Logarithmen und Exponentialgleichungen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Im vorigen Kapitel blieb eine Frage offen: Wann fällt eine Konzentration unter einen Grenzwert? Solche Fragen führen auf eine Exponentialgleichung (die gesuchte Größe steht im Exponenten) – die gesuchte Größe steht im Exponenten. Das passende Werkzeug ist der Logarithmus: er beantwortet die Frage „Welcher Exponent?“
1 Der Logarithmus: die Umkehrung des Potenzierens
Definition. Für \(b>0,\ b\neq 1\) und \(y>0\) ist \(\log_b(y)\) genau der Exponent \(x\), für den \(b^{x}=y\) gilt:
\(x=\log_b(y)\quad\Longleftrightarrow\quad b^{x}=y\)
Der Logarithmus zur Basis \(e\) heißt natürlicher Logarithmus und wird \(\ln\) geschrieben. Es gilt \(\ln(e^{x})=x\) und \(e^{\ln(y)}=y\) – \(e^{x}\) und \(\ln\) heben sich gegenseitig auf.
Rechenregeln (Grundlage für das Lösen), hier für \(\ln\) mit \(u,v>0\):
| Regel | Formel |
|---|---|
| Produkt | \(\ln(u\cdot v)=\ln u+\ln v\) |
| Quotient | \(\ln\!\left(\tfrac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v\) |
| Potenz (wichtigste!) | \(\ln(u^{r})=r\cdot\ln u\) |
Die Potenzregel holt den gesuchten Exponenten „nach vorne“ – damit wird die Gleichung lösbar.
2 Einfache Exponentialgleichungen
Stufe 2 · hilfsmittelfreiWenn man den Exponenten sieht
Beispiel A. Lösen Sie ohne Taschenrechner.
| \(2^{x}=8 \;\Leftrightarrow\; 2^{x}=2^{3} \;\Rightarrow\; x=3\) | |
| \(10^{x}=1000 \;\Rightarrow\; x=3\) | |
| \(e^{2x-1}=e^{5} \;\Rightarrow\; 2x-1=5 \;\Rightarrow\; x=3\) | |
| \(e^{x}=1 \;\Rightarrow\; x=\ln 1=0\) |
Trick: gleiche Basis herstellen oder \(\ln(e^{x})=x\) nutzen – dann Exponenten vergleichen.
3 Allgemein lösen: logarithmieren
Stufe 3 · mit HilfsmittelDas Rezept für „Wann?“-Fragen
Rezept. Bei \(a\cdot b^{t}=c\):
- Die Potenz isolieren: \(b^{t}=\dfrac{c}{a}\).
- Auf beiden Seiten logarithmieren und die Potenzregel anwenden: \(t\cdot\ln b=\ln\!\left(\dfrac{c}{a}\right)\).
- Nach \(t\) auflösen: \(t=\dfrac{\ln\!\left(\frac{c}{a}\right)}{\ln b}\).
Beispiel B (Anschluss an das vorige Kapitel). Der Wirkstoff zerfällt gemäß \(f(t)=3{,}125\cdot 0{,}8^{t}\) (in mg/l, \(t\) in Stunden). Ab wann ist die Konzentration kleiner als \(1\) mg/l?
Gleichung für den Grenzfall \(f(t)=1\)
| \(3{,}125\cdot 0{,}8^{t}=1\) | \(|:3{,}125\) |
| \(0{,}8^{t}=0{,}32\) | \(|\ln\) |
| \(t\cdot\ln 0{,}8=\ln 0{,}32\) | \(|:\ln 0{,}8\) |
| \(t=\dfrac{\ln 0{,}32}{\ln 0{,}8}\approx 5{,}1\) |
Antwort: Nach etwa \(5{,}1\) Stunden fällt die Konzentration unter \(1\) mg/l. (Beachten Sie: Da durch \(\ln 0{,}8<0\) geteilt wird, dreht sich bei der Ungleichung das Zeichen – für \(t>5{,}1\) ist \(f(t)<1\).)
4 Modellierung mit \(f(t)=a\cdot e^{ct}\)
Stufe 4 · PrüfungsniveauWachstumskonstante und Verdopplungszeit
Wachstums-/Zerfallsmodell. \(f(t)=a\cdot e^{ct}\) mit Anfangswert \(a=f(0)\) und Wachstumskonstante \(c\) (\(c>0\) Wachstum, \(c<0\) Zerfall).
\(\bullet\) Verdopplungszeit (Wachstum): \(T_2=\dfrac{\ln 2}{c}\) \(\bullet\) Halbwertszeit (Zerfall): \(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|c|}\)
Beispiel C. Eine Bakterienkultur wächst exponentiell. Zu Beginn sind es \(500\) Bakterien, nach \(4\) Stunden \(2000\). Bestimmen Sie die Wachstumskonstante, die Verdopplungszeit und den Zeitpunkt, zu dem \(10\,000\) Bakterien vorhanden sind.
Wachstumskonstante \(c\) aus den Daten
| \(f(t)=500\cdot e^{ct}\), Bedingung \(f(4)=2000\) | |
| \(500\cdot e^{4c}=2000\) | \(|:500\) |
| \(e^{4c}=4\) | \(|\ln\) |
| \(4c=\ln 4 \;\Rightarrow\; c=\dfrac{\ln 4}{4}=\dfrac{\ln 2}{2}\approx 0{,}347\) |
Verdopplungszeit
\(T_2=\dfrac{\ln 2}{c}=\dfrac{\ln 2}{\frac{\ln 2}{2}}=2\ \text{Stunden}\)
Zeitpunkt für \(10\,000\) Bakterien
| \(500\cdot e^{ct}=10\,000\) | \(|:500\) |
| \(e^{ct}=20\) | \(|\ln\) |
| \(t=\dfrac{\ln 20}{c}\approx\dfrac{3{,}00}{0{,}347}\approx 8{,}6\ \text{h}\) |
Antwort: \(c\approx 0{,}347\), die Kultur verdoppelt sich alle \(2\) Stunden und erreicht nach rund \(8{,}6\) Stunden \(10\,000\) Bakterien.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
\(\ln(u+v)=\ln u+\ln v\) verwenden.
✓ Richtig
Für Summen gibt es keine Regel. Nur Produkt, Quotient und Potenz lassen sich zerlegen.
✗ Falsch
Sofort logarithmieren, obwohl noch ein Faktor vor der Potenz steht.
✓ Richtig
Erst die Potenz isolieren (\(b^{t}=\tfrac{c}{a}\)), dann logarithmieren.
✗ Falsch
Beim Teilen durch \(\ln b<0\) (Zerfall) das Ungleichheitszeichen stehen lassen.
✓ Richtig
Division durch eine negative Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um.
✗ Falsch
Halbwertszeit mit negativem \(c\) berechnen und ein negatives \(T\) erhalten.
✓ Richtig
Zeiten sind positiv: \(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|c|}\) mit dem Betrag von \(c\).
Auf einen Blick
- Logarithmus: \(x=\log_b(y)\Leftrightarrow b^{x}=y\); \(\ln\) ist die Basis \(e\); \(\ln(e^{x})=x\).
- Regeln: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor. Keine Regel für Summen.
- „Wann?“-Rezept: Potenz isolieren → logarithmieren → nach \(t\) auflösen.
- Modell \(a\cdot e^{ct}\): \(c\) aus Daten per \(\ln\); \(T_2=\tfrac{\ln 2}{c}\), \(T_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{|c|}\).
Jetzt üben
Trainieren Sie das Lösen von Exponentialgleichungen und „Wann?“-Aufgaben zu Wachstum, Zerfall, Halbwerts- und Verdopplungszeit – für die FOS/BOS 12 Bayern.