \) und der Höhe \( 0{,}80\ \text{m} \), also \( \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}60 \cdot 0{,}80 = 0{,}24\ \text{m}^2 \). Zusammen \( 0{,}96 + 0{,}24 = 1{,}20\ \text{m}^2 \) ✓. Antwort: Die Platte hat 1,20 m² Fläche.
Aufgabe 3 – rückwärts: die Höhe gesucht. Ein parallelogrammförmiges Regalbrett hat einen Flächeninhalt von 0,72 m². Die Grundseite ist 1,20 m lang. Wie groß ist die zugehörige Höhe?
| Formel umstellen | \( A = g \cdot h \;\Rightarrow\; h = A : g \) |
| einsetzen | \( h = 0{,}72\ \text{m}^2 : 1{,}20\ \text{m} \) |
| Höhe | \( h = 0{,}60\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( 1{,}20\ \text{m} \cdot 0{,}60\ \text{m} = 0{,}72\ \text{m}^2 \) ✓. Achte auf die Einheiten: Fläche geteilt durch Länge ergibt wieder eine Länge – käme hier „m²“ heraus, wäre der Ansatz falsch. Antwort: Die Höhe des Parallelogramms beträgt 0,60 m.
Aufgabe 4 – Versandkarton (Oberfläche eines Quaders). Ein Karton für Regalböden ist 60 cm lang, 40 cm breit und 20 cm hoch. Wie viel Pappe wird für die Außenfläche gebraucht?
| Formel | \( O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \) |
| die drei verschiedenen Flächen | \( 60 \cdot 40 = 2400 \), \( 60 \cdot 20 = 1200 \), \( 40 \cdot 20 = 800 \) |
| addieren | \( 2400 + 1200 + 800 = 4400\ \text{cm}^2 \) |
| Oberflächeninhalt | \( O = 2 \cdot 4400\ \text{cm}^2 = 8800\ \text{cm}^2 = 88\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe über alle sechs Flächen einzeln: \( 2400 + 2400 + 1200 + 1200 + 800 + 800 = 8800 \) ✓. Antwort: Für den Karton werden 8 800 cm² Pappe gebraucht, also 88 dm² (Klebefalze nicht mitgerechnet).
10. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Beim Dreieck wird die Hälfte vergessen. Ursache: Es wird wie beim Parallelogramm nur \( g \cdot h \) gerechnet. Vermeidung: Denke an die Herleitung – zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm, also gehört der Faktor \( \tfrac{1}{2} \) dazu. Kontrolle: Die Dreiecksfläche muss halb so groß sein wie das umschließende Rechteck.
- Eine schräge Seite als Höhe verwendet. Ursache: Beim Parallelogramm oder Trapez wird die längere Schrägseite eingesetzt, weil sie im Bild als Maß angeschrieben ist. Vermeidung: Die Höhe steht immer senkrecht auf der gewählten Grundseite. Zeichne sie mit einem rechten Winkel ein, bevor du rechnest – und prüfe: Die Höhe ist stets kürzer als die Schrägseite.
- Höhe und Grundseite passen nicht zusammen. Ursache: Es werden zwei Maße aus der Skizze genommen, die zu verschiedenen Seiten gehören (\( a \) und \( h_b \)). Vermeidung: Sprich das Paar laut aus: „Grundseite \( a \) und die Höhe \( h_a \) auf \( a \).“ Der Index verrät dir, welche Höhe zu welcher Seite gehört.
- Beim Trapez die falschen Seiten addiert oder das Halbieren vergessen. Ursache: Es werden alle vier Seiten oder die Schenkel addiert statt der beiden parallelen Seiten. Vermeidung: Markiere die parallelen Seiten in der Skizze mit Pfeilen. Und prüfe das Ergebnis: Die Trapezfläche liegt immer zwischen den Flächen der beiden Rechtecke \( a \cdot h \) und \( c \cdot h \).
- Bei Raute und Drachen die Seiten statt der Diagonalen eingesetzt. Ursache: Die Raute wird als Parallelogramm erkannt und mit den Seitenlängen gerechnet. Vermeidung: Für Drachen und Raute gilt \( A = \tfrac{e \cdot f}{2} \) mit den Diagonalen \( e \) und \( f \). Die Diagonalen erkennst du daran, dass sie durch die Figur laufen, nicht am Rand.
- Flächeneinheiten mit 10 statt mit 100 umgerechnet oder Einheiten gemischt. Ursache: Die Umrechnungszahl der Längen wird übernommen, oder eine Seite steht in Metern und die Höhe in Zentimetern. Vermeidung: Bei Flächen ist die Umrechnungszahl 100 (\( 1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \)). Und bringe alle Längen vor dem Einsetzen auf eine Einheit.
- Bei der Quaderoberfläche der Faktor 2 vergessen. Ursache: Es werden nur die drei verschiedenen Rechtecke addiert. Vermeidung: Ein Quader hat sechs Flächen, jede kommt zweimal vor. Notiere im Zweifel alle sechs einzeln und addiere – das ist gleichzeitig deine Gegenprobe.
Weiterlernen
- Achsenspiegelung und Symmetrie – wo Drachenviereck und Raute als achsensymmetrische Figuren herkommen.
- Raumgeometrie: Volumen von Quader und Würfel – der nächste Schritt von der Oberfläche zum Rauminhalt.
- Vierecke – die charakteristischen Eigenschaften von Trapez, Drache, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat im Überblick.
- Der Kreis – wie man den Flächeninhalt einer Figur berechnet, die sich nicht mehr geradlinig zerlegen lässt.
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