Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich 4 „Kreis“ (LehrplanPLUS) · BY
Kreis: Umfang, Flächeninhalt, Kreissektor und Kreissegment
Der Kreis ist die einzige Figur, die du nicht mit Lineal und Dreisatz allein in den Griff bekommst. Bei Rechteck und Dreieck zählst du Kästchen – beim Kreis gibt es keine geraden Kanten mehr. Trotzdem gibt es für Umfang und Flächeninhalt jeweils eine einzige, sehr kurze Formel. Beide hängen an einer einzigen Zahl: der Kreiszahl \( \pi \). Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach, woher \( \pi \) kommt, warum \( U = 2\pi r \) und \( A = \pi r^2 \) gelten, wie du mit Teilen des Kreises rechnest – Kreissektor und Kreissegment – und wie du zusammengesetzte Figuren zerlegst.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Der LehrplanPLUS setzt für den Lernbereich 4 „Kreis“ in beiden Ausrichtungen 10 Stunden an, die Kompetenzerwartung ist bis auf eine Nuance wortgleich: In Mathematik I heißt es „bei inner- und außermathematischen Anwendungsaufgaben“, in Mathematik II/III „bei Anwendungsaufgaben“. Der Stoff dieser Seite ist für beide Züge identisch.
Wozu brauchst du das?
Runde Formen sind überall dort, wo etwas rollen, drehen oder fließen soll – und überall dort, wo eine Kante niemanden verletzen darf: die Kantenumleimer für eine runde Tischplatte · der Materialbedarf für einen abgerundeten Möbelkorpus · der Querschnitt eines Rohrs und damit die Wassermenge, die hindurchpasst · die Strecke, die ein Rad pro Umdrehung zurücklegt · die Fläche eines Sonnensegels · die Ringfläche einer Tischplatte mit Schirmloch. In der Abschlussprüfung tauchen Kreisteile fast immer zusammengesetzt auf: Du bekommst eine Figur aus Rechtecken, Halbkreisen und Kreissektoren und musst sie selbst zerlegen.
Inhalt dieser Seite
- Der Kreisumfang und die Kreiszahl \( \pi \)
- Der Flächeninhalt \( A = \pi r^2 \) – mit Herleitung
- Der Kreissektor: Bogenlänge und Sektorfläche
- Das Kreissegment
- Der Kreisring und zusammengesetzte Figuren
- Sachaufgaben aus der Werkstatt
- Das Wichtigste in Kürze
1. Der Kreisumfang und die Kreiszahl \( \pi \)
Nimm einen runden Gegenstand, lege eine Schnur einmal außen herum und miss ihre Länge – das ist der Umfang \( U \). Miss danach den Durchmesser \( d \). Teile \( U \) durch \( d \). Egal ob Teetasse, Fahrradreifen oder Tischplatte: Es kommt immer ungefähr 3,14 heraus.
| Kreis | Durchmesser \( d \) | Umfang \( U \) | Quotient \( U : d \) |
| Tasse | 10 cm | 31,4 cm | 3,14 |
| Hocker | 20 cm | 62,8 cm | 3,14 |
| Platte | 25 cm | 78,5 cm | 3,14 |
Der Umfang wächst also proportional zum Durchmesser: Doppelter Durchmesser – doppelter Umfang. Der Proportionalitätsfaktor ist immer dieselbe Zahl, und diese Zahl heißt Kreiszahl \( \pi \) (sprich: „pi“).
Anschaulich heißt das: Rollst du den Kreis einmal auf einer Geraden ab, ist die zurückgelegte Strecke etwas mehr als drei Durchmesser lang – genau \( \pi \) Durchmesser.
Drei volle Durchmesser passen in den Umfang – und dann bleibt noch ein kurzes Stück übrig.
Warum \( \pi \) irrational ist
\( \pi = 3{,}14159265\ldots \) ist keine abbrechende und keine periodische Dezimalzahl. Sie lässt sich auch nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. \( \pi \) ist also eine irrationale Zahl: Sie gehört zu IR, aber nicht zu IQ. Selbst die bekannte Näherung \( \tfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots \) stimmt nur bis zur zweiten Nachkommastelle. Daraus folgt eine wichtige Rechenregel: Jeder Zahlenwert von \( \pi \), den du eintippst, ist gerundet. Rechne deshalb so lange wie möglich exakt mit \( \pi \) weiter und runde erst im Antwortsatz.
Beispiel – runde Tischplatte
Das Holzwerk Brandl fertigt eine runde Tischplatte mit dem Durchmesser \( d = 90\ \text{cm} \). Wie lang muss das Kantenumleimband sein?
| gegeben | \( d = 90\ \text{cm} \) |
| Formel | \( U = \pi \cdot d \) |
| einsetzen (exakt) | \( U = 90\pi\ \text{cm} \) |
| gerundet | \( U \approx 282{,}74\ \text{cm} \) |
Kontrolle: \( 90 \cdot 3{,}14159265 = 282{,}7433\ldots \) ✓. Antwort: Das Kantenband muss mindestens 282,74 cm, also rund 2,83 m lang sein – in der Praxis schneidet man etwas Zugabe dazu.
Beispiel rückwärts – vom Umfang zum Radius
Ein Kreis hat den Umfang \( U = 60\pi\ \text{cm} \). Wie groß ist sein Radius?
Beachte: Das \( \pi \) kürzt sich weg. Genau deshalb lohnt es sich, es bis zum Schluss stehen zu lassen – hättest du vorher auf 188,50 cm gerundet, wäre \( r = 188{,}50 : 6{,}28 = 30{,}016\ldots \) herausgekommen, also ein Rundungsfehler.
Exkurs (freiwillig): Woher weiß man, dass \( \pi \approx 3{,}14159\ldots \) ist?
Schon der griechische Mathematiker Archimedes von Syrakus (ca. 250 v. Chr.) hat \( \pi \) berechnet, ohne den Kreis jemals direkt zu messen. Seine Idee: Ein Kreis liegt immer zwischen einem einbeschriebenen und einem umbeschriebenen regelmäßigen Vieleck. Der Umfang des einbeschriebenen Vielecks ist kleiner als der Kreisumfang, der Umfang des umbeschriebenen Vielecks ist größer – damit sitzt \( \pi \) sicher zwischen einer unteren und einer oberen Schranke.
Je mehr Ecken das Vieleck hat, desto näher rücken beide Umfänge an den Kreisumfang heran.
Archimedes begann mit einem regelmäßigen Sechseck und verdoppelte die Eckenzahl immer wieder – 6, 12, 24, 48, bis hin zum 96-Eck. Mit jeder Verdopplung rückten obere und untere Schranke näher zusammen. So erhielt er ohne Taschenrechner die bis heute gültige Abschätzung
Das Verfahren zeigt anschaulich, warum \( \pi \) uns bis heute beschäftigt: Man kann es beliebig genau eingrenzen, aber nie exakt als Bruch oder endliche Dezimalzahl hinschreiben – genau das macht \( \pi \) irrational. Moderne Computer nutzen andere, schnellere Verfahren und kennen inzwischen viele Billionen Nachkommastellen – für jede Rechnung in der Schule (und auch in der Praxis) reichen aber schon wenige Nachkommastellen von \( \pi \) völlig aus.
Merke: Der Umfang eines Kreises ist \( U = 2\pi r = \pi d \). Der Quotient \( U : d \) ist bei jedem Kreis gleich \( \pi \approx 3{,}14159 \) – Umfang und Durchmesser sind proportional. \( \pi \) ist irrational: \( \pi \in \text{IR} \), aber \( \pi \notin \text{IQ} \). Rechne mit \( \pi \) exakt weiter und runde erst am Ende.
2. Der Flächeninhalt \( A = \pi r^2 \) – mit Herleitung
Beim Umfang war der Zusammenhang proportional. Bei der Fläche ist er das nicht: Verdoppelst du den Radius, wird die Fläche viermal so groß. Der Flächeninhalt ist proportional zum Quadrat des Radius, und der Proportionalitätsfaktor ist wieder \( \pi \).
So kommt die Formel zustande
Zerschneide den Kreis wie eine Torte in sehr viele gleich große Kreissektoren und lege sie abwechselnd nach oben und nach unten nebeneinander. Es entsteht eine Figur, die einem Rechteck immer ähnlicher wird, je feiner du schneidest.
Die Sektorspitzen liegen alle im Mittelpunkt – deshalb ist die Höhe des Rechtecks der Radius \( r \).
Jetzt lies die beiden Seitenlängen ab. Die Höhe jedes Sektors ist der Radius, also ist die Höhe des Rechtecks \( r \). Die Grundlinie besteht aus lauter Kreisbögen – und zwar aus genau der Hälfte aller Bögen, weil die andere Hälfte oben liegt. Die Grundlinie ist also der halbe Umfang:
Und daraus folgt mit der Rechteckformel „Grundlinie mal Höhe“:
Je feiner du schneidest, desto gerader werden die Bögen und desto genauer wird die Figur zum Rechteck. Bei unendlich feinem Schnitt stimmt es exakt.
Beispiel – dieselbe Tischplatte
Wie viel Furnier braucht das Holzwerk für die Oberseite der Platte mit \( d = 90\ \text{cm} \)?
| Radius zuerst | \( r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{90\ \text{cm}}{2} = 45\ \text{cm} \) |
| Formel | \( A = \pi r^2 \) |
| einsetzen (exakt) | \( A = \pi \cdot (45\ \text{cm})^2 = 2025\pi\ \text{cm}^2 \) |
| gerundet | \( A \approx 6361{,}73\ \text{cm}^2 \approx 0{,}64\ \text{m}^2 \) |
Kontrolle: \( 2025 \cdot 3{,}14159265 = 6361{,}725\ldots \) ✓, und \( 6361{,}73 : 10\,000 = 0{,}636\ldots\ \text{m}^2 \) ✓. Antwort: Es werden rund 0,64 m² Furnier benötigt.
Beispiel rückwärts – von der Fläche zum Durchmesser
Eine runde Platte hat den Flächeninhalt \( A = 900\pi\ \text{cm}^2 \). Wie groß ist ihr Durchmesser?
| Ansatz | \( \pi r^2 = 900\pi \) |
| \( : \pi \) | \( r^2 = 900\ \text{cm}^2 \) |
| Wurzel ziehen (\( r > 0 \)) | \( r = 30\ \text{cm} \) |
| Durchmesser | \( d = 2r = 60\ \text{cm} \) |
Probe: \( \pi \cdot 30^2 = 900\pi \) ✓ (das sind rund 2827,43 cm²). Der häufigste Fehler an dieser Stelle: Man zieht die Wurzel aus \( A \) statt aus \( A : \pi \) – oder man vergisst am Ende die Verdopplung zum Durchmesser.
Merke: Der Flächeninhalt eines Kreises ist \( A = \pi r^2 \). In der Flächenformel steht immer der Radius, nie der Durchmesser – ist nur \( d \) gegeben, rechne zuerst \( r = \dfrac{d}{2} \). Die Herleitung merkst du dir über das Rechteck aus umgelegten Sektoren: Höhe \( r \), Grundlinie halber Umfang \( \pi r \). Rückwärts gilt \( r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}} \).
3. Der Kreissektor: Bogenlänge und Sektorfläche
Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt) ist das „Tortenstück“: die Fläche zwischen zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen. Der zugehörige Winkel \( \alpha \) im Mittelpunkt heißt Mittelpunktswinkel.
Die ganze Rechnerei beruht auf einer einzigen Idee: Der Sektor ist derselbe Bruchteil des Kreises, den \( \alpha \) vom Vollwinkel 360° ausmacht. Ein Sektor mit \( \alpha = 90^\circ \) ist ein Viertelkreis, weil \( \tfrac{90^\circ}{360^\circ} = \tfrac{1}{4} \). Dieser Bruchteil gilt für den Bogen und für die Fläche:
Der Bogen \( b \) ist ein Teil der Kreislinie – die beiden Radien gehören nicht dazu.
Beispiel – Kreisausschnitt für eine Eckenrundung
Aus einer Platte wird ein Kreisausschnitt mit \( r = 60\ \text{cm} \) und \( \alpha = 120^\circ \) gesägt. Berechne Bogenlänge, Sektorfläche und den Umfang des Sektors.
| Anteil | \( \dfrac{120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{3} \) |
| Bogen | \( b = \dfrac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 60\ \text{cm} = 40\pi\ \text{cm} \approx 125{,}66\ \text{cm} \) |
| Fläche | \( A = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot (60\ \text{cm})^2 = 1200\pi\ \text{cm}^2 \approx 3769{,}91\ \text{cm}^2 \) |
| Umfang des Sektors | \( u = b + 2r = 40\pi\ \text{cm} + 120\ \text{cm} \approx 245{,}66\ \text{cm} \) |
Kontrolle: \( 40 \cdot 3{,}14159265 = 125{,}6637\ldots \) ✓ · \( 1200 \cdot 3{,}14159265 = 3769{,}911\ldots \) ✓ · \( 125{,}66 + 120 = 245{,}66 \) ✓. Antwort: Der Bogen ist rund 125,66 cm lang, der Ausschnitt rund 3769,91 cm² groß, sein Umfang rund 245,66 cm.
Achte auf den Unterschied zwischen Bogen und Umfang des Sektors: Willst du das Tortenstück rundherum mit Kantenband bekleben, gehören die beiden geraden Radien dazu. Fragt die Aufgabe nur nach der Bogenlänge, gehören sie nicht dazu.
Beispiel rückwärts – vom Bogen zum Winkel
Ein Kreisbogen mit \( r = 60\ \text{cm} \) ist \( b = 40\pi\ \text{cm} \) lang. Wie groß ist \( \alpha \)?
Auch hier kürzt sich \( \pi \) vollständig weg – ein schöner Beleg dafür, dass exaktes Rechnen die Arbeit leichter macht, nicht schwerer.
Merke: Jede Sektorgröße ist der Anteil \( \dfrac{\alpha}{360^\circ} \) der entsprechenden Kreisgröße: \( b = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \) und \( A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \). Der Umfang des Sektors ist \( u = b + 2r \) – Bogen plus beide Radien. Kontrollfrage bei jedem Ergebnis: Passt es zum Anteil? Ein Drittelsektor muss ein Drittel der Kreisfläche haben.
4. Das Kreissegment
Verbindest du die beiden Endpunkte des Bogens mit einer geraden Linie, entsteht eine Sehne. Die Fläche zwischen Sehne und Bogen heißt Kreissegment (auch Kreisabschnitt). Ein Segment ist immer kleiner als der zugehörige Sektor – und der Unterschied ist genau das Dreieck über der Sehne:
Bei \( \alpha = 90^\circ \) ist die Sache besonders einfach: Die beiden Radien stehen senkrecht aufeinander, das Dreieck ist rechtwinklig und die Radien sind seine Katheten. Damit gilt \( A_{\text{Dreieck}} = \tfrac{1}{2} \cdot r \cdot r = \tfrac{1}{2} r^2 \).
Beispiel – abgerundete Zierleiste
Berechne die Fläche des Kreissegments mit \( r = 20\ \text{cm} \) und \( \alpha = 90^\circ \).
| Sektor | \( A_{\text{Sektor}} = \dfrac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (20\ \text{cm})^2 = 100\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Dreieck | \( A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot 20\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 200\ \text{cm}^2 \) |
| Differenz (exakt) | \( A_{\text{Segment}} = 100\pi\ \text{cm}^2 – 200\ \text{cm}^2 \) |
| gerundet | \( A_{\text{Segment}} \approx 114{,}16\ \text{cm}^2 \) |
Kontrolle: \( 100 \cdot 3{,}14159265 = 314{,}159\ldots \), davon 200 abgezogen ergibt \( 114{,}159\ldots \) ✓. Plausibilität: Das Segment muss kleiner sein als der Viertelkreis (314,16 cm²) und größer als null – 114,16 cm² passt. Antwort: Das Segment ist rund 114,16 cm² groß.
Die Länge der Sehne bekommst du bei \( \alpha = 90^\circ \) über den Satz des Pythagoras: \( s^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \), also \( s = r\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 28{,}28\ \text{cm} \). Der Umfang des Segments ist dann Bogen plus Sehne: \( b = \tfrac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 20\ \text{cm} = 10\pi\ \text{cm} \approx 31{,}42\ \text{cm} \), zusammen also rund 59,70 cm.
Merke: Das Kreissegment liegt zwischen Sehne und Bogen: \( A_{\text{Segment}} = A_{\text{Sektor}} – A_{\text{Dreieck}} \). Sein Umfang ist \( u = b + s \) (Bogen plus Sehne), nicht \( b + 2r \) – das wäre der Sektor. Bei \( \alpha = 90^\circ \) ist das Dreieck rechtwinklig mit \( A_{\text{Dreieck}} = \tfrac{1}{2} r^2 \) und der Sehne \( s = r\sqrt{2} \).
5. Der Kreisring und zusammengesetzte Figuren
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Du berechnest ihn als Differenz: große Kreisfläche minus kleine Kreisfläche. Mit dem äußeren Radius \( R \) und dem inneren Radius \( r \) gilt
Die zweite Schreibweise mit der Klammer ist die bequemere: Du rechnest zuerst die Differenz der Quadrate aus und multiplizierst nur einmal mit \( \pi \).
Beispiel – Tischplatte mit Schirmloch
Eine runde Platte hat den Außenradius \( R = 50\ \text{cm} \). In die Mitte wird ein Loch mit \( r = 30\ \text{cm} \) für einen Sonnenschirmfuß gesägt. Wie groß ist die verbleibende Fläche?
| Formel | \( A = \pi (R^2 – r^2) \) |
| Quadrate | \( 50^2 – 30^2 = 2500 – 900 = 1600 \) |
| exakt | \( A = 1600\pi\ \text{cm}^2 \) |
| gerundet | \( A \approx 5026{,}55\ \text{cm}^2 \approx 0{,}50\ \text{m}^2 \) |
Kontrolle: \( 1600 \cdot 3{,}14159265 = 5026{,}548\ldots \) ✓. Antwort: Es bleiben rund 5026,55 cm², also etwa 0,50 m² Plattenfläche übrig.
Häufiger Fehler: \( \pi (R – r)^2 \) statt \( \pi (R^2 – r^2) \). Das wäre hier \( \pi \cdot 20^2 = 400\pi \approx 1256{,}64\ \text{cm}^2 \) – nur ein Viertel des richtigen Werts. Die Ringbreite ist eben nicht der Radius eines Kreises.
Zusammengesetzte Figuren: die Zerlegungsregel
Bei zusammengesetzten Figuren gibt es keine eigene Formel – du zerlegst sie in Teile, die du kennst, und addierst oder subtrahierst. Halte dich an diese Reihenfolge: (1) Skizze anfertigen und alle Teilfiguren einzeichnen. (2) Fehlende Maße aus den gegebenen bestimmen, besonders die Radien. (3) Jede Teilfläche einzeln und exakt berechnen. (4) Addieren oder subtrahieren. (5) Erst jetzt runden und den Antwortsatz schreiben.
Kleines Beispiel: An einer Möbelkante wird eine rechtwinklige Ecke mit einem Viertelkreis vom Radius \( r = 10\ \text{cm} \) abgerundet. Wie viel Fläche fällt dabei weg? Die Ecke ist ein Quadrat mit \( 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 100\ \text{cm}^2 \); davon bleibt der Viertelkreis mit \( \tfrac{1}{4} \pi \cdot 10^2 = 25\pi\ \text{cm}^2 \approx 78{,}54\ \text{cm}^2 \) stehen. Es fällt also \( 100\ \text{cm}^2 – 25\pi\ \text{cm}^2 \approx 21{,}46\ \text{cm}^2 \) weg. Kontrolle: \( 25 \cdot 3{,}14159265 = 78{,}5398\ldots \), und \( 100 – 78{,}54 = 21{,}46 \) ✓.
Merke: Der Kreisring hat den Flächeninhalt \( A = \pi (R^2 – r^2) \) – erst die Quadrate subtrahieren, dann mit \( \pi \) multiplizieren. Niemals \( \pi (R – r)^2 \). Zusammengesetzte Figuren zerlegst du in Rechtecke, Dreiecke, Halbkreise und Sektoren, rechnest jedes Teil exakt und rundest ganz zum Schluss.
6. Sachaufgaben aus der Werkstatt
In der Prüfung steht selten „Berechne den Umfang“. Stattdessen bekommst du einen Text und musst selbst entscheiden, ob eine Länge oder eine Fläche gesucht ist. Faustregel: Alles, was du umleimen, umranden oder abfahren willst, ist eine Länge – alles, was du furnieren, lackieren oder aus einer Platte sägen willst, ist eine Fläche.
Beispiel 1 – Kantenband für die runde Platte
Das Holzwerk Brandl bestellt Kantenumleimband für die runde Tischplatte mit \( d = 90\ \text{cm} \). Das Band kostet 12 € je Meter und wird nur in vollen Metern verkauft. Was zahlt der Betrieb?
| gesucht: Länge | \( U = \pi d = 90\pi\ \text{cm} \approx 282{,}74\ \text{cm} \) |
| in Meter | \( 282{,}74\ \text{cm} = 2{,}8274\ \text{m} \) |
| volle Meter | aufrunden auf \( 3\ \text{m} \) |
| Preis | \( 3 \cdot 12\ \text{€} = 36\ \text{€} \) |
Antwort: Der Betrieb zahlt 36 €. Beachte das Aufrunden: Bei Material, das man nur ganz kaufen kann, wird immer aufgerundet, auch wenn nur 83 cm fehlen würden. Hättest du hier kaufmännisch auf 2,83 m gerundet und mit 12 € multipliziert, kämen 33,96 € heraus – und das Band wäre zu kurz.
Beispiel 2 – die Stadionplatte
Für einen Besprechungstisch fertigt das Holzwerk eine Platte in Stadionform: ein Rechteck mit den Maßen 120 cm mal 60 cm, an dessen beide Schmalseiten je ein Halbkreis angesetzt ist. Berechne Flächeninhalt und Umfang.
Erster Schritt: Der Halbkreis sitzt auf der 60 cm langen Schmalseite, also ist \( d = 60\ \text{cm} \) und \( r = 30\ \text{cm} \). Zweiter Schritt: Die beiden Halbkreise ergeben zusammen genau einen Vollkreis – das spart eine Rechnung.
| Rechteck | \( A_1 = 120\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm} = 7200\ \text{cm}^2 \) |
| Vollkreis | \( A_2 = \pi \cdot (30\ \text{cm})^2 = 900\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Gesamtfläche | \( A = 7200\ \text{cm}^2 + 900\pi\ \text{cm}^2 \approx 10\,027{,}43\ \text{cm}^2 \) |
| Umfang: 2 Längsseiten | \( 2 \cdot 120\ \text{cm} = 240\ \text{cm} \) |
| plus Kreisumfang | \( 2\pi \cdot 30\ \text{cm} = 60\pi\ \text{cm} \) |
| Gesamtumfang | \( u = 240\ \text{cm} + 60\pi\ \text{cm} \approx 428{,}50\ \text{cm} \) |
Kontrolle: \( 900 \cdot 3{,}14159265 = 2827{,}433\ldots \), also \( 7200 + 2827{,}43 = 10\,027{,}43 \) ✓ · \( 60 \cdot 3{,}14159265 = 188{,}4956\ldots \), also \( 240 + 188{,}50 = 428{,}50 \) ✓. Antwort: Die Platte misst rund 10 027,43 cm² (etwa 1,00 m²), ihr Umfang beträgt rund 428,50 cm.
Achte beim Umfang genau hin: Die beiden gestrichelten Schmalseiten gehören nicht zum Umfang der Gesamtfigur – sie liegen im Inneren. Das ist der häufigste Fehler bei zusammengesetzten Figuren: innere Hilfslinien mitzuzählen.
Beispiel 3 – wie weit rollt das Rad?
Eine Werkstattrolle hat den Durchmesser \( d = 10\ \text{cm} \). Wie viele volle Umdrehungen macht sie auf einer Strecke von 15,70 m?
| Weg pro Umdrehung | \( U = \pi \cdot 10\ \text{cm} = 10\pi\ \text{cm} \approx 31{,}42\ \text{cm} \) |
| Strecke in cm | \( 15{,}70\ \text{m} = 1570\ \text{cm} \) |
| Anzahl | \( n = \dfrac{1570\ \text{cm}}{10\pi\ \text{cm}} = \dfrac{157}{\pi} \approx 49{,}97 \) |
| volle Umdrehungen | 49 |
Kontrolle: \( 157 : 3{,}14159265 = 49{,}9746\ldots \) ✓. Hier wird abgerundet, denn die 50. Umdrehung wird nicht mehr vollendet. Antwort: Die Rolle macht 49 volle Umdrehungen. Merke dir den Unterschied zu Beispiel 1: Bei Material rundest du auf, bei „wie viele ganze…“ rundest du ab. Kaufmännisches Runden gilt bei Sachaufgaben nur dann, wenn der Sachverhalt nichts anderes verlangt.
Merke: Frage dich bei jeder Sachaufgabe zuerst: Länge oder Fläche? Umranden, umleimen, abrollen → Umfang. Furnieren, lackieren, aus einer Platte sägen → Fläche. Rechne exakt mit \( \pi \) durch und runde erst im Antwortsatz – und zwar so, wie es die Sache verlangt: bei Material auf, bei ganzen Anzahlen ab. Der Antwortsatz braucht immer eine Einheit.
7. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die sechs Kernpunkte dieser Seite:
- \( U : d = \pi \) bei jedem Kreis: Umfang und Durchmesser sind proportional. \( U = 2\pi r = \pi d \).
- \( \pi \approx 3{,}14159 \) ist irrational: \( \pi \in \text{IR} \), \( \pi \notin \text{IQ} \). Deshalb erst am Ende runden.
- \( A = \pi r^2 \) – hergeleitet aus dem Rechteck der umgelegten Sektoren mit Höhe \( r \) und Grundlinie \( \pi r \). In der Flächenformel steht immer der Radius.
- Alles am Sektor ist der Anteil \( \dfrac{\alpha}{360^\circ} \): \( b = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \), \( A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \), Umfang \( u = b + 2r \).
- \( A_{\text{Segment}} = A_{\text{Sektor}} – A_{\text{Dreieck}} \) und \( A_{\text{Ring}} = \pi (R^2 – r^2) \) – beide sind Differenzen, keine eigenen Grundformeln.
- Zusammengesetzte Figuren: zerlegen, Teile einzeln exakt rechnen, addieren oder subtrahieren – und innere Hilfslinien gehören nie zum Umfang.
8. So fragt die Abschlussprüfung
Der Kreis kommt in der Abschlussprüfung fast nie als reine Formelaufgabe, sondern als Teilschritt: Ein Sektor muss zugeschnitten, ein Ring lackiert oder ein Winkel aus einer gegebenen Fläche zurückgerechnet werden. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext, jeweils so gerechnet, wie es die Prüfung erwartet.
Aufgabe 1 – Sektor: Bogenlänge, Fläche und Umfang. Lena schneidet für ein rundes Theken-Eckelement einen Kreissektor mit dem Radius \( r = 60\ \text{cm} \) und dem Mittelpunktswinkel \( \alpha = 120^\circ \) zu. Berechne Bogenlänge, Sektorfläche und den vollständigen Umfang des Zuschnitts.
| Anteil bestimmen | \( \dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{3} \) |
| Bogenlänge | \( b = \tfrac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 60\ \text{cm} = 40\pi\ \text{cm} \approx 125{,}66\ \text{cm} \) |
| Sektorfläche | \( A = \tfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot (60\ \text{cm})^2 = 1200\pi\ \text{cm}^2 \approx 3769{,}91\ \text{cm}^2 \) |
| Umfang des Zuschnitts | \( u = b + 2r = 40\pi\ \text{cm} + 120\ \text{cm} \approx 245{,}66\ \text{cm} \) |
Gegenprobe: Der Sektor ist genau ein Drittel des Kreises. Der ganze Kreis hätte \( U = 120\pi\ \text{cm} \) und \( A = 3600\pi\ \text{cm}^2 \) – ein Drittel davon sind \( 40\pi \) und \( 1200\pi \) ✓. Numerisch: \( 40 \cdot 3{,}14159265 = 125{,}6637\ldots \) und \( 1200 \cdot 3{,}14159265 = 3769{,}9112\ldots \) ✓. Antwort: Der Bogen ist rund 125,66 cm lang, die Fläche beträgt rund 3769,91 cm², umleimt werden müssen rund 245,66 cm.
Aufgabe 2 – rückwärts: der Winkel ist gesucht. Aus einer runden Platte mit \( r = 30\ \text{cm} \) sägt Jonas ein Sektorstück heraus, dessen Fläche genau \( 300\pi\ \text{cm}^2 \) beträgt. Welchen Mittelpunktswinkel hat der Zuschnitt?
| Fläche des ganzen Kreises | \( A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot (30\ \text{cm})^2 = 900\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Anteil berechnen | \( \dfrac{A_{\text{Sektor}}}{A_{\text{Kreis}}} = \dfrac{300\pi}{900\pi} = \dfrac{1}{3} \) |
| Winkel | \( \alpha = \tfrac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ \) |
Gegenprobe: Vorwärts gerechnet ergibt \( \tfrac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 900\pi\ \text{cm}^2 = 300\pi\ \text{cm}^2 \) ✓. Beachte, dass sich das \( \pi \) im Bruch vollständig herauskürzt – du brauchst hier keinen Taschenrechner. Antwort: Der Mittelpunktswinkel beträgt \( 120^\circ \).
Aufgabe 3 – Kreisring: Distanzscheibe lackieren. Für ein Regalsystem dreht das Holzwerk Brandl runde Distanzscheiben: Außenradius \( R = 25\ \text{cm} \), mittige Bohrung mit \( r = 15\ \text{cm} \). Wie groß ist die zu lackierende Ringfläche einer Seite?
| Ringformel | \( A = \pi (R^2 – r^2) \) |
| einsetzen | \( A = \pi \,(25^2 – 15^2)\ \text{cm}^2 = \pi\,(625 – 225)\ \text{cm}^2 \) |
| Ergebnis | \( A = 400\pi\ \text{cm}^2 \approx 1256{,}64\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: Einzeln gerechnet: \( \pi \cdot 625 = 1963{,}4954\ldots \) und \( \pi \cdot 225 = 706{,}8583\ldots \); die Differenz ist \( 1256{,}637\ldots \) ✓. Achtung, der häufigste Fehler wäre \( \pi (25-15)^2 = 100\pi \) – das ist weniger als ein Viertel des richtigen Werts. Antwort: Eine Seite der Scheibe hat rund 1256,64 cm² Lackierfläche.
Aufgabe 4 – Kreissegment als Verschnittstück. Merve schneidet aus einer runden Platte mit \( r = 40\ \text{cm} \) einen Viertelkreis heraus und trennt davon das gerade Dreieck zwischen den beiden Radien ab. Wie groß ist das übrige Segment?
| Sektorfläche (\( 90^\circ \)) | \( A_{\text{Sektor}} = \tfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot (40\ \text{cm})^2 = 400\pi\ \text{cm}^2 \) |
| Dreieck (rechtwinklig, Katheten \( r \)) | \( A_{\text{Dreieck}} = \tfrac{1}{2} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} = 800\ \text{cm}^2 \) |
| Segment als Differenz | \( A = 400\pi\ \text{cm}^2 – 800\ \text{cm}^2 \approx 456{,}64\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: \( 400 \cdot 3{,}14159265 = 1256{,}637\ldots \), abzüglich 800 bleibt \( 456{,}637\ldots \) ✓. Zweite, unabhängige Kontrolle über die Größenordnung: Das Segment muss kleiner als der Sektor (1256,64 cm²) und größer als null sein – 456,64 cm² passt ✓. Antwort: Das Verschnittstück hat rund 456,64 cm². Weil \( \pi \) im Ergebnis steckt, ist die Zahl bewusst keine glatte: Gib erst im Antwortsatz eine gerundete Zahl an, rechne vorher exakt mit \( \pi \) weiter.
9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Durchmesser statt Radius in die Flächenformel eingesetzt. Ursache: In der Aufgabe steht \( d \), in der Formel \( A = \pi r^2 \) steht aber der Radius – und der Wechsel wird vergessen. Vermeidung: Schreibe vor jeder Flächenrechnung zuerst \( r = d : 2 \) als eigene Zeile hin. Setzt du \( d \) ein, wird das Ergebnis viermal zu groß.
- \( \pi \) zu früh gerundet. Ursache: Nach dem ersten Schritt wird mit 3,14 weitergerechnet, und die Abweichung wird bei jeder Multiplikation größer. Vermeidung: Rechne exakt weiter (\( 40\pi \), \( 1200\pi \)) oder benutze die \( \pi \)-Taste, und runde erst im Antwortsatz.
- Beim Sektor den Anteil \( \tfrac{\alpha}{360^\circ} \) vergessen oder auf die falsche Größe angewendet. Ursache: Es wird die Formel des ganzen Kreises benutzt oder der Anteil nur bei der Bogenlänge, nicht bei der Fläche berücksichtigt. Vermeidung: Bestimme den Anteil einmal vorab als Bruch und multipliziere ihn dann sowohl an \( 2\pi r \) als auch an \( \pi r^2 \).
- Beim Kreisring die Radien vor dem Quadrieren subtrahiert. Ursache: \( \pi(R-r)^2 \) wird mit \( \pi(R^2-r^2) \) verwechselt. Vermeidung: Erst beide Radien quadrieren, dann subtrahieren – der Ring ist die Differenz zweier Kreisflächen, nicht die Fläche eines Kreises mit der Radiendifferenz.
- Innere Hilfslinien in den Umfang mitgezählt. Ursache: Bei zusammengesetzten Figuren werden die gestrichelten Trennkanten mitaddiert, obwohl sie im Inneren liegen. Vermeidung: Fahre die Randlinie der Figur mit dem Finger einmal komplett nach – nur was du dabei berührst, gehört zum Umfang. Beim Sektor sind das Bogen plus die beiden Radien.
- Falsch gerundet und Einheit vertauscht. Ursache: Bei Material wird kaufmännisch gerundet (zu kurz) oder bei ganzen Stückzahlen aufgerundet (zu viel), und cm² wird als Längenangabe notiert. Vermeidung: Bei Material immer auf-, bei „wie viele ganze…“ immer abrunden – und prüfe zum Schluss, ob die Einheit zur Frage passt: cm für Umleimen, cm² für Lackieren.
Weiterlernen
- Reelle Zahlen und Quadratwurzeln – warum \( \pi \) zu IR und nicht zu IQ gehört und wie du \( \sqrt{A : \pi} \) sauber berechnest.
- Satz des Pythagoras – damit bestimmst du die Sehne im Kreissegment.
- Raumgeometrie: Prisma und Zylinder – der nächste Schritt: Die Kreisfläche wird zur Grundfläche des Zylinders.
- Übersicht Mathematik 9. Klasse – alle Lernbereiche der Jahrgangsstufe auf einen Blick.
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