Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 8 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 4: Flächeninhalt – Kreise · LehrplanPLUS
Kreisfläche und Zylinderoberfläche berechnen
Im letzten Lernbereich ging es um den Rand des Kreises. Jetzt geht es um das, was drin ist: die Kreisfläche. Damit berechnest Du, wie viel Blech eine runde Platte braucht, wie groß ein Beetausschnitt ist – und wie viel Material in eine Dose geht.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge gleich. Diese Seite gilt für Dich, egal in welcher Klasse Du bist.
1. Warum \( A = r^2 \pi \) gilt
Zerschneide einen Kreis in viele schmale Tortenstücke und leg sie abwechselnd nach oben und unten. Je feiner Du schneidest, desto mehr ähnelt das Ergebnis einem Rechteck.
Merke: die Kreisfläche
\( A = r^2 \cdot \pi \)
Nicht verwechseln:
| Umfang | \( u = 2r\pi \) | Einheit cm | der Rand |
| Fläche | \( A = r^2\pi \) | Einheit cm² | das Innere |
Eselsbrücke: Beim Umfang steht das \( r \) einmal da, bei der Fläche zweimal – genau wie bei den Einheiten cm und cm².
Beispiel: Kreisfläche vorwärts und rückwärts
a) Ein Kreis hat \( r = 7\ \text{cm} \):
\( A = 7^2\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 49\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 153{,}86\ \text{cm}^2 \)
b) Ein Kreis hat \( d = 12\ \text{cm} \). Zuerst den Radius bilden: \( r = 6\ \text{cm} \).
\( A = 36\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 113{,}04\ \text{cm}^2 \)
c) Umkehraufgabe: Eine runde Platte hat \( A = 78{,}5\ \text{cm}^2 \). Wie groß ist ihr Radius?
\( r^2 = \dfrac{78{,}5\ \text{cm}^2}{3{,}14} = 25\ \text{cm}^2 \)
\( r = \sqrt{25\ \text{cm}^2} = 5\ \text{cm} \)
Hier brauchst Du die Wurzel aus Lernbereich 2 – erst durch \( \pi \) teilen, dann die Wurzel ziehen. Diese Reihenfolge ist entscheidend.
2. Zusammengesetzte Kreisfiguren
Beispiel: Verschnitt beim Ausstanzen
Aus einer quadratischen Blechplatte von \( 10\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \) wird die größtmögliche Kreisscheibe ausgestanzt. Wie viel Blech bleibt als Abfall?
Die größte Scheibe berührt alle vier Seiten, hat also \( d = 10\ \text{cm} \) und \( r = 5\ \text{cm} \):
\( A_{\text{Quadrat}} = 100\ \text{cm}^2 \)
\( A_{\text{Kreis}} = 25\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 78{,}5\ \text{cm}^2 \)
\( A_{\text{Abfall}} = 100\ \text{cm}^2 – 78{,}5\ \text{cm}^2 = 21{,}5\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Es bleiben \( 21{,}5\ \text{cm}^2 \) Verschnitt – gut ein Fünftel der Platte.
Beispiel: Halbkreis als Anbau
Eine Terrasse besteht aus einem Rechteck von \( 8\ \text{m} \times 5\ \text{m} \) mit einem angesetzten Halbkreis über der kurzen Seite (\( d = 5\ \text{m} \), also \( r = 2{,}5\ \text{m} \)).
\( A_{\text{Rechteck}} = 40\ \text{m}^2 \)
\( A_{\text{Halbkreis}} = \dfrac{2{,}5^2 \cdot 3{,}14}{2}\ \text{m}^2 = \dfrac{19{,}625}{2}\ \text{m}^2 \approx 9{,}81\ \text{m}^2 \)
\( A_{\text{gesamt}} \approx 49{,}81\ \text{m}^2 \)
Antwort: Die Terrasse ist rund \( 49{,}8\ \text{m}^2 \) groß.
3. Die Oberfläche des Zylinders
Merke: aus dem Netz folgt die Formel
Das Netz besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck. Das Rechteck ist so lang wie der Kreisumfang und so hoch wie der Zylinder:
Mantel: \( M = 2r\pi \cdot h \)
Oberfläche: \( O = 2 \cdot r^2\pi + 2r\pi \cdot h \)
Vorsicht bei der Aufgabenstellung: Eine Dose ohne Deckel hat nur einen Kreis, ein Rohr sogar keinen. Lies genau, was verlangt ist.
Beispiel: Blechbedarf für eine Dose
Eine Dose hat \( r = 5\ \text{cm} \) und \( h = 12\ \text{cm} \).
\( \text{Grundfläche} = 25\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 78{,}5\ \text{cm}^2 \)
\( M = 2 \cdot 5\ \text{cm} \cdot 3{,}14 \cdot 12\ \text{cm} = 376{,}8\ \text{cm}^2 \)
\( O = 2 \cdot 78{,}5\ \text{cm}^2 + 376{,}8\ \text{cm}^2 = 157\ \text{cm}^2 + 376{,}8\ \text{cm}^2 = 533{,}8\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Für die Dose werden \( 533{,}8\ \text{cm}^2 \) Blech gebraucht.
Ohne Deckel wären es nur \( 78{,}5\ \text{cm}^2 + 376{,}8\ \text{cm}^2 = 455{,}3\ \text{cm}^2 \).
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( A = r^2 \cdot \pi \)
\( M = 2r\pi \cdot h \)
\( O = 2 \cdot r^2\pi + 2r\pi \cdot h \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 8, Lernbereich 4 „Flächeninhalt – Kreise“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.