Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 10 · M-Zug · Lernbereich 5: Flächeninhalt und Rauminhalt – Kugeln · LehrplanPLUS
Die Kugel: Oberfläche, Volumen und zusammengesetzte Körper
Die Kugel ist der letzte Körper, der in der Mittelschule dazukommt – und der einzige, der nur eine Maßzahl braucht: den Radius. Zwei Formeln genügen. Schwierig wird es erst, wenn die Kugel mit Zylinder oder Kegel zusammengesetzt wird, und genau so kommt sie in der Abschlussprüfung vor.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
1. Die beiden Formeln
Merke
\( O = 4 \pi r^2 \qquad V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \)
Beide Formeln unterscheidet nur die Potenz von \( r \). Bei der Oberfläche steht \( r^2 \), weil eine Fläche herauskommt; beim Volumen \( r^3 \). Die Einheit sagt Dir, ob Du richtig liegst.
Fast immer ist zuerst der Radius fällig: Steht in der Aufgabe der Durchmesser, halbierst Du ihn, bevor Du irgendetwas anderes tust. In der Mittelschule rechnest Du mit \( \pi \approx 3{,}14 \).
Beispiel: Kugel mit \( r = 6\ \text{cm} \)
\( O = 4 \cdot 3{,}14 \cdot 6^2\ \text{cm}^2 = 4 \cdot 3{,}14 \cdot 36\ \text{cm}^2 = 452{,}16\ \text{cm}^2 \)
\( V = \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 6^3\ \text{cm}^3 = \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 216\ \text{cm}^3 = 904{,}32\ \text{cm}^3 \)
Rechenreihenfolge: zuerst die Potenz, dann die Multiplikationen. Wer \( 4 \cdot 3{,}14 \cdot 6 \) rechnet und danach quadriert, bekommt etwas ganz anderes.
2. Umkehraufgaben
Merke: die Formeln nach \( r \) umgestellt
\( r = \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}} \qquad r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} \)
Beim Volumen brauchst Du die dritte Wurzel aus Lernbereich 1 – auf dem Taschenrechner meist als Zweitbelegung oder über die Potenz \( ^{1/3} \).
Beispiel: vom Ergebnis zurück zum Radius
a) Eine Kugel hat die Oberfläche \( O = 452{,}16\ \text{cm}^2 \).
\( r^2 = \dfrac{452{,}16}{4 \cdot 3{,}14}\ \text{cm}^2 = \dfrac{452{,}16}{12{,}56}\ \text{cm}^2 = 36\ \text{cm}^2 \)
\( r = 6\ \text{cm} \)
b) Eine Kugel hat das Volumen \( V = 904{,}32\ \text{cm}^3 \).
\( r^3 = \dfrac{3 \cdot 904{,}32}{4 \cdot 3{,}14}\ \text{cm}^3 = \dfrac{2712{,}96}{12{,}56}\ \text{cm}^3 = 216\ \text{cm}^3 \)
\( r = \sqrt[3]{216}\ \text{cm} = 6\ \text{cm} \)
Einheitenkontrolle: cm³ wird zu cm, cm² wird zu cm. Bleibt am Ende eine Quadrat- oder Kubikeinheit stehen, fehlt die Wurzel.
3. Zusammengesetzte Körper
Merke: Volumen addieren, Oberfläche nicht
- Volumen: Teilkörper einzeln berechnen und addieren. Bei einer Aussparung abziehen.
- Oberfläche: Nur die Flächen zählen, die man von außen anstreichen könnte. Wo zwei Körper zusammenstoßen, fällt die Deckfläche weg.
Halber Körper, halbe Formel: Eine Halbkugel hat das Volumen \( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \). Ihre gewölbte Fläche ist \( \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2 \) – die Schnittfläche ist ein Kreis und kommt nur dazu, wenn sie sichtbar bleibt.
Beispiel: Behälter mit Kuppel
Ein Zylinder (\( r = 5\ \text{cm} \), \( h = 12\ \text{cm} \)) trägt eine aufgesetzte Halbkugel mit demselben Radius. Wie groß ist das Fassungsvermögen?
\( V_{\text{Zylinder}} = 25\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 12\ \text{cm} = 942\ \text{cm}^3 \)
\( V_{\text{Halbkugel}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 125\ \text{cm}^3 \approx 261{,}67\ \text{cm}^3 \)
\( V_{\text{gesamt}} \approx 1203{,}67\ \text{cm}^3 \approx 1{,}2\ \text{l} \)
Antwort: Der Behälter fasst rund 1,2 Liter.
Beispiel: Kugel im Würfel
In einen Würfel mit der Kantenlänge \( 10\ \text{cm} \) wird die größtmögliche Kugel gelegt. Wie viel Luft bleibt übrig?
Die Kugel berührt alle sechs Seiten, ihr Durchmesser ist also \( 10\ \text{cm} \), der Radius \( 5\ \text{cm} \):
\( V_{\text{Würfel}} = 1000\ \text{cm}^3 \)
\( V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 125\ \text{cm}^3 \approx 523{,}33\ \text{cm}^3 \)
\( V_{\text{Rest}} \approx 1000 – 523{,}33 = 476{,}67\ \text{cm}^3 \)
Antwort: Es bleiben rund \( 476{,}67\ \text{cm}^3 \) übrig – die Kugel füllt nur knapp 52 % des Würfels aus. Das ist unabhängig von der Größe: Bei jedem Würfel mit einbeschriebener Kugel kommt derselbe Anteil heraus.
Beispiel: aus dem Berufsalltag
Eine Stahlkugel hat den Durchmesser \( 4\ \text{cm} \). Stahl wiegt \( 7{,}85\ \text{g} \) je Kubikzentimeter. Wie schwer ist die Kugel?
\( r = 2\ \text{cm} \)
\( V = \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 8\ \text{cm}^3 \approx 33{,}49\ \text{cm}^3 \)
\( m \approx 33{,}49 \cdot 7{,}85\ \text{g} \approx 262{,}9\ \text{g} \)
Antwort: Die Kugel wiegt rund 263 Gramm. Solche Aufgaben mit anschließender Massen- oder Kostenberechnung sind der Standardtyp in Teil B.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( O = 4 \pi r^2 \)
\( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \)
\( r = \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}} \)
\( r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 10, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 5 „Flächeninhalt und Rauminhalt – Kugeln“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.