Gebrochen-rationale Funktionen – Eigenschaften und Asymptoten
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Weitere Funktionen (Technik)
Eine gebrochen-rationale Funktion ist ein Quotient zweier Polynome. Neu gegenüber ganzrationalen Funktionen sind die Definitionslücken und die Asymptoten – genau darum geht es hier.
1 Definition und Definitionsmenge
Gebrochen-rationale Funktion. \(f(x)=\dfrac{Z(x)}{N(x)}\) mit Zählerpolynom (Z(x)) und Nennerpolynom (N(x)), (N(x)notequiv 0).
- echt gebrochen-rational: Grad von (Z) kleiner als Grad von (N)
- unecht gebrochen-rational: Grad von (Z) größer oder gleich dem Grad von (N)
Die Definitionsmenge schließt die Nennernullstellen aus: \(D_f=\mathbb{R}setminus{xmid N(x)=0}\).
Beispiel A. \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}\).
| \(N(x)=x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1\) | Nennernullstellen |
| \(D_f=\mathbb{R}setminus{-1;,1}\); Grad \(Z=1 \lt 2=\) Grad (NRightarrow) echt gebrochen-rational |
2 Arten von Definitionslücken
An einer Nennernullstelle \(x_0\) entscheidet der Zähler über die Art der Lücke:
Polstelle (Unendlichkeitsstelle)
Ist \(N(x_0)=0\), aber \(Z(x_0)\neq0\), liegt eine Polstelle vor: (|f(x)|toinfty). Die Gerade \(x=x_0\) ist senkrechte Asymptote. Die Ordnung (Vielfachheit der Nennernullstelle) bestimmt das Verhalten:
- ungerade Ordnung → mit Vorzeichenwechsel (die beiden Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen), z. B. \(\tfrac 1x\)
- gerade Ordnung → ohne Vorzeichenwechsel (beide Äste laufen in dieselbe Richtung), z. B. \(\tfrac 1{x^2}\)
Links \(f(x)=\tfrac 1x\) (Polstelle mit VZW, Ordnung 1); rechts \(f(x)=\tfrac 1{x^2}\) (Polstelle ohne VZW, Ordnung 2). Beide: senkrechte Asymptote \(x=0\), waagerechte \(y=0\).
Stetig behebbare (hebbare) Lücke
Haben Zähler und Nenner an \(x_0\) eine gemeinsame Nullstelle, lässt sich der Bruch kürzen. Dann ist \(x_0\) eine stetig behebbare Lücke – der Graph hat dort nur ein „Loch“, keine Polstelle.
Beispiel B. \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\); \(D_f=\mathbb{R}setminus{1}\).
| \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(xneq1)\) | kürzen |
| \(limlimits_{xto1}f(x)=2\Rightarrow\) Loch bei \((1\mid2)\) | keine Polstelle |
3 Verhalten im Unendlichen: waagerechte und schräge Asymptoten
Das Verhalten für (xtopminfty) hängt vom Gradvergleich von Zähler und Nenner ab:
| Gradvergleich | Asymptote für (xtopminfty) |
|---|---|
| Grad (Z) < Grad (N) | waagerechte Asymptote \(y=0\) |
| Grad (Z) = Grad (N) | waagerechte Asymptote \(y=\dfrac{\text{Leitkoeffizient von }Z}{\text{Leitkoeffizient von }N}\) |
| Grad (Z) = Grad (N) + 1 | schräge Asymptote (per Polynomdivision) |
| Grad (Z) \(\ge\) Grad (N) + 2 | keine Geraden-Asymptote (näherungsweise ganzrationaler Verlauf) |
Stufe 2-3 · hilfsmittelfreiWaagerechte Asymptote
Beispiel C. \(f(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}+1}\): Grad \(Z=\) Grad \(N=2\).
| waagerechte Asymptote \(y=\dfrac{2}{1}=2\) (Quotient der Leitkoeffizienten) |
Stufe 3-4 · AusbauSchräge Asymptote per Polynomdivision
Beispiel D. \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}\): Grad \(Z=2=\) Grad (N+1).
Polynomdivision (gemischter Bruchterm)
| \((x^{2}+1):x=x+\dfrac{1}{x}\) | also \(f(x)=x+\tfrac 1x\) |
Grenzverhalten
| für (xtopminfty) gilt \(\tfrac 1xto0\Rightarrow f(x)\to x\) | schräge Asymptote \(y=x\) |
4 Nullstellen, Achsenschnittpunkte und Symmetrie
- Nullstellen: \(Z(x)=0\) und \(N(x)\neq0\) (Zähler null, aber keine gemeinsame Nullstelle mit dem Nenner).
- (y)-Achsenabschnitt: (f(0)) \(falls (0\in D_f)\).
- Symmetrie: \(f(-x)=f(x)\) achsensymmetrisch zur (y)-Achse; \(f(-x)=-f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiel E. \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}\): Zähler \(x=0\Rightarrow\) Nullstelle bei \(x=0\); \(f(-x)=\dfrac{-x}{x^{2}-1}=-f(x)\Rightarrow\) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Jede Nennernullstelle als Polstelle deuten.
✓ Richtig
Nur wenn der Zähler dort nicht null ist. Gemeinsame Nullstelle → kürzen → hebbare Lücke.
✗ Falsch
Bei jeder Polstelle einen Vorzeichenwechsel annehmen.
✓ Richtig
VZW nur bei ungerader Ordnung \((\tfrac 1x)\); bei gerader Ordnung \((\tfrac 1{x^2})\) laufen beide Äste gleich.
✗ Falsch
Waagerechte Asymptote immer als \(y=0\).
✓ Richtig
Nur bei Grad \(Z \lt \) Grad (N). Bei gleichem Grad: \(y=\) Quotient der Leitkoeffizienten; bei Grad \(Z=\)Grad(N+1): schräge Asymptote.
✗ Falsch
Zählernullstellen ungeprüft als Nullstellen von (f) angeben.
✓ Richtig
Nur wenn dort \(N(x)\neq0\) – sonst ist es eine hebbare Lücke, keine Nullstelle.
Auf einen Blick
- Definitionsmenge: Nennernullstellen ausschließen.
- Definitionslücken: Polstelle \(Zähler (\neq0)\) mit/ohne VZW je Ordnung; hebbare Lücke (kürzbar).
- Asymptoten ((xtopminfty)): Gradvergleich → waagerecht \((y=0) bzw. Leitkoeff.-Quotient\) oder schräg (Polynomdivision).
- Nullstellen: \(Z=0\) und \(Nneq0\); Symmetrie wie gewohnt prüfen.
Jetzt üben
Trainieren Sie Definitionsmenge, Polstellen, hebbare Lücken und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen – für die FOS/BOS 12 Bayern (Technik).
💡 Mehr auf lern.de
Entdecke weitere kostenlose Lernangebote für deine Schulart: