Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 7 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 2: Rationale Zahlen – Rechenregeln · LehrplanPLUS
Rechnen mit negativen Zahlen: die Vorzeichenregeln
In Klasse 5 hast Du negative Zahlen kennengelernt: Temperatur, Höhe, Kontostand. Jetzt lernst Du, mit ihnen in allen vier Grundrechenarten zu rechnen. Der Schlüssel sind ein paar klare Vorzeichenregeln – und die Zahlengerade, auf der Du jede Rechnung nachlaufen kannst.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Rationale Zahlen mit Vorzeichen
- Addition rationaler Zahlen
- Subtraktion rationaler Zahlen
- Multiplikation rationaler Zahlen
- Division rationaler Zahlen
- Die Vorzeichenregeln
- Zahlengerade und Rechenpfeile
- Überschlagsrechnungen
- Sachaufgaben zu Guthaben, Schulden und Temperatur
- Rechnen mit Brüchen und Vorzeichen (nur M-Zug)
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
Regelklasse oder M-Zug? In Jahrgangsstufe 7 ist dieser Lernbereich für beide Züge gleich. Diese Seite gilt also für Dich, egal in welcher Klasse Du bist. Der M-Zug hat hier einen Abschnitt zusätzlich – er ist unten deutlich gekennzeichnet.
1. Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden
Merke
Ein Minuszeichen kann zwei ganz verschiedene Dinge bedeuten:
- ein Vorzeichen: Es gehört zur Zahl. \( -5 \) ist eine Zahl links von der Null.
- ein Rechenzeichen: Es sagt, was zu tun ist. \( 8 – 5 \) heißt abziehen.
Damit es eindeutig bleibt, setzt man Vorzeichen in Klammern: \( 8 + (-5) \) oder \( 8 – (-5) \).
2. Addieren und subtrahieren auf der Zahlengeraden
Merke: die beiden Klammerregeln
\( a + (-b) = a – b \) Plus und Minus ergeben Minus
\( a – (-b) = a + b \) Minus und Minus ergeben Plus
Anschaulich: Schulden wegnehmen ist dasselbe wie Geld bekommen. Deshalb wird aus zwei Minus ein Plus.
Beispiel: addieren und subtrahieren
| \( (-7) + (-5) = -7 – 5 = -12 \) | noch weiter nach links |
| \( (-7) – (-5) = -7 + 5 = -2 \) | Minus und Minus ergibt Plus |
| \( 5 – (-3) = 5 + 3 = 8 \) | dasselbe Muster |
| \( -12 + 20 = 8 \) | über die Null hinweg nach rechts |
3. Multiplizieren und dividieren – die Vorzeichenregel
Merke: die Vorzeichenregel
\( (+) \cdot (+) = + \)
\( (-) \cdot (-) = + \)
\( (+) \cdot (-) = – \)
\( (-) \cdot (+) = – \)
Kurz: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene ergeben Minus.
Bei mehreren Faktoren zählst Du einfach die Minuszeichen: gerade Anzahl bedeutet Plus, ungerade Anzahl bedeutet Minus.
Beispiel: multiplizieren und dividieren
| \( (-3) \cdot 4 = -12 \) | ein Minus → negativ |
| \( (-3) \cdot (-4) = 12 \) | zwei Minus → positiv |
| \( (-12) : (-4) = 3 \) | zwei Minus → positiv |
| \( 20 : (-5) = -4 \) | ein Minus → negativ |
| \( (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24 \) | drei Minus, also ungerade → negativ |
Achtung: Plus und Mal haben verschiedene Regeln
\( (-3) + (-4) = -7 \) aber \( (-3) \cdot (-4) = +12 \)
Beim Addieren gehst Du weiter nach links – das Ergebnis wird kleiner. Beim Multiplizieren gilt die Vorzeichenregel. Schau also immer zuerst, welches Rechenzeichen dasteht.
4. Punkt vor Strich bleibt gültig
Beispiel: verbundene Rechnungen
a) \( -8 + 3 \cdot (-5) \)
\( = -8 + (-15) = -23 \)
b) \( (-6) \cdot (-2) – 20 : (-4) \)
\( = 12 – (-5) = 12 + 5 = 17 \)
c) \( (-4) \cdot \left(7 – 10\right) \)
\( = (-4) \cdot (-3) = 12 \)
Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich – und bei jedem Schritt auf das Vorzeichen achten.
5. Sachaufgaben
Beispiel 1: Konto
Ein Konto ist mit \( 45\ \text{€} \) im Minus. Drei Wochen lang zahlt jemand je \( 20\ \text{€} \) ein. Wie ist der Stand danach?
\( -45\ \text{€} + 3 \cdot 20\ \text{€} = -45\ \text{€} + 60\ \text{€} = 15\ \text{€} \)
Antwort: Auf dem Konto sind danach \( 15\ \text{€} \) Guthaben.
Beispiel 2: Temperatursturz
Um 14 Uhr sind es \( 9\ ^\circ\text{C} \). In der Nacht fällt die Temperatur um 15 Grad. Wie kalt wird es?
\( 9\ ^\circ\text{C} – 15\ \text{Grad} = -6\ ^\circ\text{C} \)
Antwort: Es wird \( -6\ ^\circ\text{C} \) kalt.
Und umgekehrt: Wie groß war der Temperaturunterschied? Von \( -6 \) bis \( 9 \) sind es \( 6 + 9 = 15 \) Grad – ein Unterschied ist immer positiv.
Beispiel 3: Tauchgang
Ein Taucher ist auf \( -18\ \text{m} \). Er steigt um 7 m auf, dann taucht er noch einmal 12 m ab. Auf welcher Tiefe ist er?
\( -18\ \text{m} + 7\ \text{m} – 12\ \text{m} = -23\ \text{m} \)
Antwort: Er befindet sich auf \( -23\ \text{m} \), also 23 m unter der Wasseroberfläche.
Nur für den M-Zug: Rechnen mit Brüchen und Vorzeichen
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M7. In der Regelklasse wird er nicht verlangt – Du kannst ihn überspringen, wenn Du im Regelzug bist.
Merke: die Vorzeichenregeln gelten genauso für Brüche
An den Regeln ändert sich nichts. Neu ist nur, dass Du zusätzlich die Bruchrechnung aus Klasse 6 brauchst. Arbeite deshalb in zwei getrennten Schritten:
- Vorzeichen bestimmen – Minuszeichen zählen, gerade bedeutet Plus.
- Mit den Beträgen rechnen – erweitern, kürzen, multiplizieren wie gewohnt.
Beispiel: alle vier Rechenarten
a) Addieren – erst gleichnamig machen:
\( -\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{4} \)
b) Multiplizieren – zwei Minus ergeben Plus, dann Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:
\( \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{9}{4}\right) = +\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \)
c) Dividieren – mit dem Kehrbruch multiplizieren, ein Minus bleibt ein Minus:
\( \left(-\dfrac{5}{6}\right) : \dfrac{2}{3} = \left(-\dfrac{5}{6}\right) \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{15}{12} = -\dfrac{5}{4} = -1{,}25 \)
d) Zwischen Bruch und Dezimalzahl wechseln – nimm die Form, in der die Rechnung leichter fällt:
\( -0{,}75 + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5 \)
Tipp: Beim Addieren und Subtrahieren ist die Dezimalform oft schneller, beim Multiplizieren und Dividieren fast immer die Bruchform.
|
Typische Fehler
|
So machst Du es richtig
|
Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( a + (-b) = a – b \)
\( a – (-b) = a + b \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 7, Regelklasse, Lernbereich 2 „Rationale Zahlen – Rechenregeln“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.