Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 1: Bruchzahlen · LehrplanPLUS
Brüche verstehen: erweitern, kürzen und zusammenrechnen
Eine halbe Pizza, ein Viertel Liter Sahne, drei Viertel der Klasse: Brüche benutzt Du längst, ohne darüber nachzudenken. Jetzt lernst Du, wie man mit ihnen rechnet. Das ist der wichtigste neue Zahlenbereich der 6. Klasse – und die Grundlage für Prozentrechnung, Zinsen und fast alles, was danach kommt.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
1. Was ein Bruch bedeutet
Ein Bruch beschreibt, wie viele Teile eines Ganzen Du hast. Dazu musst Du zwei Dinge wissen: in wie viele Teile das Ganze zerlegt wurde und wie viele davon gemeint sind.
Merke
Der Nenner steht unten und benennt, in wie viele Teile geteilt wurde. Der Zähler steht oben und zählt, wie viele Teile gemeint sind.
Wichtig: Die Teile müssen alle gleich groß sein. Eine schief geschnittene Pizza ergibt keine Viertel.
Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch kleiner als 1. Sind sie gleich, ist der Bruch genau 1: \( \frac{4}{4} = 1 \).
2. Brüche auf dem Zahlenstrahl
3. Erweitern und kürzen
Merke
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Der Bruch sieht anders aus, ist aber gleich groß.
\( \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12} \)
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
\( \dfrac{18}{24} = \dfrac{18 : 6}{24 : 6} = \dfrac{3}{4} \)
Merksatz: Erweitern und Kürzen ändern den Wert nicht – nur das Aussehen. Aus einer halben Pizza werden durch feineres Schneiden nicht mehr Pizza.
4. Brüche vergleichen
Merke: drei Fälle
- Gleicher Nenner: Der größere Zähler gewinnt. \( \frac{5}{8} > \frac{3}{8} \)
- Gleicher Zähler: Der kleinere Nenner gewinnt. \( \frac{3}{4} > \frac{3}{7} \) – bei weniger Teilen ist jedes Teil größer.
- Beides verschieden: Erst gleichnamig machen, dann vergleichen.
Beispiel: Was ist größer, \( \frac{3}{5} \) oder \( \frac{2}{3} \)?
Der gemeinsame Nenner ist 15. Beide Brüche darauf erweitern:
\( \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15} \qquad \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15} \)
Also ist \( \frac{2}{3} \) größer, denn \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \).
5. Addieren und subtrahieren
Merke: der wichtigste Satz dieses Kapitels
Brüche kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben. Dann rechnest Du nur mit den Zählern, der Nenner bleibt stehen.
\( \dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7} \)
Vorgehen bei verschiedenen Nennern: gemeinsamen Nenner suchen → beide Brüche erweitern → Zähler rechnen → Ergebnis kürzen, wenn es geht.
Beispiel: addieren mit verschiedenen Nennern
Berechne \( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} \).
Gemeinsamer Nenner: \( 4 \cdot 5 = 20 \).
\( \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20} \qquad \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20} \)
\( \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} \)
Das Ergebnis \( \frac{13}{20} \) lässt sich nicht mehr kürzen.
Beispiel: subtrahieren und kürzen
Berechne \( \dfrac{5}{6} – \dfrac{1}{2} \).
Hier reicht der Nenner 6, denn \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \):
\( \dfrac{5}{6} – \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
Immer prüfen, ob sich das Ergebnis kürzen lässt – \( \frac{2}{6} \) ist nicht falsch, aber \( \frac{1}{3} \) ist die saubere Form.
6. Bruchteile von Größen
Merke: in zwei Schritten
- Durch den Nenner teilen – das ergibt ein Teil.
- Mit dem Zähler multiplizieren – das ergibt so viele Teile, wie gefragt sind.
Beispiel: Bruchteile im Alltag
a) Wie viel sind \( \frac{3}{4} \) von \( 2\ \text{kg} \)?
\( 2000\ \text{g} : 4 = 500\ \text{g} \)
\( 500\ \text{g} \cdot 3 = 1500\ \text{g} = 1{,}5\ \text{kg} \)
b) Ein Pullover kostet 45 €. Im Schlussverkauf zahlst Du \( \frac{2}{5} \) weniger. Wie viel sparst Du?
\( 45\ \text{€} : 5 = 9\ \text{€} \)
\( 9\ \text{€} \cdot 2 = 18\ \text{€} \)
Du sparst 18 € und zahlst noch \( 45\ \text{€} – 18\ \text{€} = 27\ \text{€} \).
7. Bruch und Dezimalzahl
Merke: der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“
\( \dfrac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75 \)
Umgekehrt liest Du die Dezimalzahl als Bruch mit 10, 100 oder 1000 im Nenner und kürzt:
\( 0{,}6 = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \qquad 0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} \)
Diese sechs solltest Du auswendig können:
| \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) | \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \) | \( \frac{3}{4} = 0{,}75 \) |
| \( \frac{1}{5} = 0{,}2 \) | \( \frac{1}{10} = 0{,}1 \) | \( \frac{1}{100} = 0{,}01 \) |
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 6, Lernbereich 1 „Bruchzahlen“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.