Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Stochastik (Nichttechnik)
Oft interessiert nicht das einzelne Ergebnis, sondern eine Zahl, die man ihm zuordnet: ein Gewinn, eine Anzahl, eine Punktzahl. Diese Zuordnung ist eine Zufallsgröße. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung fassen wir mit zwei Kennzahlen zusammen: dem Erwartungswert (dem „mittleren Wert auf lange Sicht“) und der Standardabweichung (der Streuung darum).
1 Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Zufallsgröße. Eine Funktion \(X:\Omega\to\mathbb{R}\), die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl \(x\) (den Zufallswert) zuordnet.
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Zuordnung jedem Zufallswert \(x\) seine Wahrscheinlichkeit \(P(X=x)\). Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist stets \(1\).
Durchgehendes Beispiel. Ein Glücksrad-Spiel; die Zufallsgröße \(X\) ist der Reingewinn in Euro. Die Verteilung:
| Zufallswert \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(5\) |
| \(P(X=x)\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) | \(0{,}2\) |
Kontrolle: \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\). Grafisch als Stabdiagramm:
2 Der Erwartungswert
Stufe 1-2 · hilfsmittelfreiDer mittlere Wert auf lange Sicht
Erwartungswert. \(\displaystyle E(X)=\mu=\sum_{i} x_i\cdot P(X=x_i)\).
Deutung: Wiederholt man das Spiel sehr oft, ist \(E(X)\) der durchschnittliche Gewinn pro Spiel. Ein Spiel heißt fair, wenn \(E(X)=0\).
Beispiel A. Erwartungswert des Spiels:
| \(E(X)=(-2)\cdot 0{,}5+0\cdot 0{,}3+5\cdot 0{,}2\) | |
| \(=-1+0+1=0\) | also ein faires Spiel |
Im Bild ist \(E(X)=0\) der Punkt, in dem die Verteilung „im Gleichgewicht“ ist (Schwerpunkt).
3 Varianz und Standardabweichung
Stufe 3 · AusbauWie stark streuen die Werte um \(E(X)\)?
Varianz und Standardabweichung.
\(\displaystyle Var(X)=\sum_i (x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)\qquad \sigma=\sqrt{Var(X)}\)
Die Standardabweichung \(\sigma\) misst die Streuung um den Erwartungswert und hat dieselbe Einheit wie \(X\).
Beispiel B. Varianz und Standardabweichung des Spiels (\(\mu=0\)):
| \(Var(X)=(-2-0)^2\cdot0{,}5+(0-0)^2\cdot0{,}3+(5-0)^2\cdot0{,}2\) | |
| \(=4\cdot0{,}5+0+25\cdot0{,}2=2+5=7\) | |
| \(\sigma=\sqrt{7}\approx 2{,}65\) | mit Hilfsmittel |
Am Taschenrechner: √ 7 = → 2,6457…
4 Binomialverteilte Zufallsgrößen
Stufe 3-4 · PrüfungKurzformeln für \(E\) und \(\sigma\)
Zählt \(X\) die Treffer einer Bernoulli-Kette (also \(X\) ist binomialverteilt mit \(n\) und \(p\)), muss man nicht die ganze Verteilung aufsummieren – es gelten Kurzformeln:
\(E(X)=n\cdot p\qquad Var(X)=n\cdot p\cdot(1-p)\qquad \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\)
Beispiel C. Restaurant: \(n=20\) Gäste, \(p=0{,}2\) bestellen vegetarisch. \(X\) = Anzahl vegetarischer Bestellungen.
| \(E(X)=20\cdot 0{,}2=4\) | im Schnitt 4 vegetarisch |
| \(Var(X)=20\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=3{,}2\) | |
| \(\sigma=\sqrt{3{,}2}\approx 1{,}79\) |
Am Taschenrechner: √ 3 , 2 = → 1,7888…
Deutung: Man erwartet rund \(4\) vegetarische Bestellungen; typische Schwankung etwa \(\pm 1{,}8\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Vergessen zu prüfen, ob die Wahrscheinlichkeiten sich zu \(1\) summieren.
✓ Richtig
Immer kontrollieren: \(\sum P(X=x_i)=1\) – sonst ist die Verteilung falsch.
✗ Falsch
\(E(X)\) als „wahrscheinlichsten Wert“ deuten.
✓ Richtig
\(E(X)\) ist der Mittelwert auf lange Sicht, nicht der häufigste Wert (und muss kein möglicher Wert sein).
✗ Falsch
\(\sigma\) und \(Var(X)\) verwechseln oder die Wurzel vergessen.
✓ Richtig
\(Var(X)\) ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen; \(\sigma=\sqrt{Var(X)}\) hat die Einheit von \(X\).
✗ Falsch
\(E=n\cdot p\) auf jede beliebige Zufallsgröße anwenden.
✓ Richtig
Die Kurzformeln \(E=np\), \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) gelten nur für binomialverteilte Zufallsgrößen.
Auf einen Blick
- Zufallsgröße \(X\): ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu; \(\sum P(X=x_i)=1\).
- Erwartungswert: \(E(X)=\sum x_i P(X=x_i)\) – Mittelwert auf lange Sicht; fair \(\Leftrightarrow E=0\).
- Streuung: \(Var(X)=\sum (x_i-\mu)^2 P(X=x_i)\), \(\sigma=\sqrt{Var(X)}\).
- Binomial: \(E=np\), \(Var=np(1-p)\), \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
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