Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 8 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 2: Quadratzahlen und Quadratwurzeln · LehrplanPLUS
Quadratzahlen und Quadratwurzeln: Quadrieren und die Umkehrung
In Klasse 6 hast Du gefragt: „Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 25?“ Dafür gibt es jetzt ein eigenes Zeichen – die Wurzel. Sie ist die Umkehrung des Quadrierens und das Werkzeug, mit dem Du aus einer Fläche die Seitenlänge zurückrechnest. Ohne sie kommst Du beim Satz des Pythagoras in Klasse 9 nicht weiter.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 8.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge fast gleich. Der M-Zug hat einen Abschnitt zusätzlich – er ist unten deutlich gekennzeichnet.
1. Quadratzahlen und das Quadrat
Der Name kommt von der Figur: \( 5^2 \) ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 5. Deshalb heißt die Rechnung quadrieren und die Einheit cm².
Merke: diese Quadratzahlen solltest Du auswendig können
| \( 1^2 = 1 \) | \( 2^2 = 4 \) | \( 3^2 = 9 \) | \( 4^2 = 16 \) | \( 5^2 = 25 \) |
| \( 6^2 = 36 \) | \( 7^2 = 49 \) | \( 8^2 = 64 \) | \( 9^2 = 81 \) | \( 10^2 = 100 \) |
| \( 11^2 = 121 \) | \( 12^2 = 144 \) | \( 13^2 = 169 \) | \( 14^2 = 196 \) | \( 15^2 = 225 \) |
Wer diese fünfzehn Werte im Kopf hat, erkennt die meisten Wurzeln sofort – und kommt im Teil A der Abschlussprüfung ohne Taschenrechner aus.
2. Die Wurzel als Umkehrung
Merke
\( \sqrt{a} = b \) bedeutet \( b^2 = a \) (für \( a \ge 0 \), \( b \ge 0 \))
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, das Ziehen der Wurzel heißt Radizieren.
Weil sich beide Rechenarten aufheben, gilt:
\( \sqrt{7^2} = 7 \qquad \left(\sqrt{7}\right)^2 = 7 \)
Wichtig: Aus einer negativen Zahl kann man keine Quadratwurzel ziehen. \( \sqrt{-9} \) gibt es nicht – kein Quadrat ist negativ.
Beispiel: Wurzeln im Kopf
\( \sqrt{144} = 12 \)
\( \sqrt{81} = 9 \)
\( \sqrt{225} = 15 \)
Auch bei Kommazahlen hilft die Quadratzahltabelle:
\( \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \) denn \( 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \)
\( \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) denn \( 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44 \)
Achtung bei Kommazahlen: \( \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \) ist größer als der Radikand. Bei Zahlen zwischen 0 und 1 wird die Wurzel größer, nicht kleiner.
3. Näherungswerte und Überschlag
Die meisten Wurzeln sind keine glatten Zahlen. \( \sqrt{2} \) hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nie wiederholen. Dafür gibt es zwei Wege: einschachteln oder den Taschenrechner.
Merke: so schachtelst Du ein
- Such die nächstkleinere und die nächstgrößere Quadratzahl.
- Die Wurzel liegt zwischen deren Wurzeln.
- Schätze, zu welcher der beiden der Radikand näher liegt.
Beispiel: \( \sqrt{30} \) – die Nachbarn sind \( 25 \) und \( 36 \), also liegt \( \sqrt{30} \) zwischen 5 und 6, etwa in der Mitte. Der Taschenrechner bestätigt: \( \sqrt{30} \approx 5{,}48 \).
Beispiel: aus der Fläche die Seite berechnen
Ein quadratisches Grundstück hat den Flächeninhalt \( 196\ \text{m}^2 \). Wie lang ist eine Seite?
\( a = \sqrt{196\ \text{m}^2} = 14\ \text{m} \)
Probe: \( 14\ \text{m} \cdot 14\ \text{m} = 196\ \text{m}^2 \) – stimmt.
Weiterfrage: Wie viel Zaun wird gebraucht? \( u = 4 \cdot 14\ \text{m} = 56\ \text{m} \).
Beispiel: Taschenrechner und sinnvolles Runden
Ein quadratisches Blech hat \( 500\ \text{cm}^2 \). Wie lang ist die Seite?
\( a = \sqrt{500\ \text{cm}^2} \approx 22{,}36\ \text{cm} \)
Überschlag vorab: \( 22^2 = 484 \) und \( 23^2 = 529 \) – das Ergebnis muss also zwischen 22 und 23 liegen. Passt.
Zwei Nachkommastellen reichen hier völlig. Beim Zuschnitt in der Werkstatt wären es Millimeter, also \( 22{,}4\ \text{cm} \).
Nur für den M-Zug: Quadrate negativer Zahlen
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M8. In der Regelklasse wird er nicht verlangt.
Merke: die Klammer entscheidet
\( (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25 \)
\( -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25 \)
Im ersten Fall wird die negative Zahl quadriert – nach der Vorzeichenregel ergeben zwei Minus ein Plus. Im zweiten Fall wird nur die 5 quadriert und das Ergebnis anschließend negativ genommen.
Merksatz: Ohne Klammer gehört das Minus nicht zur Basis.
Beispiel: Gleichungen der Form \( x^2 = a \)
Löse \( x^2 = 49 \).
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 49 ergibt:
\( x = 7 \) oder \( x = -7 \), kurz: \( x = \pm 7 \)
Aber: \( \sqrt{49} = 7 \) – das Wurzelzeichen liefert immer nur den positiven Wert. Das ist kein Widerspruch: Die Gleichung hat zwei Lösungen, die Wurzel ist als eindeutige Rechenoperation festgelegt.
Und eine Gleichung wie \( x^2 = -16 \) hat keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.
Hinweis für später: Genau diese Überlegung brauchst Du in M9 bei den reinquadratischen Gleichungen und in M10 bei der Diskriminante.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( \sqrt{a} = b \)
\( b^2 = a \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 8, Lernbereich 2 „Quadratzahlen und Quadratwurzeln“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.