Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 10 · M-Zug · Lernbereich 4: Trigonometrie · LehrplanPLUS
Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens
Mit dem Satz des Pythagoras berechnest Du fehlende Seiten – aber nur, wenn Du zwei davon kennst. Die Trigonometrie geht weiter: Sie verbindet Seiten und Winkel. Damit misst Du die Höhe eines Turms mit einem Winkelmesser und einem Maßband, und Du bestimmst jede Dachneigung aus zwei Längen.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
- Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse
- Sinus, Kosinus und Tangens
- Seitenlängen mit Winkelfunktionen berechnen
- Winkel mit den Umkehrfunktionen berechnen
- Trigonometrie in Figuren
- Trigonometrie in Körpern
- Berufsbezogene Trigonometrie
- Der Einheitskreis
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Der Wertebereich von Sinus und Kosinus
- Die Sinusfunktion
- Periodische Vorgänge und Schwingungen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 10 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
1. Die drei Seitenverhältnisse
Merke: die drei Definitionen
\( \sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
\( \cos \alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
\( \tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \)
Merkspruch: GAGA – HHAG. Von oben nach unten gelesen: Gegenkathete durch Hypotenuse (Sinus), Ankathete durch Hypotenuse (Kosinus), Gegenkathete durch Ankathete (Tangens).
Alles gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Ohne rechten Winkel keine dieser Formeln.
Merke: welche Funktion nehme ich?
| gegeben und gesucht | nimm |
|---|---|
| Hypotenuse kommt vor | Sinus oder Kosinus |
| nur die beiden Katheten | Tangens |
Vorgehen in vier Schritten: Skizze zeichnen → Winkel markieren → die drei Seiten benennen → die passende Funktion wählen.
2. Seiten berechnen
Beispiel: beide Katheten aus Winkel und Hypotenuse
Im rechtwinkligen Dreieck ist \( \alpha = 35^\circ \) und die Hypotenuse \( c = 10\ \text{cm} \).
\( a = c \cdot \sin \alpha = 10\ \text{cm} \cdot \sin 35^\circ \approx 5{,}74\ \text{cm} \)
\( b = c \cdot \cos \alpha = 10\ \text{cm} \cdot \cos 35^\circ \approx 8{,}19\ \text{cm} \)
Probe mit Pythagoras: \( 5{,}74^2 + 8{,}19^2 \approx 32{,}95 + 67{,}08 = 100{,}03 \approx 10^2 \) – kleine Abweichung durch das Runden, sonst stimmt es.
Plausibilität: Beide Katheten müssen kürzer als die Hypotenuse sein. Kommt etwas über 10 heraus, hast Du dividiert statt multipliziert.
Beispiel: Turmhöhe mit dem Tangens
Du stehst \( 40\ \text{m} \) von einem Turm entfernt und misst zur Spitze einen Höhenwinkel von \( 32^\circ \). Wie hoch ist der Turm?
Gegeben sind Ankathete und gesucht die Gegenkathete – also Tangens:
\( \tan 32^\circ = \dfrac{h}{40\ \text{m}} \)
\( h = 40\ \text{m} \cdot \tan 32^\circ \approx 25{,}0\ \text{m} \)
Antwort: Der Turm ist rund \( 25\ \text{m} \) hoch. In der Praxis kommt noch die Augenhöhe des Messenden dazu – steht das in der Aufgabe, musst Du sie addieren.
3. Winkel berechnen
Merke: die Umkehrfunktionen
Kennst Du das Seitenverhältnis und suchst den Winkel, brauchst Du die Umkehrtasten des Taschenrechners:
\( \sin^{-1} \qquad \cos^{-1} \qquad \tan^{-1} \)
Auf manchen Geräten heißen sie arcsin, arccos und arctan. Du erreichst sie meist über die Zweitbelegung.
Vor jeder Rechnung prüfen: Steht der Taschenrechner auf DEG (Grad)? Bei RAD oder GRAD kommt Unsinn heraus. Testrechnung: \( \sin 30^\circ \) muss genau \( 0{,}5 \) ergeben.
Beispiel: zwei Winkelaufgaben
a) Rollstuhlrampe. Sie ist \( 2{,}40\ \text{m} \) lang und überwindet \( 30\ \text{cm} \) Höhe. Wie steil ist sie?
Erst auf dieselbe Einheit: \( 30\ \text{cm} = 0{,}30\ \text{m} \). Gegeben sind Gegenkathete und Hypotenuse:
\( \sin \alpha = \dfrac{0{,}30}{2{,}40} = 0{,}125 \)
\( \alpha = \sin^{-1}(0{,}125) \approx 7{,}2^\circ \)
Die Vorschrift erlaubt bei öffentlichen Gebäuden maximal 6 %, das sind etwa \( 3{,}4^\circ \) – diese Rampe wäre zu steil.
b) Dachneigung. Ein Dach steigt auf \( 4\ \text{m} \) waagrechter Strecke um \( 3\ \text{m} \) an.
\( \tan \alpha = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \)
\( \alpha = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9^\circ \)
Antwort: Die Dachneigung beträgt rund \( 37^\circ \).
4. Der Einheitskreis und die Sinusfunktion
Merke
Im Einheitskreis (Radius 1) ist \( \sin \alpha \) die Höhe des Punktes auf dem Kreis und \( \cos \alpha \) seine waagrechte Lage. Weil die Hypotenuse 1 ist, fällt der Nenner weg.
Damit gilt für jeden Winkel:
\( -1 \le \sin \alpha \le 1 \)
\( -1 \le \cos \alpha \le 1 \)
Ein paar Werte, die Du kennen solltest:
\( \sin 0^\circ = 0 \)
\( \sin 30^\circ = 0{,}5 \)
\( \sin 90^\circ = 1 \)
\( \sin 180^\circ = 0 \)
Kontrolle: Liefert Dein Taschenrechner für einen Sinus einen Wert über 1, hast Du Zähler und Nenner vertauscht.
Beispiel: periodische Vorgänge
Lässt man den Winkel immer weiter wachsen, entsteht aus dem Kreis eine Welle: die Sinuskurve. Sie wiederholt sich nach \( 360^\circ \) – das nennt man Periode.
Solche Vorgänge gibt es überall: Wechselstrom, Schallwellen, Gezeiten, die Tageslänge über das Jahr, ein schwingendes Pendel.
Was Du ablesen können sollst: den größten und kleinsten Wert (hier \( +1 \) und \( -1 \)), die Nullstellen (bei \( 0^\circ \), \( 180^\circ \), \( 360^\circ \)) und die Länge einer Periode.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( \sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
\( \cos \alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
\( \tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 10, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 4 „Trigonometrie“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.