Mathematik Realschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich 5 „Daten und Zufall“ (LehrplanPLUS) · BY

Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln

In Klasse 8 hast du gelernt, ein einstufiges Zufallsexperiment als Baumdiagramm darzustellen. Jetzt kommt der nächste Schritt: Viele Zufallsexperimente bestehen aus mehreren Stufen, die nacheinander ablaufen – zwei Ziehungen aus einem Materiallos, drei Prüfschritte in der Qualitätskontrolle. Auf dieser Seite lernst du, wie du solche Experimente als mehrstufiges Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten aufstellst, und wie du mit den beiden Pfadregeln jede beliebige Wahrscheinlichkeit daraus berechnest.

Inhalt dieser Seite

1. Mehrstufige Baumdiagramme – mit und ohne Zurücklegen
2. Die 1. Pfadregel: Multiplikation längs eines Pfades
3. Die 2. Pfadregel: Addition mehrerer Pfade
4. Zusammengesetzte Ereignisse: mindestens einmal, genau einmal
5. Die Vierfeldertafel als Alternative
6. Das Wichtigste in Kürze

1. Mehrstufige Baumdiagramme – mit und ohne Zurücklegen

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment läuft in mehreren Schritten (Stufen) hintereinander ab. Genau wie beim einstufigen Baumdiagramm aus Klasse 8 trägst du an jeden Ast die Wahrscheinlichkeit ein, mit der dieser Ast „genommen“ wird – nur kommt jetzt nach der ersten Verzweigung an jedem Ast eine zweite Verzweigung dazu (bei drei Stufen sogar eine dritte). Ein Pfad vom Start bis zu einem Blatt am rechten Rand beschreibt ein mögliches Gesamtergebnis des Experiments.

Entscheidend ist dabei, ob zurückgelegt wird. Im Holzwerk Brandl liegt ein Materiallos mit 10 Holzmustern bereit: 4 Muster aus Eiche, 6 aus Buche. Für eine Sichtprüfung werden zwei Muster nacheinander gezogen.

• Mit Zurücklegen: Das erste Muster wird nach dem Ansehen zurückgelegt. Bei der zweiten Ziehung liegen wieder alle 10 Muster bereit – die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe sind an jedem Ast dieselben wie in der ersten Stufe.
• Ohne Zurücklegen: Das erste Muster bleibt draußen. Bei der zweiten Ziehung liegen nur noch 9 Muster bereit, und je nachdem, was zuerst gezogen wurde, ändert sich auch die Anzahl der verbliebenen Eichen- bzw. Buchenmuster. Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe hängen also vom Ergebnis der ersten Stufe ab.

Rechts ändern sich die Astbeschriftungen der zweiten Stufe je nachdem, welcher Ast in der ersten Stufe genommen wurde – das ist das Kennzeichen des Ziehens ohne Zurücklegen.

So stellst du das Baumdiagramm auf: (1) Für jede Stufe alle möglichen Ergebnisse als Äste zeichnen. (2) An jeden Ast die Wahrscheinlichkeit schreiben, mit der er – ausgehend vom vorherigen Knoten – eintritt. (3) Bei „ohne Zurücklegen“ prüfen, ob sich Zähler und Nenner der zweiten Stufe wegen der ersten Ziehung verändert haben. (4) Am Ende jeder Stufe die Summe aller Wahrscheinlichkeiten dieser Stufe bilden – sie muss 1 ergeben.

2. Die 1. Pfadregel: Multiplikation längs eines Pfades

Wie wahrscheinlich ist ein bestimmter Pfad, also ein ganz bestimmtes Gesamtergebnis? Dafür gilt die 1. Pfadregel: Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die auf diesem einen Pfad liegen.

Beispiel – beide gezogenen Muster sind Eiche (ohne Zurücklegen)

Wie wahrscheinlich ist es, dass Merve aus dem Materiallos zwei Muster ohne Zurücklegen zieht und beide aus Eiche sind? Das ist genau der Pfad E–E aus dem Baumdiagramm von Kapitel 1.

Der grün nachgezeichnete Pfad zeigt, welche zwei Äste multipliziert werden.

Probe: \( \frac{2}{15} \approx 13{,}3\ \% \) – das passt zur Erwartung: Beide Muster Eiche zu ziehen ist seltener als eines von jeder Sorte, weil es von den 10 Mustern nur 4 Eichenmuster gibt.

3. Die 2. Pfadregel: Addition mehrerer Pfade

Viele Ereignisse lassen sich nicht durch einen einzigen Pfad beschreiben, sondern durch mehrere. Dann gilt die 2. Pfadregel: Du addierst die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.

Beispiel – genau ein Eichenmuster unter den zwei gezogenen

Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den zwei ohne Zurücklegen gezogenen Mustern genau ein Eichenmuster ist – egal, in welcher Reihenfolge? Dieses Ereignis passt zu zwei Pfaden: E–B und B–E.

Beide grün markierten Pfade führen zum selben Ereignis „genau ein Eichenmuster“ – ihre Endpunkte sind hervorgehoben.

Kontrolle über alle vier Pfade: \( P(EE) + P(EB) + P(BE) + P(BB) = \dfrac{12}{90} + \dfrac{24}{90} + \dfrac{24}{90} + \dfrac{30}{90} = \dfrac{90}{90} = 1 \)  ✓. Damit passt auch \( P(\text{genau 1 Eiche}) = \frac{48}{90} \), denn sie besteht aus genau zwei dieser vier Pfade.

4. Zusammengesetzte Ereignisse: mindestens einmal, genau einmal

Bei drei oder mehr Stufen wachsen die Formulierungen „mindestens einmal“ und „genau einmal“ zu den typischen Prüfungsaufgaben. Im Holzwerk Brandl werden drei Werkstücke unabhängig voneinander einer Qualitätsprüfung unterzogen; jedes Werkstück ist mit der Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{3} \) Ausschuss (A) und mit \( \frac{2}{3} \) in Ordnung (I), unabhängig von den anderen beiden Werkstücken.

Alle acht Pfade zusammen ergeben den vollständigen Ergebnisraum; nur der unterste Pfad III enthält keinen Ausschuss.

Genau einmal Ausschuss – das sind die drei grün markierten Pfade AII, IAI und IIA (2. Pfadregel):

Mindestens einmal Ausschuss – hierfür bräuchtest du eigentlich sieben Pfade (alle außer III). Schneller geht es über das Gegenereignis „kein einziges Mal Ausschuss“, also den einen Pfad III:

Probe über die 2. Pfadregel (alle sieben übrigen Pfade addiert): \( \frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + \frac{2}{27} = \frac{19}{27} \)  ✓ – dasselbe Ergebnis, nur mit deutlich mehr Rechenaufwand. Kontrolle über alle acht Pfade: \( \frac{1+2+2+4+4+4+2+8}{27} = \frac{27}{27} = 1 \)  ✓.

5. Die Vierfeldertafel als Alternative

Hängt ein zweistufiges Zufallsexperiment von zwei Merkmalen ab, die jeweils nur zwei Ausprägungen haben, kannst du statt des Baumdiagramms auch eine Vierfeldertafel verwenden. Sie enthält dieselben vier Pfadwahrscheinlichkeiten, nur in einer Tabelle statt in einem Baum – und zusätzlich die Zeilen- und Spaltensummen auf einen Blick.

Im Holzwerk Brandl sind 60 % aller Werkstücke aus Eiche, 40 % aus Buche. Von den Eichenwerkstücken sind 10 % Ausschuss, von den Buchenwerkstücken nur 5 %.

Jedes Feld der Tafel entspricht genau einem Pfad im Baumdiagramm – nur die Reihenfolge der Merkmale ist vertauschbar.

Kontrolle: Jede der vier Innenzellen entspricht der 1. Pfadregel im Baumdiagramm, zum Beispiel \( 0{,}6 \cdot 0{,}1 = 0{,}06 \) für „Eiche und Ausschuss“. Die Randsummen entsprechen der 2. Pfadregel, zum Beispiel \( 0{,}06 + 0{,}02 = 0{,}08 \) für „Ausschuss, egal welche Holzart“. Alle vier Innenzellen zusammen ergeben \( 0{,}54 + 0{,}06 + 0{,}38 + 0{,}02 = 1{,}00 \)  ✓, ebenso die Zeilensumme \( 0{,}60 + 0{,}40 = 1{,}00 \) und die Spaltensumme \( 0{,}92 + 0{,}08 = 1{,}00 \).

6. Das Wichtigste in Kürze

7. So fragt die Abschlussprüfung

Mehrstufige Zufallsexperimente sind ein Dauerthema der Abschlussprüfung. Erkennbar sind sie an drei Signalwörtern: „ohne Zurücklegen“ (Nenner werden kleiner), „mindestens“ (Weg über das Gegenereignis) und „genau einmal“ (mehrere Pfade addieren). Drei typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk-Kontext:

Aufgabe 1 – Stichprobe ohne Zurücklegen. In einer Musterkiste des Holzwerks Brandl liegen 6 Tischplatten, davon 2 mit einem Kratzer. Merve zieht für die Qualitätskontrolle zwei Platten ohne Zurücklegen. Berechne a) \( P(\text{beide einwandfrei}) \) und b) \( P(\text{mindestens eine mit Kratzer}) \).

Gegenprobe über alle vier Pfade: \( P(\text{genau eine mit Kratzer}) = \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{30} + \dfrac{8}{30} = \dfrac{16}{30} = \dfrac{8}{15} \) und \( P(\text{beide mit Kratzer}) = \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15} \). Zusammen: \( \dfrac{2}{5} + \dfrac{8}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{8}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{15}{15} = 1 \) ✓. Und Teil b) direkt: \( \dfrac{8}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} \) ✓ – derselbe Wert auf einem unabhängigen Weg. Antwort: Mit 40 % Wahrscheinlichkeit sind beide Platten einwandfrei, mit 60 % ist mindestens eine zerkratzt.

Aufgabe 2 – mit Zurücklegen und „mindestens einmal“. Beim Losverfahren zum Firmenjubiläum gewinnt jedes fünfte Los, also \( p = 0{,}2 \). Die Lose werden nach dem Ziehen notiert und zurückgelegt. Jonas zieht dreimal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er mindestens einmal?

Gegenprobe: \( 0{,}512 + 0{,}488 = 1 \) ✓. Zweite, unabhängige Kontrolle über die Größenordnung: Bei einem Zug wären es 20 %, bei drei Zügen muss der Wert deutlich größer sein – aber sicher unter \( 3 \cdot 20\ \% = 60\ \% \), weil sich die Gewinnfälle teilweise überschneiden. 48,8 % liegt genau in diesem Bereich ✓. Antwort: Jonas gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 48,8 % mindestens einmal – also nicht einmal in jedem zweiten Fall. Wichtig: \( 3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 \) wäre falsch; Wahrscheinlichkeiten darf man nicht einfach vervielfachen.

Aufgabe 3 – Vierfeldertafel aus Prozentangaben. Von allen Aufträgen des Holzwerks Brandl betreffen 60 % Massivholztische und 40 % Regalsysteme. 30 % der Tischaufträge und 15 % der Regalaufträge sind Sonderanfertigungen. Herr Sailer lässt Tobias mit 200 Aufträgen rechnen. a) Wie viel Prozent aller Aufträge sind Sonderanfertigungen? b) Wie viel Prozent der Sonderanfertigungen sind Tische?

Gegenprobe: Die Tafel muss in jeder Richtung aufgehen: \( 36 + 84 = 120 \) ✓, \( 12 + 68 = 80 \) ✓, \( 120 + 80 = 200 \) ✓, \( 48 + 152 = 200 \) ✓. Teil a) noch einmal ohne Stückzahlen, direkt über die 2. Pfadregel: \( 0{,}60 \cdot 0{,}30 + 0{,}40 \cdot 0{,}15 = 0{,}18 + 0{,}06 = 0{,}24 \) ✓. Antwort: 24 % aller Aufträge sind Sonderanfertigungen; 75 % der Sonderanfertigungen sind Massivholztische. Achte auf die Bezugsmenge: In a) wird durch alle 200 Aufträge geteilt, in b) nur durch die 48 Sonderanfertigungen. Dieselbe Zahl 36 liefert dadurch zwei völlig verschiedene Prozentwerte – genau darauf zielt die Aufgabe.

8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Ohne Zurücklegen gerechnet wie mit Zurücklegen. Ursache: Der Nenner der zweiten Stufe wird unverändert übernommen, es entsteht \( \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \). Vermeidung: Beim Ziehen ohne Zurücklegen sinkt der Nenner um 1 – und der Zähler nur dann, wenn im ersten Zug genau diese Sorte gezogen wurde. Schreibe an jeden Knoten dazu, wie viele Stücke jetzt noch in der Kiste liegen.
• „Mindestens einmal“ als Vervielfachung gerechnet. Ursache: Aus \( p = 0{,}2 \) bei drei Zügen wird \( 3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 \). Vermeidung: Rechne immer über das Gegenereignis: \( P(\text{mind. einmal}) = 1 – P(\text{gar nicht}) \). Kontrolle: Das Ergebnis muss unter 1 bleiben – bei fünf Zügen ergäbe die Vervielfachung schon \( 1{,}0 \), also sicher Unsinn.
• Bei „genau einmal“ nur einen Pfad gezählt. Ursache: Die Reihenfolge wird übersehen – „erst Kratzer, dann einwandfrei“ und „erst einwandfrei, dann Kratzer“ sind zwei verschiedene Pfade. Vermeidung: Markiere im Baumdiagramm alle Pfade, die zum Ereignis gehören, und addiere sie (2. Pfadregel). Bei zwei Stufen sind es zwei Pfade, bei drei Stufen drei.
• Die beiden Pfadregeln verwechselt. Ursache: Multiplizieren und Addieren werden nach Gefühl gewählt. Vermeidung: Merke dir die Richtung: längs eines Pfades (von links nach rechts) wird multipliziert, zwischen mehreren Pfaden (von oben nach unten) wird addiert. Ein Ergebnis, das größer als jede beteiligte Astwahrscheinlichkeit ist, kann kein Produkt sein.
• Astsumme an einem Knoten nicht kontrolliert. Ursache: Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe werden aus der ersten übernommen, ohne sie neu zu berechnen. Vermeidung: Die von einem Knoten abgehenden Wahrscheinlichkeiten müssen sich stets zu 1 addieren – etwa \( \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1 \). Diese Probe kostet Sekunden und deckt fast jeden Baumfehler auf.
• In der Vierfeldertafel Randsumme statt Innenzelle genommen. Ursache: Die Formulierung „Tisch und Sonderanfertigung“ wird als „alle Tische“ gelesen. Vermeidung: „und“ bedeutet immer eine Innenzelle (beide Merkmale zugleich), „insgesamt“ bedeutet eine Randsumme. Fülle die Tafel vollständig aus und prüfe, dass alle vier Summen stimmen, bevor du ablesen gehst.
• Bei bedingten Fragen durch die falsche Bezugsmenge geteilt. Ursache: Bei „Wie viel Prozent der Sonderanfertigungen sind Tische?“ wird durch die Gesamtzahl geteilt statt durch die Sonderanfertigungen. Vermeidung: Suche im Fragesatz das Wort nach „der“ bzw. „von den“ – diese Gruppe ist der Nenner. Schreibe den Nenner ausdrücklich hin: „bezogen auf die 48 Sonderanfertigungen“.
• Zwischenergebnisse zu früh gerundet. Ursache: \( \frac{2}{5} \) wird als 0,4 weitergerechnet, \( \frac{8}{15} \) als 0,53 – und am Ende ergibt die Summenprobe nicht 1. Vermeidung: Rechne so lange wie möglich mit Brüchen und runde erst im Antwortsatz. Nur so funktioniert die Kontrolle, dass sich alle Pfadwahrscheinlichkeiten zu genau 1 addieren.

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