Dezimalzahlen sicher rechnen – das Komma an der richtigen Stelle

Darum geht es in diesem Lernbereich

1. Rationale Zahlen kennenlernen
2. Bruch- und Dezimalschreibweise
3. Dezimalzahlen ordnen
4. Addition rationaler Zahlen
5. Subtraktion rationaler Zahlen
6. Multiplikation rationaler Zahlen
7. Division rationaler Zahlen
8. Rechnen im Kopf
9. Überschlagsrechnung
10. Sachaufgaben mit rationalen Zahlen

Merke: Dezimalzahlen ordnen

Vergleiche Stelle für Stelle von links – nicht nach der Anzahl der Ziffern. Wenn es hilft, füllst Du hinten mit Nullen auf; das ändert den Wert nicht: \( 0{,}7 = 0{,}700 \).

\( 0{,}07 < 0{,}7 < 0{,}707 < 0{,}77 \)

Vorsicht: 0,707 ist nicht größer als 0,77, obwohl es mehr Ziffern hat. Entscheidend ist die zweite Stelle nach dem Komma: 0 gegen 7.

Merke: Komma unter Komma

Beim schriftlichen Rechnen schreibst Du die Zahlen so untereinander, dass die Kommas genau untereinander stehen. Dann steht automatisch Zehntel unter Zehntel. Fehlende Stellen füllst Du mit Nullen auf.

Beispiel

a) \( 12{,}4 + 3{,}75 \) – die 12,4 wird als 12,40 geschrieben:

\( 12{,}40 + 3{,}75 = 16{,}15 \)

b) \( 20 – 7{,}85 \) – die 20 wird als 20,00 geschrieben:

\( 20{,}00 – 7{,}85 = 12{,}15 \)

Probe: \( 12{,}15 + 7{,}85 = 20{,}00 \) – stimmt.

Merke: Nachkommastellen zählen

1. Rechne zuerst ohne Komma, als wären es ganze Zahlen.
2. Zähle, wie viele Nachkommastellen die beiden Faktoren zusammen haben.
3. Setz im Ergebnis genau so viele Nachkommastellen.

\( 2{,}5 \cdot 1{,}2 \):   \( 25 \cdot 12 = 300 \), zusammen 2 Nachkommastellen → \( 3{,}00 = 3 \)

Beispiel und Kopfrechen-Tricks

\( 0{,}25 \cdot 8 = 2 \)    denn \( 0{,}25 \) ist ein Viertel, und \( 8 : 4 = 2 \)

Merke: Mal 10, 100, 1000 verschiebt das Komma um 1, 2, 3 Stellen nach rechts (die Zahl wird größer). Geteilt durch 10, 100, 1000 verschiebt es nach links.

\( 47{,}5 : 100 = 0{,}475 \)

Merke: Kommas im Divisor beseitigen

Steht hinter dem Geteiltzeichen eine Dezimalzahl, verschiebst Du bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Der Wert der Rechnung ändert sich dabei nicht.

\( 7{,}2 : 0{,}8 = 72 : 8 = 9 \)

\( 4{,}5 : 0{,}5 = 45 : 5 = 9 \)

Das überrascht viele

Beim Teilen durch eine Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis größer. \( 7{,}2 : 0{,}8 = 9 \) – und 9 ist größer als 7,2. Das ist kein Fehler: Die Frage lautet „Wie oft passt 0,8 in 7,2?“, und kleine Portionen passen eben oft hinein.

Merke

Runde vor dem Rechnen grob und schau, in welcher Größenordnung das Ergebnis liegen muss. Der Überschlag findet zwar keine kleinen Rechenfehler, aber er entlarvt jeden Kommafehler – und der kostet am meisten.

Beispiel: Überschlag vor der Rechnung

Berechne \( 4{,}87 \cdot 19{,}6 \).

Überschlag: \( 5 \cdot 20 = 100 \)

genaues Ergebnis: \( 4{,}87 \cdot 19{,}6 = 95{,}452 \)

Das passt zur Größenordnung. Käme 9,5452 oder 954,52 heraus, wüsstest Du sofort: Das Komma sitzt falsch.

Beispiel 1: Pakete wiegen

Drei gleiche Pakete wiegen je \( 2{,}45\ \text{kg} \). Wie schwer sind sie zusammen?

\( 3 \cdot 2{,}45\ \text{kg} = 7{,}35\ \text{kg} \)

Antwort: Die drei Pakete wiegen zusammen \( 7{,}35\ \text{kg} \). Überschlag: \( 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5 \) – passt.

Beispiel 2: Preis pro Stück

Eine Packung mit 6 Fläschchen kostet \( 5{,}94\ \text{€} \). Was kostet ein Fläschchen?

\( 5{,}94\ \text{€} : 6 = 0{,}99\ \text{€} \)

Antwort: Ein Fläschchen kostet \( 0{,}99\ \text{€} \).

Probe: \( 6 \cdot 0{,}99\ \text{€} = 5{,}94\ \text{€} \) – stimmt.

Beispiel 3: Benzin tanken

Ein Liter Benzin kostet \( 1{,}75\ \text{€} \). Du tankst für \( 35\ \text{€} \). Wie viele Liter bekommst Du?

\( 35 : 1{,}75 = 3500 : 175 = 20 \)

Antwort: Du bekommst 20 Liter. Hier wurde das Komma bei beiden Zahlen um zwei Stellen verschoben.

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