Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 7 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 5: Rauminhalt – gerade Prismen · LehrplanPLUS
Volumen gerader Prismen: eine Formel für alle
In Klasse 6 hast Du das Volumen des Quaders berechnet. Jetzt kommt die große Verallgemeinerung: Eine einzige Formel gilt für jedes Prisma – egal, ob die Grundfläche ein Rechteck, ein Dreieck oder ein Fünfeck ist. Damit rechnest Du Betonfundamente, Regenrinnen und Dachräume aus.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
Regelklasse oder M-Zug? In Jahrgangsstufe 7 ist dieser Lernbereich für beide Züge gleich. Diese Seite gilt also für Dich, egal in welcher Klasse Du bist. Unterschiede gibt es erst ab Jahrgangsstufe 8.
1. Die eine Formel
Ein Prisma kannst Du Dir als Stapel vorstellen: Die Grundfläche liegt viele Male übereinander. Je größer die Grundfläche und je höher der Stapel, desto größer das Volumen.
Merke
\( V = G \cdot h \)
Beim Quader ist \( G = a \cdot b \) – die alte Formel \( V = a \cdot b \cdot c \) ist also nur ein Sonderfall.
Zwei Höhen unterscheiden: Die Höhe in der Grundfläche (etwa beim Dreieck) hat nichts mit der Körperhöhe zu tun. Schreib sie verschieden auf, zum Beispiel \( h_\triangle \) und \( h_K \).
Vorgehen immer gleich: erst \( G \) ausrechnen, dann mal \( h \).
2. Die drei Standardfälle
Beispiel a: Rechteckgrundfläche
Grundfläche \( 8\ \text{cm} \times 5\ \text{cm} \), Körperhöhe \( 12\ \text{cm} \).
\( G = 8\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 40\ \text{cm}^2 \)
\( V = 40\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 480\ \text{cm}^3 \)
Beispiel b: Parallelogrammgrundfläche
Grundseite \( 9\ \text{cm} \), Höhe der Grundfläche \( 4\ \text{cm} \), Körperhöhe \( 8\ \text{cm} \).
\( G = 9\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 36\ \text{cm}^2 \)
\( V = 36\ \text{cm}^2 \cdot 8\ \text{cm} = 288\ \text{cm}^3 \)
Beispiel c: Dreieckprisma
Die Grundfläche ist ein Dreieck mit \( g = 3\ \text{cm} \) und \( h_\triangle = 4\ \text{cm} \). Das Prisma ist \( 10\ \text{cm} \) lang.
\( G = \dfrac{1}{2} \cdot 3\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 6\ \text{cm}^2 \)
\( V = 6\ \text{cm}^2 \cdot 10\ \text{cm} = 60\ \text{cm}^3 \)
Das ist genau das Prisma, dessen Oberfläche Du in Lernbereich 4 mit \( 132\ \text{cm}^2 \) berechnet hast. Gleicher Körper, zwei verschiedene Fragen.
3. Umkehraufgaben
Beispiel
a) Ein Prisma hat \( V = 288\ \text{cm}^3 \) und \( G = 36\ \text{cm}^2 \). Wie hoch ist es?
\( h = \dfrac{V}{G} = \dfrac{288\ \text{cm}^3}{36\ \text{cm}^2} = 8\ \text{cm} \)
b) Ein Prisma hat \( V = 480\ \text{cm}^3 \) und ist \( 12\ \text{cm} \) hoch. Wie groß ist die Grundfläche?
\( G = \dfrac{V}{h} = \dfrac{480\ \text{cm}^3}{12\ \text{cm}} = 40\ \text{cm}^2 \)
Einheitenkontrolle: cm³ geteilt durch cm² ergibt cm, cm³ geteilt durch cm ergibt cm². Passt die Einheit nicht, hast Du falsch geteilt.
4. Aufgaben aus dem Berufsalltag
Beispiel: Betonfundament
Ein Fundament ist \( 4\ \text{m} \) lang, \( 0{,}5\ \text{m} \) breit und \( 0{,}8\ \text{m} \) tief. Wie viel Beton wird gebraucht?
\( G = 4\ \text{m} \cdot 0{,}5\ \text{m} = 2\ \text{m}^2 \)
\( V = 2\ \text{m}^2 \cdot 0{,}8\ \text{m} = 1{,}6\ \text{m}^3 \)
Antwort: Es werden \( 1{,}6\ \text{m}^3 \) Beton gebraucht.
Weiterfrage: Ein Sack Fertigbeton ergibt \( 0{,}02\ \text{m}^3 \). Wie viele Säcke? \( 1{,}6 : 0{,}02 = 80 \) Säcke.
Beispiel: Regenrinne
Eine Regenrinne hat als Querschnitt ein Trapez – hier vereinfacht ein Rechteck von \( 12\ \text{cm} \) Breite und \( 8\ \text{cm} \) Tiefe. Die Rinne ist \( 6\ \text{m} \) lang. Wie viel Wasser fasst sie randvoll?
Erst alles in dieselbe Einheit – hier Zentimeter:
\( G = 12\ \text{cm} \cdot 8\ \text{cm} = 96\ \text{cm}^2 \)
\( h = 600\ \text{cm} \)
\( V = 96\ \text{cm}^2 \cdot 600\ \text{cm} = 57\,600\ \text{cm}^3 = 57{,}6\ \text{l} \)
Antwort: Die Rinne fasst \( 57{,}6 \) Liter.
Beispiel: zusammengesetzter Körper
Ein Gartenhaus besteht aus einem Quader (\( 3\ \text{m} \times 2\ \text{m} \times 2{,}2\ \text{m} \)) mit einem aufgesetzten Satteldach. Das Dach ist ein Dreieckprisma: Grundseite \( 2\ \text{m} \), Höhe \( 1{,}2\ \text{m} \), Länge \( 3\ \text{m} \). Wie groß ist der umbaute Raum?
\( V_{\text{Quader}} = 3 \cdot 2 \cdot 2{,}2\ \text{m}^3 = 13{,}2\ \text{m}^3 \)
\( G_{\text{Dach}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2\ \text{m} \cdot 1{,}2\ \text{m} = 1{,}2\ \text{m}^2 \)
\( V_{\text{Dach}} = 1{,}2\ \text{m}^2 \cdot 3\ \text{m} = 3{,}6\ \text{m}^3 \)
\( V_{\text{gesamt}} = 13{,}2 + 3{,}6 = 16{,}8\ \text{m}^3 \)
Antwort: Der umbaute Raum beträgt \( 16{,}8\ \text{m}^3 \).
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( V = G \cdot h \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 7, Regelklasse, Lernbereich 5 „Rauminhalt – gerade Prismen“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.