Goniometrische Gleichungen und Kurvendiskussion
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Weitere Funktionen (Technik)
Jetzt wird mit den trigonometrischen Funktionen gerechnet: Gleichungen lösen, ableiten und eine vollständige Kurvendiskussion durchführen – bis hin zur Modellierung periodischer Vorgänge.
1 Wichtige Beziehungen
- Trigonometrischer Pythagoras: \(\sin ^{2}x+\cos^{2}x=1\)
- Doppelter Winkel: \(\sin (2x)=2\sin xcos x\), \(\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos^{2}x-1\)
- Phasenbeziehungen: \(\sin x=\cos\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\), \(\cos x=\sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)\)
Mit diesen Beziehungen macht man aus einer Gleichung mit mehreren Winkelfunktionen eine mit nur einer.
2 Goniometrische Gleichungen lösen
Grundgleichung. Wegen der Periode gibt es unendlich viele Lösungen. Man bestimmt zwei Lösungen pro Periode und addiert Vielfache:
- \(\sin x=c\): \(x_1=\sin ^{-1}(c)\), \(x_2=\pi-x_1\), dann \(+,k\cdot 2\pi\)
- \(\cos x=c\): \(x_1=\cos^{-1}(c)\), \(x_2=-x_1\), dann \(+,k\cdot 2\pi\)
Stufe 2-3 · hilfsmittelfreiGrundgleichung mit exaktem Wert
Beispiel A. Lösen Sie \(\sin x=\tfrac 12\).
| \(x_1=\sin ^{-1}!\left(\tfrac 12\right)=\tfrac{\pi}{6}\) | |
| \(x_2=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}\) | |
| alle: \(x=\tfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\) oder \(x=\tfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi, kinmathbb{Z}\) |
Stufe 3-4 · SubstitutionGleichung auf eine Winkelfunktion zurückführen
Beispiel B. \(2\cos^{2}x+\cos x-1=0\).
Substitution \(u=\cos x\)
| \(2u^{2}+u-1=0 \Rightarrow u=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{4} \Rightarrow u_1=\tfrac 12, u_2=-1\) |
Rücksubstitution
| \(\cos x=\tfrac 12 \Rightarrow x=pmt\frac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\) | |
| \(\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+k\cdot 2\pi\) |
Enthält eine Gleichung \(\sin ^{2}\) und \(\cos^{2}\) gemischt, ersetzt man \(\sin ^{2}x=1-\cos^{2}x\) und erhält eine quadratische Gleichung in \(\cos x\).
3 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \(f(x)=\sin x\) | \(f'(x)=\cos x\) |
| \(f(x)=\cos x\) | \(f'(x)=-\sin x\) |
| \(f(x)=\tan x\) | \(f'(x)=1+\tan^{2}x\quad (xneqt\frac{\pi}{2}+kpi)\) |
4 Kurvendiskussion
Stufe 3-4 · AusbauVollständige Diskussion über eine Periode
Beispiel C. Untersuchen Sie \(f(x)=\sin (2x)\) auf ([0;,pi]).
Nullstellen
| \(\sin (2x)=0\Rightarrow 2x=kpi\Rightarrow x=0, \tfrac{\pi}{2}, \pi\) |
Extrempunkte (1. Ableitung)
| \(f'(x)=2\cos(2x)=0\Rightarrow 2x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\) | |
| \(f^{\prime\prime}(x)=-4\sin (2x): f^{\prime\prime}(\tfrac{\pi}{4})\lt 0\Rightarrow HP(\tfrac{\pi}{4}\mid 1)\), \(f^{\prime\prime}(\tfrac{3\pi}{4})\gt 0\Rightarrow TP(\tfrac{3\pi}{4}\mid -1)\) |
Wendepunkte (2. Ableitung)
| \(f^{\prime\prime}(x)=-4\sin (2x)=0\Rightarrow x=0, \tfrac{\pi}{2}, \pi\) |
5 Anwendung: periodische Vorgänge
Stufe 4 · PrüfungEbbe und Flut
Beispiel D. Der Wasserstand (in m) in einem Hafen wird durch \(h(t)=2\sin\left(\tfrac{\pi}{6}t\right )+3\) beschrieben ((t) in Stunden).
| Hochwasser: \(\sin =1\Rightarrow \tfrac{\pi}{6}t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=3\), \(h=5 \text{m}\) | |
| Niedrigwasser: \(t=9\), \(h=1 \text{m}\); Periode \(T=\tfrac{2\pi}{\pi/6}=12 \text{h}\) |
Wann beträgt der Wasserstand 4 m?
| \(2\sin\left(\tfrac{\pi}{6}t\right )+3=4\Rightarrow \sin\left(\tfrac{\pi}{6}t\right )=\tfrac 12\) | |
| \(\tfrac{\pi}{6}t=\tfrac{\pi}{6} \text{oder} \tfrac{5\pi}{6}\Rightarrow t=1 \text{oder} t=5\) | (erste Periode) |
Antwort: Nach \(1 \text{h}\) und nach \(5 \text{h}\) beträgt der Wasserstand \(4 \text{m}\) \(danach periodisch al\le (12 \text{h})\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Nur die eine Lösung \(x_1=\sin ^{-1}(c)\) angeben.
✓ Richtig
Pro Periode gibt es zwei Lösungen \((\sin ): (x_2=\pi-x_1); (\cos): (x_2=-x_1)\) – plus \(+k\cdot 2\pi\).
✗ Falsch
Bei \(\bigl(\sin (2x)\bigr)’\) den Faktor (2) vergessen: \(\cos(2x)\).
✓ Richtig
Kettenregel: \(\bigl(\sin (2x)\bigr)’=2\cos(2x)\) – innere Ableitung nicht vergessen.
✗ Falsch
\((\cos x)’=\sin x\) (Vorzeichen).
✓ Richtig
\((\cos x)’=-\sin x\) – die Kosinusableitung ist negativ.
✗ Falsch
Bei gemischten Gleichungen \(\sin ^{2}\) und \(\cos^{2}\) getrennt stehen lassen.
✓ Richtig
\(\sin ^{2}x=1-\cos^{2}x\) einsetzen → quadratische Gleichung in einer Funktion, dann Substitution.
Auf einen Blick
- Beziehungen: \(\sin ^2+\cos^2=1\); \(\sin (2x)=2\sin xcos x\); \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin ^2x\).
- Gleichungen: zwei Lösungen pro Periode \(+,k\cdot 2\pi\); Substitution bei quadratischen Formen.
- Ableitungen: \((\sin )’=\cos\), \((\cos)’=-\sin \), \((\tan)’=1+\tan^2\); mit Kettenregel Faktor (b).
- Kurvendiskussion: wie gewohnt über eine Periode; Anwendung: periodische Modelle (Ebbe/Flut, Wechselstrom).
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