Mehrstufige Zufallsversuche, Pfadregeln und Permutationen

Darum geht es in diesem Lernbereich

1. Das mehrstufige Zufallsexperiment
2. Ziehen mit Zurücklegen
3. Ziehen ohne Zurücklegen
4. Ein Baumdiagramm erstellen
5. Wahrscheinlichkeiten an den Baumkanten
6. Die 1. Pfadregel – Multiplikationsregel
7. Die 2. Pfadregel – Additionsregel
8. Die Ereigniswahrscheinlichkeit
9. Kombinatorische Zählaufgaben
10. Permutationen
11. Statistische Aussagen interpretieren
12. Fehldeutungen von Statistiken erkennen

Merke: die beiden Regeln

• 1. Pfadregel (Multiplikation): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
• 2. Pfadregel (Addition): Gehören mehrere Pfade zum gesuchten Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

Kurz: Entlang mal, zwischen plus.

Zwei Kontrollen: Die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten abgehen, ergeben zusammen 1. Und alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben ebenfalls 1.

Merke: mit oder ohne Zurücklegen?

Achte auf die Signalwörter in der Aufgabe: „zurücklegen“, „erneut“, „wieder hinein“ gegenüber „nacheinander“, „gleichzeitig“, „behalten“. Gleichzeitig ziehen ist immer ohne Zurücklegen.

Beispiel: Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln

a) Zweimal ziehen mit Zurücklegen – beide rot:

\( P(rr) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25} = 0{,}36 \)

b) Zweimal ziehen ohne Zurücklegen – beide rot:

\( P(rr) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = 0{,}3 \)

Weniger als vorher – nach der ersten roten Kugel sind nur noch zwei von vier rot.

c) Genau eine rote (ohne Zurücklegen) – zwei Pfade gehören dazu:

d) Mindestens eine rote – hier lohnt das Gegenereignis:

Kontrolle: \( \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{20}{20} = 1 \) – das Baumdiagramm ist vollständig.

Merke: zwei Zählprinzipien

• Zählprinzip: Werden mehrere unabhängige Entscheidungen getroffen, multiplizierst Du die Anzahlen.
• Permutation: Werden \( n \) verschiedene Dinge in eine Reihenfolge gebracht, gibt es \( n! \) Möglichkeiten.

Gesprochen: „n Fakultät“. Auf dem Taschenrechner gibt es dafür eine eigene Taste.

Beispiel: drei Zählaufgaben

a) Zählprinzip. Ein Verein wählt aus 4 Trikots und 3 Hosen die Spielkleidung. Wie viele Kombinationen gibt es?

\( 4 \cdot 3 = 12 \)

b) Permutation. Auf wie viele Arten können sich 5 Personen für ein Foto nebeneinanderstellen?

Begründung: Für den ersten Platz gibt es 5 Kandidaten, dann nur noch 4, dann 3 und so weiter.

c) Zahlenschloss. Ein Schloss hat 3 Ringe mit je 10 Ziffern. Wie viele Einstellungen gibt es?

\( 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \)

Beachte den Unterschied: Beim Schloss dürfen sich Ziffern wiederholen – deshalb bleibt es bei 10 pro Ring. Beim Foto ist jede Person nur einmal da, deshalb wird die Zahl kleiner.

Merke: fünf Fragen an jede Statistik

1. Wie viele wurden befragt? Bei 30 Befragten ist kein Prozentwert belastbar.
2. Wer wurde befragt? Eine Umfrage vor dem Fitnessstudio ergibt ein anderes Bild als eine vor der Bäckerei.
3. Wer hat die Studie bezahlt? Auftraggeber haben Interessen.
4. Wie war die Frage formuliert? „Finden Sie nicht auch, dass…“ liefert andere Antworten als eine neutrale Frage.
5. Prozent oder Prozentpunkte? Von 2 % auf 3 % sind ein Prozentpunkt – aber eine Steigerung um 50 %.

Beispiel: Wo die Aussage kippt

Schlagzeile: „Neues Mittel verdoppelt die Heilungschance!“

Dahinter steckt: Die Chance stieg von 1 % auf 2 %. Das ist rechnerisch eine Verdopplung – aber 98 von 100 Behandelten profitieren weiterhin nicht. Beide Darstellungen sind korrekt; die eine klingt nur dramatischer.

Zweites Beispiel: „Die Hälfte aller Schüler ist unterdurchschnittlich.“ Das klingt nach einem Missstand, ist aber bei vielen Verteilungen schlicht eine Selbstverständlichkeit – der Durchschnitt liegt eben in der Mitte.

Und ein drittes: „Wer Frühstück isst, hat bessere Noten.“ Ein Zusammenhang ist keine Ursache. Möglicherweise wirkt etwas ganz anderes – etwa ein geregelter Tagesablauf.

Die Formeln dieser Seite auf einen Blick

Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.

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