Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 7 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 6: Diagramme und statistische Kennwerte · LehrplanPLUS
Diagramme prüfen, Spannweite und Zentralwert berechnen
Ein Diagramm kann alles richtig darstellen – und trotzdem täuschen. Und ein Durchschnitt allein sagt oft zu wenig. In diesem Lernbereich bekommst Du zwei neue Kennwerte dazu, mit denen Du Daten besser beschreibst: die Spannweite und den Zentralwert. Und Du lernst, Darstellungen kritisch zu prüfen.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Daten in Text, Tabelle und Diagramm
- Die geeignete Darstellungsform wählen
- Manipulative Diagramme erkennen
- Die Skalierung von Diagrammen
- Die Qualität von Datenerhebungen
- Stichprobengröße und Aussagekraft
- Das arithmetische Mittel wiederholen
- Die Spannweite
- Der Zentralwert (Median)
- Kennwerte vergleichen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 8.
Regelklasse oder M-Zug? In Jahrgangsstufe 7 ist dieser Lernbereich für beide Züge gleich. Diese Seite gilt also für Dich, egal in welcher Klasse Du bist. Unterschiede gibt es erst ab Jahrgangsstufe 8.
1. Drei Kennwerte für einen Datensatz
Nimm diese neun Werte – die Wochenarbeitszeit von neun Schülern im Nebenjob, in Stunden:
12 · 15 · 9 · 21 · 15 · 18 · 12 · 30 · 14
Merke: der erste Schritt ist immer das Sortieren
9 · 12 · 12 · 14 · 15 · 15 · 18 · 21 · 30
Ohne sortierte Liste kannst Du weder Spannweite noch Zentralwert bestimmen. Sortieren ist hier keine Fleißarbeit, sondern der eigentliche Rechenschritt.
Merke: die drei Kennwerte
| Kennwert | So berechnest Du ihn | Was er sagt |
|---|---|---|
| Arithmetisches Mittel | Summe geteilt durch Anzahl | der gerechte Durchschnitt |
| Spannweite | größter Wert minus kleinster Wert | wie weit die Werte auseinanderliegen |
| Zentralwert (Median) | der mittlere Wert der sortierten Liste | der typische Wert, unbeeindruckt von Ausreißern |
Beispiel: alle drei Kennwerte berechnen
a) Arithmetisches Mittel
\( 9 + 12 + 12 + 14 + 15 + 15 + 18 + 21 + 30 = 146 \)
\( 146 : 9 \approx 16{,}2 \)
b) Spannweite
\( 30 – 9 = 21 \)
c) Zentralwert – bei 9 Werten steht der 5. Wert in der Mitte (vier davor, vier danach):
\( 9\ \ 12\ \ 12\ \ 14\ \ \underline{\textbf{15}}\ \ 15\ \ 18\ \ 21\ \ 30 \)
Der Zentralwert ist 15 Stunden.
Vergleich: Der Mittelwert liegt bei 16,2 Stunden, der Zentralwert bei 15. Der eine Schüler mit 30 Stunden zieht den Mittelwert nach oben – den Zentralwert nicht.
Merke: Zentralwert bei gerader Anzahl
Gibt es zwei mittlere Werte, nimmst Du deren Mittelwert. Beispiel mit vier Werten: 8, 11, 15, 20.
\( \dfrac{11 + 15}{2} = 13 \)
Der Zentralwert ist also 13 – auch wenn diese Zahl gar nicht in der Liste vorkommt.
2. Welcher Kennwert passt wann?
Beispiel: die Löhne in einem kleinen Betrieb
Fünf Angestellte verdienen im Monat: 2000 €, 2200 €, 2200 €, 2400 € und 9200 € (der Chef).
Mittelwert: \( (2000 + 2200 + 2200 + 2400 + 9200)\ \text{€} : 5 = 3600\ \text{€} \)
Zentralwert: \( 2000\ \ 2200\ \ \underline{\textbf{2200}}\ \ 2400\ \ 9200 \rightarrow 2200\ \text{€} \)
Der Mittelwert von 3600 € ist rechnerisch richtig – aber vier von fünf verdienen weniger. Der Zentralwert von 2200 € beschreibt den Betrieb ehrlicher.
Faustregel: Gibt es Ausreißer, ist der Zentralwert aussagekräftiger. Liegen die Werte dicht beieinander, sind beide Kennwerte etwa gleich – dann ist es egal.
3. Diagramme, die täuschen
Merke: vier Prüffragen an jedes Diagramm
- Beginnt die Wertachse bei 0? Sonst wirken kleine Unterschiede riesig.
- Sind die Abstände auf der Achse gleich? Fehlende Jahre verzerren jeden Verlauf.
- Werden Bildsymbole benutzt? Verdoppelt man Höhe und Breite, vervierfacht sich die Fläche – das täuscht.
- Wer hat erhoben, und wie viele wurden befragt? 20 Antworten sind keine Grundlage für eine allgemeine Aussage.
Beispiel: die richtige Darstellungsform wählen
| Du willst zeigen … | geeignet ist |
|---|---|
| Anzahlen vergleichen (Lieblingssport) | Säulen- oder Balkendiagramm |
| eine Entwicklung über die Zeit | Liniendiagramm |
| Anteile am Ganzen (Ausgaben) | Kreisdiagramm |
| genaue Zahlenwerte | Tabelle |
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 7, Regelklasse, Lernbereich 6 „Diagramme und statistische Kennwerte“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.