Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 3: Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen · LehrplanPLUS
Satz des Pythagoras, Pyramide und Kegel
Der Satz des Pythagoras ist das wichtigste Werkzeug der ganzen Mittelschul-Geometrie. Damit berechnest Du Längen, an die Du sonst nicht herankommst: die Leiter an der Wand, die Dachhöhe, die Diagonale im Karton. In diesem Lernbereich kommen außerdem zwei neue Körper dazu – Pyramide und Kegel.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Das rechtwinklige Dreieck
- Kathete und Hypotenuse
- Der Satz des Pythagoras
- Pythagoras mit verschiedenen Seitenbezeichnungen
- Die Umkehrung des Satzes
- Fehlende Seiten berechnen
- Pythagoras in ebenen Figuren
- Pythagoras in Körpern
- Der Thaleskreis
- Pyramiden erkennen, gerade und schiefe Pyramiden
- Kegel erkennen, gerade und schiefe Kegel
- Schrägbilder von Pyramide und Kegel
- Rechtwinklige Dreiecke mit dem Thaleskreis konstruieren (nur M-Zug)
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 9.
Regelklasse oder M-Zug? Der Grundstoff ist für beide Züge gleich und ist Quali-Stoff. Der M-Zug hat einen Abschnitt zusätzlich – er ist unten gekennzeichnet.
1. Der Satz des Pythagoras
Merke
Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden kurzen Seiten Katheten, die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( a = \sqrt{c^2 – b^2} \)
\( b = \sqrt{c^2 – a^2} \)
Achtung bei anderen Buchstaben: Der Satz lautet nicht „a Quadrat plus b Quadrat“, sondern Kathete² plus Kathete² gleich Hypotenuse². Heißen die Seiten \( p \), \( q \) und \( r \), musst Du zuerst schauen, welche der Hypotenuse entspricht.
Beispiel: die Leiter an der Wand
Eine 5,00 m lange Leiter steht 1,40 m von der Hauswand entfernt. Wie hoch reicht sie?
Die Leiter ist die Hypotenuse, der Abstand eine Kathete, die Höhe die andere:
\( h^2 + 1{,}40^2 = 5{,}00^2 \)
\( h^2 = 25{,}00\ \text{m}^2 – 1{,}96\ \text{m}^2 = 23{,}04\ \text{m}^2 \)
\( h = \sqrt{23{,}04\ \text{m}^2} = 4{,}80\ \text{m} \)
Antwort: Die Leiter reicht 4,80 m hoch. Plausibilität: Die Höhe muss kleiner sein als die Leiter – passt.
Beispiel: vier Standardsituationen
a) Diagonale im Rechteck (12 cm mal 9 cm):
\( d = \sqrt{144 + 81}\ \text{cm} = \sqrt{225}\ \text{cm} = 15\ \text{cm} \)
b) Umkehrung: Ist ein Dreieck mit 6 cm, 8 cm und 10 cm rechtwinklig?
\( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad \text{und} \quad 10^2 = 100 \)
Beide Seiten sind gleich, also ja. Die längste Seite ist dabei immer die Hypotenuse. Damit prüfen Handwerker auf der Baustelle, ob eine Ecke wirklich 90° hat.
c) Dachhöhe: Ein symmetrisches Satteldach ist 8,00 m breit, die Sparren sind 5,00 m lang. Die Höhe teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige – eine Kathete ist die halbe Breite:
\( h = \sqrt{5{,}00^2 – 4{,}00^2}\ \text{m} = \sqrt{9}\ \text{m} = 3{,}00\ \text{m} \)
d) Raumdiagonale im Quader (3 cm, 4 cm, 12 cm) – hier wird Pythagoras zweimal angewendet, was sich zu einer Formel zusammenfassen lässt:
\( d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}\ \text{cm} = \sqrt{169}\ \text{cm} = 13\ \text{cm} \)
So prüfst Du, ob eine lange Leiste diagonal in einen Karton passt.
2. Der Thaleskreis
Merke: der Satz des Thales
Liegt der Punkt \( C \) auf dem Halbkreis über der Strecke \( \overline{AB} \), dann ist das Dreieck \( ABC \) bei \( C \) rechtwinklig. Die Strecke \( \overline{AB} \) ist dabei immer die Hypotenuse und zugleich der Durchmesser.
Der Mittelpunkt \( M \) liegt genau in der Mitte von \( \overline{AB} \). Umgekehrt gilt: Ist ein Dreieck rechtwinklig, so liegen alle drei Ecken auf einem Kreis um den Mittelpunkt der Hypotenuse.
3. Pyramide und Kegel
Merke: drei Höhen unterscheiden
- Die Körperhöhe \( h \) geht senkrecht von der Spitze zur Grundfläche.
- Die Seitenhöhe \( h_s \) der Pyramide liegt auf einer Seitenfläche, von der Spitze zur Mitte einer Grundkante.
- Die Mantellinie \( s \) des Kegels geht von der Spitze zum Rand der Grundfläche.
\( h_s \) und \( s \) sind immer länger als \( h \). Und genau hier brauchst Du Pythagoras:
Pyramide: \( h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} \qquad \) Kegel: \( s = \sqrt{h^2 + r^2} \)
Gerade oder schief? Bei einem geraden Körper liegt die Spitze genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Nur dann darfst Du so rechnen.
Beispiel: Pythagoras am Körper
a) Quadratische Pyramide mit Grundkante \( a = 6\ \text{cm} \) und Körperhöhe \( h = 4\ \text{cm} \). Wie lang ist die Seitenhöhe?
\( h_s = \sqrt{4^2 + 3^2}\ \text{cm} = \sqrt{25}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
Die halbe Grundkante ist 3 cm – nicht die ganze. Das ist der häufigste Fehler.
b) Kegel mit \( r = 3\ \text{cm} \) und \( h = 4\ \text{cm} \):
\( s = \sqrt{4^2 + 3^2}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
Dieselbe Rechnung, anderer Körper. Wenn Du das Dreieck aus \( h \), \( r \) und \( s \) einmal gesehen hast, ist der Kegel kein Sonderfall mehr.
Nur für den M-Zug: rechtwinklige Dreiecke mit dem Thaleskreis konstruieren
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M9. In der Regelklasse genügt es, den Thaleskreis zu kennen und anzuwenden.
Merke: die Konstruktion in vier Schritten
- Die Hypotenuse \( \overline{AB} \) zeichnen und ihren Mittelpunkt \( M \) bestimmen – mit der Mittelsenkrechten aus Klasse 7.
- Den Halbkreis um \( M \) mit dem Radius \( \overline{MA} \) schlagen.
- Die gegebene Kathete von \( A \) aus als Kreisbogen abtragen; wo er den Halbkreis schneidet, liegt \( C \).
- \( C \) mit \( A \) und \( B \) verbinden. Der Winkel bei \( C \) ist automatisch \( 90^\circ \).
Beispiel: konstruieren und nachrechnen
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \( c = 8\ \text{cm} \) und der Kathete \( a = 5\ \text{cm} \). Wie lang ist die zweite Kathete?
Der Radius des Thaleskreises ist \( 4\ \text{cm} \). Die Länge von \( b \) folgt aus Pythagoras:
\( b = \sqrt{8^2 – 5^2}\ \text{cm} = \sqrt{64 – 25}\ \text{cm} = \sqrt{39}\ \text{cm} \approx 6{,}24\ \text{cm} \)
Kontrolle: Miss die Strecke in Deiner Konstruktion nach. Weicht sie um mehr als einen Millimeter ab, hat sich beim Zeichnen ein Fehler eingeschlichen.
Und wann geht es nicht? Wäre die gegebene Kathete länger als die Hypotenuse, gäbe es keinen Schnittpunkt mit dem Halbkreis – und damit kein Dreieck. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( a = \sqrt{c^2 – b^2} \)
\( b = \sqrt{c^2 – a^2} \)
\( h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} \)
\( s = \sqrt{h^2 + r^2} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Lernbereich 3 „Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.