Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 8 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 3: Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen · LehrplanPLUS
Der Kreis: Umfang, die Kreiszahl π und der Zylinder
Ein Rad, ein Rohr, eine Dose, ein Kreisverkehr: Runde Formen sind überall. Anders als beim Rechteck kannst Du ihren Umfang nicht einfach aus Seitenlängen zusammenzählen. Dafür brauchst Du eine besondere Zahl – \( \pi \). In diesem Lernbereich findest Du heraus, woher sie kommt und wie Du mit ihr rechnest.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Kreise mit dem Zirkel zeichnen
- Radius und Durchmesser
- Kreislinie, Kreisfläche und Kreisumfang
- Die Kreiszahl π experimentell bestimmen
- Den Kreisumfang herleiten
- Den Kreisumfang berechnen
- Umkehraufgaben zum Kreisumfang
- Halbkreis und Viertelkreis
- Zusammengesetzte Umfänge
- Zylinder erkennen
- Netz und Schrägbild eines Zylinders
- Mittelpunktswinkel, Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring (nur M-Zug)
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
Regelklasse oder M-Zug? Der Grundstoff ist für beide Züge gleich. Der M-Zug hat am Ende einen größeren Zusatzabschnitt zu Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring.
1. Woher die Kreiszahl kommt
Nimm einen runden Gegenstand, leg eine Schnur einmal herum und miss sie. Dann miss den Durchmesser. Teile den Umfang durch den Durchmesser – egal, wie groß der Gegenstand ist, es kommt immer ungefähr 3,14 heraus.
Merke: die Umfangsformel
\( u = d \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi \)
Die Kreiszahl \( \pi \) (gesprochen: pi) ist für jeden Kreis gleich. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen: \( \pi = 3{,}14159\ldots \)
In der Mittelschule rechnest Du mit \( \pi \approx 3{,}14 \) – so wie es auch in den amtlichen Prüfungslösungen gemacht wird. Auf dem Taschenrechner gibt es dafür eine eigene Taste.
Beispiel: Umfang berechnen
a) Ein Kreis hat den Radius \( r = 7\ \text{cm} \).
\( u = 2 \cdot 7\ \text{cm} \cdot 3{,}14 = 43{,}96\ \text{cm} \)
b) Ein Kreis hat den Durchmesser \( d = 12\ \text{cm} \).
\( u = 12\ \text{cm} \cdot 3{,}14 = 37{,}68\ \text{cm} \)
Erste Prüffrage bei jeder Kreisaufgabe: Ist \( r \) oder \( d \) gegeben? Wer hier vertauscht, rechnet mit dem doppelten oder halben Wert.
Beispiel: Umkehraufgabe
Ein Fahrradreifen hat den Umfang \( 219{,}8\ \text{cm} \). Wie groß ist sein Durchmesser?
\( d = \dfrac{u}{\pi} = \dfrac{219{,}8\ \text{cm}}{3{,}14} = 70\ \text{cm} \)
Antwort: Der Durchmesser beträgt 70 cm, der Radius also 35 cm.
Weiterfrage: Wie oft dreht sich das Rad auf 1 km? \( 100\,000\ \text{cm} : 219{,}8\ \text{cm} \approx 455 \) Umdrehungen.
2. Halbkreis, Viertelkreis und zusammengesetzte Umfänge
Merke
Beim Halbkreis ist der Bogen halb so lang wie der ganze Kreisumfang. Der Umfang der Figur ist aber mehr: Die gerade Seite gehört dazu, denn sie ist Teil des Randes.
Halbkreis: \( u = \dfrac{d \cdot \pi}{2} + d \)
Faustregel: Fahr den Rand mit dem Finger ab. Alles, was Du dabei entlangfährst, gehört zum Umfang.
Beispiel: Sportplatz
Eine Laufbahn besteht aus zwei Geraden von je \( 100\ \text{m} \) und zwei Halbkreisen mit dem Durchmesser \( 60\ \text{m} \). Wie lang ist eine Runde?
Die beiden Halbkreise ergeben zusammen einen ganzen Kreis:
\( u_{\text{Kreis}} = 60\ \text{m} \cdot 3{,}14 = 188{,}4\ \text{m} \)
\( u_{\text{gesamt}} = 2 \cdot 100\ \text{m} + 188{,}4\ \text{m} = 388{,}4\ \text{m} \)
Antwort: Eine Runde ist \( 388{,}4\ \text{m} \) lang.
3. Der Zylinder
Merke: das Zylindernetz
Ein Zylinder besteht aus zwei gleichen Kreisen und einem Rechteck. Das Rechteck ist der Mantel – wie das Etikett einer Dose, das man abrollt.
Die entscheidende Einsicht: Die Länge dieses Rechtecks ist genau der Kreisumfang \( 2r\pi \), seine Breite ist die Körperhöhe \( h \). Daraus folgt in Lernbereich 4 die Mantelfläche.
Beispiel: das Etikett einer Dose
Eine Konservendose hat den Durchmesser \( 10\ \text{cm} \) und die Höhe \( 12\ \text{cm} \). Wie lang muss das Etikett sein, das genau einmal herumreicht?
\( u = 10\ \text{cm} \cdot 3{,}14 = 31{,}4\ \text{cm} \)
Antwort: Das Etikett ist \( 31{,}4\ \text{cm} \) lang und \( 12\ \text{cm} \) hoch. In der Praxis kommt noch etwas Überlappung zum Kleben dazu.
Nur für den M-Zug: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M8. In der Regelklasse wird er nicht verlangt – dort genügen ganzer Kreis, Halbkreis und Viertelkreis.
Merke: alles hängt am Mittelpunktswinkel
Ein Kreissektor ist ein Tortenstück. Wie groß es ist, sagt der Mittelpunktswinkel \( \alpha \). Der ganze Kreis hat \( 360^\circ \) – ein Sektor ist also der Anteil \( \frac{\alpha}{360^\circ} \) davon.
Bogenlänge: \( b = 2r\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} \)
Sektorfläche: \( A = r^2\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} \)
Kreisring: \( A = R^2\pi – r^2\pi = \pi \cdot \left(R^2 – r^2\right) \)
Merksatz: Erst den ganzen Kreis rechnen, dann den Anteil nehmen. Das funktioniert bei Bogen und Fläche gleichermaßen.
Beispiel: Sektor mit \( r = 6\ \text{cm} \) und \( \alpha = 120^\circ \)
Der Anteil ist \( \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3} \) – ein Drittel des Kreises.
\( b = 2 \cdot 6\ \text{cm} \cdot 3{,}14 \cdot \dfrac{1}{3} = 12{,}56\ \text{cm} \)
\( A = 36\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot \dfrac{1}{3} = 37{,}68\ \text{cm}^2 \)
Der Umfang des Sektors ist mehr als der Bogen: Die beiden geraden Radien gehören dazu, also \( 12{,}56\ \text{cm} + 2 \cdot 6\ \text{cm} = 24{,}56\ \text{cm} \).
Beispiel: Kreisring
Ein Rohrquerschnitt hat den Außenradius \( R = 10\ \text{cm} \) und den Innenradius \( r = 6\ \text{cm} \).
\( A = 3{,}14 \cdot \left(10^2 – 6^2\right)\ \text{cm}^2 = 3{,}14 \cdot 64\ \text{cm}^2 = 200{,}96\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Die Ringfläche beträgt \( 200{,}96\ \text{cm}^2 \).
Beliebte Falle: \( R^2 – r^2 \) ist nicht dasselbe wie \( (R – r)^2 \). Mit \( (10-6)^2 = 16 \) kämen nur \( 50{,}24\ \text{cm}^2 \) heraus – deutlich zu wenig.
Beispiel: Mittelpunktswinkel im Kreisdiagramm
Von 200 Befragten nennen 50 Personen Fußball als Lieblingssport. Wie groß ist der Winkel im Kreisdiagramm?
\( \dfrac{50}{200} = 0{,}25 = 25\ \% \)
\( \alpha = 360^\circ \cdot 0{,}25 = 90^\circ \)
Antwort: Der Sektor ist \( 90^\circ \) groß – ein Viertelkreis. Damit schließt sich der Kreis zur Prozentrechnung aus Lernbereich 1.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( u = d \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi \)
\( u = \dfrac{d \cdot \pi}{2} + d \)
\( b = 2r\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} \)
\( A = r^2\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} \)
\( A = R^2\pi – r^2\pi = \pi \cdot \left(R^2 – r^2\right) \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 8, Lernbereich 3 „Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.