Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 10 · M-Zug · Lernbereich 7: Funktionale Zusammenhänge · LehrplanPLUS
Geraden bestimmen und quadratische Gleichungen lösen
Zwei große Themen in einem Lernbereich: Zuerst bestimmst Du Geraden aus allem, was gegeben sein kann – zwei Punkte, Punkt und Steigung, parallel oder senkrecht zu einer anderen. Danach kommen die quadratischen Gleichungen mit gleich vier Lösungswegen. Beides zusammen ist der Kern der Abschlussprüfung.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Lineare Funktion aus zwei Punkten
- Lineare Funktion aus Punkt und Steigung
- Parallele Gerade durch einen Punkt
- Senkrechte Gerade durch einen Punkt
- Steigung \( m \) und \( y \)-Achsenabschnitt \( t \)
- Schnittpunkt linearer Funktionen
- Lineare Funktionen zeichnen
- Binomische Formeln wiederholen
- Quadratische Terme umformen
- Reinquadratische Gleichungen
- Gemischtquadratische Gleichungen
- Quadratische Ergänzung
- Faktorisieren
- Die quadratische Lösungsformel
- Verfahren vergleichen
- Quadratische Gleichungen in Sachaufgaben
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
1. Geraden aus jeder Vorgabe bestimmen
Merke: vier Fälle, ein Verfahren
Jede Gerade hat die Form \( y = mx + t \). Du brauchst immer beide Zahlen – \( m \) zuerst, \( t \) danach durch Einsetzen eines Punktes.
| gegeben | so bekommst Du \( m \) |
|---|---|
| zwei Punkte | \( m = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \) |
| Punkt und Steigung | \( m \) steht schon da |
| parallel zu einer Geraden | gleiches \( m \) wie diese |
| senkrecht zu einer Geraden | \( m‘ = -\dfrac{1}{m} \) |
Danach immer gleich: Punkt in \( y = mx + t \) einsetzen, nach \( t \) auflösen, Gleichung hinschreiben, mit einem anderen Punkt prüfen.
Beispiel: alle vier Fälle
a) Aus zwei Punkten \( P(1\,|\,3) \) und \( Q(4\,|\,9) \):
\( m = \dfrac{9 – 3}{4 – 1} = \dfrac{6}{3} = 2 \)
\( 3 = 2 \cdot 1 + t \ \)
\( \ t = 1 \qquad y = 2x + 1 \)
b) Aus Punkt und Steigung: \( m = -3 \), Punkt \( P(2\,|\,1) \):
\( 1 = -3 \cdot 2 + t \ \)
\( \ 1 = -6 + t \ \)
\( \ t = 7 \qquad y = -3x + 7 \)
c) Parallel zu \( y = 2x + 1 \) durch \( P(0\,|\,-2) \) – gleiches \( m = 2 \):
\( y = 2x – 2 \)
d) Senkrecht zu \( y = 2x + 1 \) durch \( P(2\,|\,5) \) – also \( m‘ = -\frac{1}{2} \):
\( 5 = -0{,}5 \cdot 2 + t \ \)
\( \ 5 = -1 + t \ \)
\( \ t = 6 \qquad y = -0{,}5x + 6 \)
Kontrolle bei senkrechten Geraden: Das Produkt der Steigungen muss \( -1 \) ergeben: \( 2 \cdot (-0{,}5) = -1 \). Stimmt.
Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden
Wo schneiden sich \( y = 2x + 1 \) und \( y = -x + 7 \)?
Im Schnittpunkt stimmen beide \( y \)-Werte überein – also gleichsetzen:
\( 2x + 1 = -x + 7 \quad |+x \)
\( 3x + 1 = 7 \quad |-1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)
\( y = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \)
\( S(2\,|\,5) \)
Probe in der zweiten Gleichung: \( -2 + 7 = 5 \) – stimmt. Der \( x \)-Wert allein ist keine vollständige Antwort; ein Schnittpunkt hat immer zwei Koordinaten.
2. Binomische Formeln und Faktorisieren
Merke: die drei Formeln in beide Richtungen
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
\( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)
Von links nach rechts heißt ausmultiplizieren, von rechts nach links faktorisieren. Beide Richtungen brauchst Du – die zweite besonders beim Lösen von Gleichungen.
Beispiel: beide Richtungen
| ausmultiplizieren | faktorisieren |
|---|---|
| \( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \) | \( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \) |
| \( (x-4)^2 = x^2 – 8x + 16 \) | \( x^2 – 8x + 16 = (x-4)^2 \) |
| \( (x+5)(x-5) = x^2 – 25 \) | \( x^2 – 9 = (x+3)(x-3) \) |
So erkennst Du ein Binom: Die äußeren Glieder sind Quadratzahlen, und das mittlere Glied ist das doppelte Produkt der beiden Wurzeln. Bei \( x^2 + 6x + 9 \): \( \sqrt{x^2} = x \), \( \sqrt{9} = 3 \), und \( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \) – passt.
3. Quadratische Gleichungen – vier Wege
Merke: die Lösungsformel
Bring die Gleichung zuerst in die Normalform \( x^2 + px + q = 0 \) – notfalls durch den Faktor vor \( x^2 \) teilen. Dann gilt:
\( x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 – q} \)
Alternative für die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \), ohne vorher zu teilen:
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Lösungen:
| unter der Wurzel positiv | zwei Lösungen |
| unter der Wurzel null | eine Lösung |
| unter der Wurzel negativ | keine Lösung, \( \mathbb{IL} = \{\ \} \) |
Beispiel: dieselbe Gleichung auf drei Wegen
Löse \( x^2 + 6x – 16 = 0 \), \( \mathbb{IG} = \mathbb{IR} \).
Weg 1 – Lösungsformel mit \( p = 6 \) und \( q = -16 \):
\( x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{9 + 16} = -3 \pm \sqrt{25} = -3 \pm 5 \)
\( x_1 = 2 \qquad x_2 = -8 \)
Weg 2 – quadratische Ergänzung:
\( x^2 + 6x = 16 \)
\( x^2 + 6x + 9 = 25 \)
\( (x+3)^2 = 25 \)
\( x + 3 = \pm 5 \)
\( x_1 = 2, \ x_2 = -8 \)
Weg 3 – faktorisieren (zwei Zahlen mit Summe 6 und Produkt \( -16 \): das sind 8 und \( -2 \)):
\( (x + 8)(x – 2) = 0 \)
\( x_1 = -8, \ x_2 = 2 \)
\( \mathbb{IL} = \{-8;\,2\} \)
Probe: \( 2^2 + 12 – 16 = 0 \) und \( 64 – 48 – 16 = 0 \) – beide stimmen. Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist – darauf beruht Weg 3.
Beispiel: die Sonderfälle
a) Reinquadratisch (kein \( x \)-Glied):
\( 3x^2 – 27 = 0 \ \)
\( \ x^2 = 9 \ \)
\( \ \mathbb{IL} = \{-3;\,3\} \)
b) Ohne Absolutglied – \( x \) ausklammern:
\( x^2 – 5x = 0 \ \)
\( \ x \cdot (x – 5) = 0 \ \)
\( \ \mathbb{IL} = \{0;\,5\} \)
Hier wird oft durch \( x \) geteilt – dabei geht die Lösung \( x = 0 \) verloren. Niemals durch die Variable teilen.
c) Mit Faktor vor \( x^2 \): \( 2x^2 – 8x + 6 = 0 \). Erst durch 2 teilen:
\( x^2 – 4x + 3 = 0 \ \)
\( \ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 – 3} = 2 \pm 1 \ \)
\( \ \mathbb{IL} = \{1;\,3\} \)
d) Keine Lösung: \( x^2 + 2x + 5 = 0 \)
\( x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 – 5} = -1 \pm \sqrt{-4} \)
\( \mathbb{IL} = \{\ \} \)
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl – hier bricht man ab und schreibt die leere Lösungsmenge hin.
4. Quadratische Gleichungen in Sachaufgaben
Beispiel: Rechteck aus Umfang und Fläche
Ein Rechteck hat den Umfang \( 28\ \text{m} \) und den Flächeninhalt \( 48\ \text{m}^2 \). Wie lang sind die Seiten?
Ansatz: Aus \( u = 2(a+b) = 28 \) folgt \( a + b = 14 \), also \( b = 14 – a \).
\( a \cdot (14 – a) = 48 \)
\( 14a – a^2 = 48 \)
\( a^2 – 14a + 48 = 0 \)
\( a_{1,2} = 7 \pm \sqrt{49 – 48} = 7 \pm 1 \)
\( a_1 = 8 \qquad a_2 = 6 \)
Antwort: Die Seiten sind \( 8\ \text{m} \) und \( 6\ \text{m} \) lang. Beide Lösungen beschreiben dasselbe Rechteck – einmal ist 8 die Länge, einmal die Breite.
Probe: \( u = 2 \cdot (8+6) = 28\ \text{m} \) und \( A = 8 \cdot 6 = 48\ \text{m}^2 \) – stimmt.
Merke: Lösungen im Sachkontext prüfen
Eine quadratische Gleichung liefert oft zwei Lösungen – die Sachaufgabe lässt häufig nur eine zu.
- Negative Längen, Zeiten oder Stückzahlen scheiden aus.
- Bei Anzahlen muss das Ergebnis ganzzahlig sein.
- Manchmal sind beide Lösungen sinnvoll – wie oben beim Rechteck.
Schreib immer dazu, welche Lösung Du warum verwirfst. Das ist Teil der Aufgabe und gibt Punkte.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
\( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)
\( x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 – q} \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 10, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 7 „Funktionale Zusammenhänge“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.