Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 7 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 4: Flächeninhalt – Parallelogramme und Dreiecke · LehrplanPLUS
Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck
Ein Giebel, ein Grundstück, ein Blechzuschnitt: Sobald eine Fläche kein Rechteck mehr ist, brauchst Du neue Formeln. Das Gute daran: Beide leiten sich direkt aus dem Rechteck her, das Du schon kennst. Du musst nichts auswendig lernen, was Du nicht auch herleiten könntest.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
Regelklasse oder M-Zug? In Jahrgangsstufe 7 ist dieser Lernbereich für beide Züge gleich. Diese Seite gilt also für Dich, egal in welcher Klasse Du bist. Unterschiede gibt es erst ab Jahrgangsstufe 8.
1. Vom Parallelogramm zum Rechteck
Schneide vom Parallelogramm links ein Dreieck ab und setz es rechts wieder an: Es entsteht ein Rechteck mit derselben Fläche. Also gilt dieselbe Rechnung wie beim Rechteck – nur heißen die Größen jetzt Grundseite und Höhe.
Merke: die Höhe ist nicht die Schräge
Parallelogramm: \( A = g \cdot h \)
Die Höhe \( h \) steht immer senkrecht auf der Grundseite \( g \). Sie ist nicht die schräge Seite. Das ist der häufigste Fehler in diesem Kapitel.
Jede Seite kann Grundseite sein – dann gehört aber auch die passende Höhe dazu.
2. Vom Dreieck zum Parallelogramm
Merke
Dreieck: \( A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \) oder \( A = \dfrac{g \cdot h}{2} \)
Zwei gleiche Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und derselben Höhe. Deshalb ist die Dreiecksfläche genau halb so groß.
Beispiel: beide Formeln anwenden
a) Parallelogramm mit \( g = 9\ \text{cm} \) und \( h = 4\ \text{cm} \):
\( A = 9\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 36\ \text{cm}^2 \)
b) Dreieck mit \( g = 12\ \text{cm} \) und \( h = 5\ \text{cm} \):
\( A = \dfrac{1}{2} \cdot 12\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 30\ \text{cm}^2 \)
Tipp zum Kopfrechnen: Halbiere zuerst die gerade Zahl, dann multipliziere – \( 6 \cdot 5 = 30 \) geht leichter als \( 60 : 2 \).
3. Umkehraufgaben
Beispiel
a) Ein Parallelogramm hat \( A = 54\ \text{cm}^2 \) und \( g = 9\ \text{cm} \). Wie hoch ist es?
\( h = 54\ \text{cm}^2 : 9\ \text{cm} = 6\ \text{cm} \)
b) Ein Dreieck hat \( A = 30\ \text{cm}^2 \) und \( h = 5\ \text{cm} \). Wie lang ist die Grundseite?
Erst die Halbierung rückgängig machen, dann teilen:
\( g = \dfrac{2 \cdot 30\ \text{cm}^2}{5\ \text{cm}} = \dfrac{60\ \text{cm}^2}{5\ \text{cm}} = 12\ \text{cm} \)
Probe: \( \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5\ \text{cm}^2 = 30\ \text{cm}^2 \) – stimmt. Beim Dreieck wird oft vergessen, zuerst zu verdoppeln.
4. Zusammengesetzte Figuren
Beispiel: Hauswand streichen
Eine Hauswand besteht aus einem Rechteck (10 m breit, 6 m hoch) und einem Giebeldreieck (Grundseite 10 m, Höhe 4 m). Wie groß ist die Fläche?
\( A_{\text{Rechteck}} = 10\ \text{m} \cdot 6\ \text{m} = 60\ \text{m}^2 \)
\( A_{\text{Giebel}} = \dfrac{1}{2} \cdot 10\ \text{m} \cdot 4\ \text{m} = 20\ \text{m}^2 \)
\( A_{\text{gesamt}} = 60\ \text{m}^2 + 20\ \text{m}^2 = 80\ \text{m}^2 \)
Weiterfrage: Ein Eimer Farbe reicht für \( 12\ \text{m}^2 \). Wie viele Eimer werden gebraucht?
\( 80 : 12 \approx 6{,}67 \)
Antwort: Es werden 7 Eimer gebraucht. Hier musst Du aufrunden – mit 6 Eimern bleibt ein Stück Wand unbemalt.
5. Die Oberfläche eines Dreieckprismas
Merke
\( O = 2 \cdot G + M \)
\( G \) ist die Grundfläche (hier ein Dreieck), \( M \) der Mantel. Der Mantel ist ein langes Rechteck:
\( M = u \cdot h_K \) – Umfang der Grundfläche mal Körperhöhe
Beispiel: Zeltdach als Dreieckprisma
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm. Das Prisma ist 10 cm lang.
Grundfläche – die beiden kurzen Seiten stehen senkrecht aufeinander, sind also Grundseite und Höhe:
\( G = \dfrac{1}{2} \cdot 3\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 6\ \text{cm}^2 \)
Mantel – zuerst der Umfang des Dreiecks:
\( u = 3 + 4 + 5 = 12\ \text{cm} \)
\( M = 12\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 120\ \text{cm}^2 \)
Oberfläche:
\( O = 2 \cdot 6\ \text{cm}^2 + 120\ \text{cm}^2 = 132\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Die Oberfläche beträgt \( 132\ \text{cm}^2 \).
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( A = g \cdot h \)
\( A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \)
\( A = \dfrac{g \cdot h}{2} \)
\( O = 2 \cdot G + M \)
\( M = u \cdot h_K \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 7, Regelklasse, Lernbereich 4 „Flächeninhalt – Parallelogramme und Dreiecke“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.