Mathematik Realschule Bayern · Klasse 7 (Mathematik I) bzw. Klasse 8 (Mathematik II/III) · Lernbereich „Dreiecke“ bzw. „Dreiecke und Vierecke“ (LehrplanPLUS) · BY

Dreiecke: konstruieren, prüfen, begründen

Drei Angaben – und das Dreieck steht fest. Das ist die zentrale Idee dieses Lernbereichs. Aus drei passend gewählten Stücken (Seiten und Winkel) lässt sich ein Dreieck mit Zirkel und Geodreieck eindeutig konstruieren, und zwei Dreiecke, die in diesen drei Stücken übereinstimmen, sind deckungsgleich. Welche drei Stücke das leisten, regeln die vier Kongruenzsätze. Auf dieser Seite lernst du sie der Reihe nach kennen, jeweils mit Planfigur, Konstruktionsbeschreibung und nachgerechneter Lösung. Zum Schluss klärst du, wann ein Dreieck überhaupt existiert.

Inhalt dieser Seite

1. Kongruenz: Wann sind zwei Dreiecke deckungsgleich?
2. Drei Seiten – der Satz SSS
3. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel – SWS
4. Eine Seite und zwei Winkel – WSW (und SWW)
5. SsW – und warum SSW kein Kongruenzsatz ist
6. Dreiecksungleichung und Konstruierbarkeit
7. Das Wichtigste in Kürze
8. Nur für Mathematik I: Kongruenzbeweise und Begründen

1. Kongruenz: Wann sind zwei Dreiecke deckungsgleich?

Im Holzwerk Brandl in Rosenheim werden für ein Regal zwei Eckverstrebungen gesägt. Beide sollen exakt gleich sein, denn sie werden links und rechts eingebaut – und beim Einbau wird die zweite Strebe umgedreht. Sie liegt also anders herum auf dem Tisch und ist trotzdem dasselbe Bauteil. Genau das meint der Begriff Kongruenz.

Zwei Figuren heißen kongruent (deckungsgleich), wenn man sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung bringen kann. Die Größe ändert sich dabei nicht – anders als beim Vergrößern oder Verkleinern. Man schreibt \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \), gesprochen: „Dreieck ABC ist kongruent zu Dreieck DEF“.

Kongruent heißt nicht „gleich gelegen“, sondern „durch Bewegung zur Deckung zu bringen“.

Ein Dreieck hat sechs Bestimmungsstücke: die drei Seiten \( a \), \( b \), \( c \) und die drei Winkel \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \). Dabei liegt jede Seite dem gleichnamigen Winkel gegenüber: \( a \) gegenüber \( \alpha \), \( b \) gegenüber \( \beta \), \( c \) gegenüber \( \gamma \). Alle sechs Stücke musst du aber gar nicht messen. Es genügen drei – wenn es die richtigen drei sind. Welche das sind, sagen die vier Kongruenzsätze in den nächsten vier Kapiteln.

2. Drei Seiten – der Satz SSS

Auf dem Zuschnittplan der Regalstrebe stehen nur drei Längen: \( a = 5\ \text{cm} \), \( b = 4\ \text{cm} \), \( c = 6\ \text{cm} \). Kein einziger Winkel. Reicht das? Ja – und zwar deshalb, weil drei Latten, die man an den Enden verbindet, sich nicht mehr verziehen lassen.

Planfigur

Vor jeder Konstruktion zeichnest du eine Planfigur: eine freihändige Skizze, die nicht maßstäblich sein muss, in der aber alle gegebenen Stücke farbig markiert sind. Sie zeigt dir, womit du anfangen kannst. Hier sind alle drei Seiten gegeben, also beginnst du mit der längsten – das ist \( c = 6\ \text{cm} \).

Der zweite Schnittpunkt liegt gespiegelt unterhalb von AB und liefert dasselbe Dreieck, nur umgeklappt.

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichne mit dem Lineal die Strecke \( \overline{AB} \) mit \( c = 6\ \text{cm} \).
2. Zeichne mit dem Zirkel den Kreisbogen um \( A \) mit dem Radius \( b = 4\ \text{cm} \).
3. Zeichne mit dem Zirkel den Kreisbogen um \( B \) mit dem Radius \( a = 5\ \text{cm} \).
4. Der Schnittpunkt der beiden Bögen ist der Punkt \( C \).
5. Verbinde \( A \) mit \( C \) und \( B \) mit \( C \).

Nachgerechnet

Dass die Zeichnung stimmt, kannst du nachrechnen. Lege \( A \) in den Ursprung und \( B \) auf \( (6\,|\,0) \). Für \( C(x\,|\,y) \) gelten dann zwei Bedingungen:

Kontrolle: \( \overline{AC} = \sqrt{2{,}25^2 + 10{,}9375} = \sqrt{5{,}0625 + 10{,}9375} = \sqrt{16} = 4 \) – das ist genau \( b \). Und \( \overline{BC} = \sqrt{(6-2{,}25)^2 + 10{,}9375} = \sqrt{14{,}0625 + 10{,}9375} = \sqrt{25} = 5 \) – genau \( a \). Beide Seitenlängen der Zeichnung stimmen exakt mit den Vorgaben überein. Die Höhe über \( \overline{AB} \) beträgt rund 3,31 cm; die Strebe braucht also einen Rohling von mindestens 6 cm × 3,4 cm.

3. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel – SWS

Für eine Dachverstrebung gibt der Plan zwei Lattenlängen und den Winkel an, in dem sie zusammengesetzt werden: \( c = 8\ \text{cm} \), \( b = 5\ \text{cm} \) und dazwischen \( \alpha = 60^\circ \). Der Winkel \( \alpha \) liegt bei \( A \), also genau zwischen den beiden gegebenen Seiten \( \overline{AB} \) und \( \overline{AC} \) – er ist der eingeschlossene Winkel. Dieses „dazwischen“ ist entscheidend.

Beim Antragen des Winkels muss der Nullpunkt des Geodreiecks genau auf A liegen.

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichne die Strecke \( \overline{AB} \) mit \( c = 8\ \text{cm} \).
2. Trage in \( A \) mit dem Geodreieck den Winkel \( \alpha = 60^\circ \) an \( \overline{AB} \) an und zeichne den freien Schenkel.
3. Stich mit dem Zirkel in \( A \) ein und trage auf dem freien Schenkel \( b = 5\ \text{cm} \) ab. Der Endpunkt ist \( C \).
4. Verbinde \( B \) mit \( C \).

Nachgerechnet

Mit \( A(0\,|\,0) \) und \( B(8\,|\,0) \) liegt \( C \) auf dem 60°‑Schenkel im Abstand 5 cm, also bei

Kontrolle der dritten Seite: \( a = \overline{BC} = \sqrt{(8 – 2{,}5)^2 + 4{,}3301^2} = \sqrt{30{,}25 + 18{,}75} = \sqrt{49} = 7 \). Die dritte Seite misst also exakt 7 cm – du kannst sie in der Zeichnung nachmessen. Wichtig: \( a \) war nicht gegeben, sondern ergibt sich zwangsläufig. Genau das ist der Grund, warum SWS ein Kongruenzsatz ist: Mit \( b \), \( \alpha \) und \( c \) liegt alles Übrige fest.

4. Eine Seite und zwei Winkel – WSW (und SWW)

Beim Aufmaß einer schrägen Dachschräge lassen sich die beiden Winkel leicht messen, aber nur eine Länge bequem abgreifen: \( c = 6\ \text{cm} \), \( \alpha = 50^\circ \), \( \beta = 70^\circ \). Beide Winkel liegen an der gegebenen Seite \( \overline{AB} \) an – das ist der Fall WSW: Winkel, Seite, Winkel.

Der dritte Winkel muss nicht gegeben sein: \( \gamma = 180^\circ – 50^\circ – 70^\circ = 60^\circ \).

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichne die Strecke \( \overline{AB} \) mit \( c = 6\ \text{cm} \).
2. Trage in \( A \) den Winkel \( \alpha = 50^\circ \) an und zeichne den Schenkel über die zu erwartende Länge hinaus.
3. Trage in \( B \) den Winkel \( \beta = 70^\circ \) an, auf derselben Seite von \( \overline{AB} \), und zeichne auch diesen Schenkel.
4. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist \( C \).

Nachgerechnet

Mit \( A(0\,|\,0) \) und \( B(6\,|\,0) \) hat der Schenkel von \( A \) die Steigung \( \tan 50^\circ \), der Schenkel von \( B \) fällt mit \( \tan 70^\circ \) nach rechts ab. Gleichsetzen liefert den Schnittpunkt \( C\,(4{,}185 \,|\, 4{,}987) \).

Kontrolle mit dem Sinussatz (den lernst du erst in der 10. Klasse, hier dient er nur als Gegenprobe): \( b = \dfrac{c \cdot \sin\beta}{\sin\gamma} = \dfrac{6 \cdot 0{,}9397}{0{,}8660} = 6{,}510 \). Aus den Koordinaten: \( \overline{AC} = \sqrt{4{,}185^2 + 4{,}987^2} = \sqrt{17{,}51 + 24{,}87} = \sqrt{42{,}38} = 6{,}510 \). Beide Wege stimmen überein. Ebenso \( a = \overline{BC} = \sqrt{(6-4{,}185)^2 + 4{,}987^2} = \sqrt{3{,}295 + 24{,}87} = 5{,}307 \), und über den Sinussatz \( \frac{6 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} = 5{,}307 \).

Der Fall SWW gehört dazu

Sind stattdessen eine Seite und ein nicht anliegender Winkel gegeben, etwa \( c = 6\ \text{cm} \), \( \alpha = 50^\circ \) und \( \gamma = 60^\circ \), rechnest du den fehlenden anliegenden Winkel über die Winkelsumme aus: \( \beta = 180^\circ – 50^\circ – 60^\circ = 70^\circ \). Danach konstruierst du wie eben. Deshalb ist SWW kein eigener Kongruenzsatz, sondern nur eine andere Verpackung von WSW.

5. SsW – und warum SSW kein Kongruenzsatz ist

Der vierte Fall ist der heikelste: Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, sondern einer von ihnen gegenüber. Hier entscheidet sich alles daran, welcher der beiden Seiten der Winkel gegenüberliegt. Deshalb schreibt man den Satz mit einem großen und einem kleinen s: SsW – der Winkel liegt der längeren Seite (großes S) gegenüber.

Beispiel: \( a = 6\ \text{cm} \), \( b = 4\ \text{cm} \), \( \alpha = 40^\circ \). Der Winkel \( \alpha \) liegt der Seite \( a = 6\ \text{cm} \) gegenüber, und 6 cm ist die längere der beiden Seiten. Also SsW, also eindeutig.

Links eindeutig, rechts mehrdeutig – obwohl beide Male „zwei Seiten und ein Winkel“ gegeben sind.

Konstruktionsbeschreibung (SsW)

1. Zeichne einen Strahl von \( A \) aus – auf ihm wird später \( B \) liegen.
2. Trage in \( A \) den Winkel \( \alpha = 40^\circ \) an und zeichne den zweiten Schenkel.
3. Trage auf dem zweiten Schenkel \( b = 4\ \text{cm} \) ab; der Endpunkt ist \( C \).
4. Zeichne den Kreisbogen um \( C \) mit dem Radius \( a = 6\ \text{cm} \). Sein Schnittpunkt mit dem ersten Strahl ist \( B \).
5. Verbinde \( C \) mit \( B \).

Nachgerechnet – hier zeigt sich der Unterschied

Lege \( A \) in den Ursprung und den ersten Strahl auf die positive x‑Achse. Dann ist \( C = (\,4\cos 40^\circ \,|\, 4 \sin 40^\circ\,) = (3{,}064\,|\,2{,}571) \). Der Punkt \( B(x\,|\,0) \) muss von \( C \) den Abstand \( a \) haben:

Kontrolle im SsW‑Fall: \( \overline{AC} = \sqrt{3{,}064^2 + 2{,}571^2} = \sqrt{9{,}389 + 6{,}611} = \sqrt{16} = 4 \) – das ist \( b \). Und \( \overline{BC} = \sqrt{(8{,}485-3{,}064)^2 + 6{,}611} = \sqrt{29{,}389 + 6{,}611} = \sqrt{36} = 6 \) – das ist \( a \). Beide Vorgaben sind exakt eingehalten, die dritte Seite ergibt sich zu \( c \approx 8{,}49\ \text{cm} \).

Die zweite Zeile der Tabelle ist der Grund, warum es keinen Kongruenzsatz SSW gibt: Zwei Menschen können aus denselben drei Angaben zwei verschiedene Dreiecke konstruieren. Als Nachweis für Kongruenz taugt das nicht. Praktisch gedacht: Der Zuschnittplan wäre nicht eindeutig, und die Strebe käme in zwei Varianten aus der Säge.

6. Dreiecksungleichung und Konstruierbarkeit

In der Werkstatt liegen drei Leisten: 3 cm, 4 cm und 8 cm. Lassen sie sich zu einem Dreieck zusammensetzen? Nein – die beiden kurzen zusammen sind nur 7 cm lang und reichen nicht über die 8 cm hinweg. Genau das ist die Dreiecksungleichung: Der Umweg über die dritte Ecke muss länger sein als der direkte Weg.

In der Praxis genügt eine Prüfung: Vergleiche die Summe der beiden kürzeren Seiten mit der längsten. Ist diese Summe größer, sind automatisch auch die beiden anderen Ungleichungen erfüllt.

Würde \( a + b = c \) gelten, lägen alle drei Punkte auf einer Geraden – auch das ist kein Dreieck.

Zusammenhänge zwischen Seiten und Winkeln

Auch Winkelangaben können die Existenz verhindern. Es gilt \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \); zwei gegebene Winkel müssen zusammen also kleiner als 180° sein. Außerdem gehört zur längeren Seite immer der größere Gegenwinkel: In einem Dreieck mit \( a > b \) folgt \( \alpha > \beta \) und umgekehrt. Eine Angabe wie „\( a = 3\ \text{cm} \), \( b = 6\ \text{cm} \), \( \alpha = 80^\circ \), \( \beta = 40^\circ \)“ ist deshalb widersprüchlich, ohne dass du überhaupt zeichnen musst.

7. Das Wichtigste in Kürze

8. Nur für Mathematik I: Kongruenzbeweise und Begründen

Bisher hast du die Kongruenzsätze zum Konstruieren benutzt. Jetzt drehst du die Richtung um und benutzt sie als Argument: Wenn du drei passende Übereinstimmungen nachweisen kannst, darfst du auf die Kongruenz schließen – und aus der Kongruenz folgen dann alle weiteren Gleichheiten, ohne dass du sie einzeln nachmessen musst. Ein Kongruenzbeweis hat immer denselben Aufbau:

1. Behauptung: Was soll gezeigt werden?
2. Voraussetzungen: Was ist gegeben? Welche Gleichheiten folgen unmittelbar daraus?
3. Kongruenznachweis: Drei Stücke sammeln und den passenden Kongruenzsatz benennen.
4. Schluss: Aus der Kongruenz das Gewünschte folgern.

Gleiche Striche bedeuten gleiche Streckenlängen – so markiert man Voraussetzungen in der Figur.

Beweis 1: In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

Beachte den dritten Punkt: \( \overline{CM} \) ist die Seite, die beide Teildreiecke teilen. Solche „gemeinsamen Stücke“ sind in Kongruenzbeweisen fast immer das dritte Argument – halte in jeder Figur gezielt danach Ausschau.

Was du gratis mitbewiesen hast: Aus derselben Kongruenz folgt auch \( \angle ACM = \angle BCM \) (die Strecke \( \overline{CM} \) halbiert also den Winkel \( \gamma \)) und \( \angle AMC = \angle BMC \). Da diese beiden Winkel zusammen den gestreckten Winkel 180° bilden, ist jeder 90° groß. Die Seitenhalbierende zur Basis ist im gleichschenkligen Dreieck also zugleich Winkelhalbierende und Höhe. Drei Aussagen aus einem einzigen Kongruenznachweis – das ist der Gewinn dieser Methode.

Beweis 2: Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Gegenprobe mit Koordinaten: Nimm \( A(0\,|\,0) \), \( B(6\,|\,0) \), \( C(8\,|\,3) \), \( D(2\,|\,3) \). Dann ist \( \overline{AB} = 6 \) und \( \overline{DC} = 8 – 2 = 6 \) – gleich. Und \( \overline{AD} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \) sowie \( \overline{BC} = \sqrt{(8-6)^2 + 3^2} = \sqrt{13} \) – ebenfalls gleich. Das Zahlenbeispiel bestätigt den Beweis, ersetzt ihn aber nicht: Ein Beweis gilt für alle Parallelogramme, ein Beispiel nur für dieses eine.

Begründen im Alltag der Werkstatt

Aus zwei gleich langen Reststücken sägt die Schreinerei zwei Verstrebungen: beide 40 cm und 65 cm lang, beide mit einem Anschlusswinkel von 55° zwischen diesen beiden Kanten. Muss man das dritte Maß nachmessen? Nein – und die Begründung ist ein Kongruenzsatz: Die beiden Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, sind also nach SWS kongruent. Damit ist auch die dritte Seite zwangsläufig gleich lang. Genau so argumentierst du in Prüfungsaufgaben: Welche drei Stücke stimmen überein, und welcher Satz greift?

9. So fragt die Abschlussprüfung

Kongruenz erscheint in der Abschlussprüfung in drei Gestalten: als Konstruktionsaufgabe mit Planfigur und Beschreibung, als Frage nach der Eindeutigkeit gegebener Angaben – und in Mathematik I zusätzlich als Begründungsaufgabe. Vier typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl. Die ersten drei gelten für beide Ausbildungsrichtungen, die vierte nur für Mathematik I.

Aufgabe 1 – Existenz prüfen, bevor gezeichnet wird. Mathematik I und II/III In der Werkstatt liegen vier Bündel mit je drei Leisten. Prüfe rechnerisch, aus welchen sich ein Dreieck bauen lässt: (1) 5 cm, 12 cm, 13 cm · (2) 4 cm, 6 cm, 10 cm · (3) 3 cm, 9 cm, 5 cm · (4) 7 cm, 7 cm, 12 cm.

Gegenprobe: Bei den beiden existierenden Bündeln müssen alle drei Ungleichungen gelten – bei (1): \( 5+12>13 \), \( 5+13>12 \), \( 12+13>5 \) ✓. Und ein hübscher Zusatzbefund zu (1): \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \), das Dreieck ist also rechtwinklig. Antwort: Nur die Bündel (1) und (4) lassen sich zu einem Dreieck zusammensetzen; (2) ergibt eine Strecke, weil die Summe der kürzeren Seiten genau der längsten entspricht, und bei (3) reichen die kurzen Leisten nicht über die 9-cm-Leiste hinweg. Beide existierenden Dreiecke sind nach SSS eindeutig festgelegt.

Aufgabe 2 – Konstruktion nach WSW mit Beschreibung. Mathematik I und II/III Jonas soll eine dreieckige Zuschnittschablone \( ABC \) anfertigen: \( c = 8\ \text{cm} \), \( \alpha = 50^\circ \), \( \beta = 70^\circ \). a) Berechne \( \gamma \). b) Gib die Konstruktionsbeschreibung an. c) Ist die Schablone durch diese Angaben eindeutig festgelegt?

b) Konstruktionsbeschreibung: (1) Planfigur skizzieren und die gegebenen Stücke farbig markieren. (2) Strecke \( \overline{AB} \) mit \( c = 8\ \text{cm} \) zeichnen. (3) In \( A \) mit dem Geodreieck den Winkel \( \alpha = 50^\circ \) an \( \overline{AB} \) antragen und den freien Schenkel zeichnen. (4) In \( B \) den Winkel \( \beta = 70^\circ \) an \( \overline{AB} \) antragen, und zwar auf derselben Seite der Strecke. (5) Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist \( C \). (6) Dreieck \( ABC \) nachziehen und die Maße eintragen.

Gegenprobe an der Zeichnung: Messe \( \gamma \) mit dem Geodreieck nach – es müssen \( 60^\circ \) sein, und \( 50^\circ + 70^\circ + 60^\circ = 180^\circ \) ✓. Zweite Kontrolle über die Seitenlängen: Zum größten Winkel (\( \beta = 70^\circ \)) muss die längste Seite gehören, also ist \( b \) die längste Seite – prüfe das in der Zeichnung nach. Antwort c): Ja. Gegeben sind eine Seite und die beiden anliegenden Winkel, das ist der Kongruenzsatz WSW – alle so konstruierten Dreiecke sind zueinander kongruent. Jede Schablone, die Jonas nach diesen Angaben sägt, passt auf jede andere.

Aufgabe 3 – eindeutig oder nicht? SsW gegen SSW. Mathematik I und II/III Merve findet zwei Notizzettel mit Maßen für ein Verstrebungsdreieck. Zettel A: \( a = 5\ \text{cm} \), \( c = 8\ \text{cm} \), \( \gamma = 40^\circ \). Zettel B: \( a = 8\ \text{cm} \), \( c = 5\ \text{cm} \), \( \gamma = 40^\circ \). Welche Angaben legen das Dreieck eindeutig fest?

Begründung und Kontrolle: Zeichne bei Zettel B den Winkel \( \gamma = 40^\circ \) und schlage von der gegenüberliegenden Ecke aus den Kreisbogen mit \( r = 5\ \text{cm} \). Weil dieser Radius kleiner ist als die andere gegebene Seite (8 cm), schneidet der Bogen den Schenkel an zwei Stellen – es entstehen zwei verschiedene Dreiecke, ein spitzwinkliges und ein stumpfwinkliges. Bei Zettel A ist der Radius 8 cm größer als 5 cm, der Bogen trifft den Schenkel nur einmal auf der richtigen Seite – genau das ist die Bedingung des Satzes SsW. Antwort: Nur Zettel A legt das Dreieck eindeutig fest (SsW), weil der Winkel der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt. Zettel B ist unbrauchbar: SSW ist kein Kongruenzsatz. Merve muss ein viertes Maß erfragen.

Aufgabe 4 – Kongruenzbeweis. nur Mathematik I Eine rechteckige Rahmenzarge wird mit zwei gekreuzten Spanndrähten von Ecke zu Ecke gesichert. Herr Sailer fragt: Warum liegt der Kreuzungspunkt genau in der Mitte? Beweise allgemein: In jedem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.

Gegenprobe mit Koordinaten: Nimm \( A(0\,|\,0) \), \( B(6\,|\,0) \), \( C(8\,|\,3) \), \( D(2\,|\,3) \). Mittelpunkt von \( \overline{AC} \): \( \left(\tfrac{0+8}{2}\,\middle|\,\tfrac{0+3}{2}\right) = (4\,|\,1{,}5) \). Mittelpunkt von \( \overline{BD} \): \( \left(\tfrac{6+2}{2}\,\middle|\,\tfrac{0+3}{2}\right) = (4\,|\,1{,}5) \) – derselbe Punkt ✓. Antwort: Der Kreuzungspunkt der Spanndrähte liegt zwangsläufig in der Mitte, weil sich in jedem Parallelogramm – und damit auch im Rechteck – die Diagonalen gegenseitig halbieren. Denk daran: Das Zahlenbeispiel bestätigt den Beweis nur; bewiesen ist die Aussage allein durch den Kongruenzsatz, denn der gilt für jedes Parallelogramm.

10. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• SSW als Kongruenzsatz benutzt. Ursache: Es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben, also „muss“ es passen. Vermeidung: Der Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen – dann und nur dann greift SsW (kleines s für die kürzere Seite). Liegt er gegenüber der kürzeren, gibt es zwei Lösungen. Sortiere die beiden Seiten immer zuerst nach Länge.
• Bei SWS ist der gegebene Winkel nicht der eingeschlossene. Ursache: Die Buchstabenfolge wird nicht mit der Figur abgeglichen. Vermeidung: Bei SWS muss der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen. Zeichne die Planfigur und markiere die drei gegebenen Stücke – sitzt der Winkel woanders, ist es SSW und damit nicht eindeutig.
• Die Dreiecksungleichung an der falschen Seite geprüft. Ursache: Es wird irgendeine Kombination getestet, etwa \( 3 + 9 > 5 \) – das stimmt zwar, sagt aber nichts. Vermeidung: Entscheidend ist allein die längste Seite: Sind die beiden kürzeren zusammen länger als sie? Sortiere die drei Werte, dann kann nichts schiefgehen. Und bei Gleichheit entsteht kein Dreieck, sondern eine Strecke.
• Konstruktion ohne Planfigur begonnen. Ursache: Man will Zeit sparen und fängt gleich exakt an. Vermeidung: Die Planfigur ist eine Freihandskizze mit allen gegebenen Stücken – sie zeigt dir die Reihenfolge und verhindert, dass du auf der falschen Seite anträgst. In der Prüfung ist sie ein eigener Punkt.
• Konstruktionsbeschreibung zu ungenau. Ursache: Es steht „Winkel antragen“ ohne Angabe, in welchem Punkt, an welcher Strecke und auf welcher Seite. Vermeidung: Jeder Schritt nennt Werkzeug, Ausgangspunkt und Maß: „In \( A \) mit dem Geodreieck \( \alpha = 50^\circ \) an \( \overline{AB} \) antragen.“ Test: Könnte ein Mitschüler nach deiner Beschreibung dasselbe Dreieck zeichnen?
• Kongruenz mit Ähnlichkeit verwechselt. Ursache: Drei gleiche Winkel (WWW) sehen nach einem Kongruenzsatz aus. Vermeidung: Bei drei gleichen Winkeln sind die Dreiecke nur ähnlich – gleiche Form, beliebige Größe. Für Kongruenz muss immer mindestens eine Seitenlänge gegeben sein.
• Die Ecken in der Kongruenzschreibweise falsch zugeordnet. Ursache: Es wird \( \triangle ABS \cong \triangle DCS \) geschrieben, obwohl \( A \) zu \( C \) gehört. Vermeidung: In \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) entsprechen sich \( A \leftrightarrow D \), \( B \leftrightarrow E \), \( C \leftrightarrow F \) – in genau dieser Reihenfolge. Schreibe die Paare untereinander, bevor du die Folgerung ziehst, sonst folgerst du die Gleichheit falscher Seiten.
• Ein Zahlenbeispiel als Beweis abgegeben. Mathematik I Ursache: Die Aussage wird an einer konkreten Figur nachgemessen und für bewiesen erklärt. Vermeidung: Ein Beispiel bestätigt nur diesen einen Fall. Ein Beweis nennt Voraussetzung, Behauptung, drei übereinstimmende Stücke mit Begründung, den Kongruenzsatz und den Schluss – und gilt dann für alle Figuren dieser Art.
• Das dritte übereinstimmende Stück nicht gefunden. Mathematik I Ursache: Es wird nur nach ausdrücklich gegebenen Maßen gesucht. Vermeidung: Die drei häufigsten stillen Quellen sind: die gemeinsame Seite zweier Teildreiecke, Wechsel- und Stufenwinkel an Parallelen und die Gleichheit der Teilstrecken an einem Mittelpunkt. Gehe diese drei Punkte in jeder Beweisfigur der Reihe nach durch.

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