Extremwertaufgaben (Optimierung)
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Bei einer Extremwertaufgabe soll eine Größe so gewählt werden, dass eine andere Größe maximal oder minimal wird – etwa der größtmögliche Flächeninhalt bei vorgegebenem Zaun oder die kleinste Materialmenge für eine Dose. Das Werkzeug dafür kennen Sie bereits: die Extrempunktbestimmung mit der Ableitung.
Neu ist der Weg dorthin. Sie stellen zwei Beziehungen auf:
- Hauptbedingung – die zu optimierende Zielgröße (Fläche, Volumen, …), zunächst oft mit zwei Variablen.
- Nebenbedingung – ein zweiter Zusammenhang zwischen den Variablen, mit dem Sie eine davon ersetzen.
Nach dem Einsetzen bleibt eine Zielfunktion mit nur einer Variablen – und die untersuchen Sie wie gewohnt auf Extrempunkte.
1 Das Lösungsschema in 6 Schritten
- Hauptbedingung: Zielgröße als Formel aufstellen (meist mit zwei Variablen).
- Nebenbedingung: zweiten Zusammenhang aufstellen (Geometrie oder Funktionsgraph).
- Einsetzen: Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen → Zielfunktion einer Variablen.
- Definitionsbereich: sinnvollen Bereich angeben – alle Längen, Flächen und Volumina sind positiv.
- Extremstelle: \(f'(x)=0\) lösen; Art mit \(f^{\prime\prime}(x)\) (oder Vorzeichenwechsel) prüfen.
- Absolut begründen & antworten: Ränder prüfen, zweite Größe zurückrechnen, Antwort mit Einheit.
Es gibt zwei Aufgabentypen, die sich nur in Schritt 2 (der Nebenbedingung) unterscheiden:
- Typ 1 – geometrische Nebenbedingung: Ein Körper oder eine Figur mit einer festen Vorgabe (fester Umfang, feste Oberfläche, festes Volumen).
- Typ 2 – Nebenbedingung ist ein Funktionsgraph: Ein Punkt der Figur liegt auf einer gegebenen Kurve \(y=f(x)\).
2 Typ 1Geometrische Nebenbedingung
Stufe 2 · hilfsmittelfreiGrößte Fläche bei festem Umfang
Beispiel A. Ein rechteckiges Gehege soll mit \(24,\text{m}\) Zaun eingezäunt werden. Für welche Seitenlängen wird die Fläche am größten?
Schritt 1-2 – Haupt- und Nebenbedingung
| Hauptbedingung: \(A(a,b)=a\cdot b\) | ||
| Nebenbedingung (Umfang): \(2a+2b=24\) | (|:2, -a) | |
| \(\Rightarrow b=12-a\) |
Schritt 3 – Zielfunktion
\(A(a)=a\,(12-a)=12a-a^2\)
Schritt 4 – Definitionsbereich
Beide Seiten positiv: \(a > 0\) und \(b=12-a > 0\), also \(D_A=]0,12[\).
Schritt 5-6 – Extremstelle und Antwort
| \(A'(a)=12-2a=0 \Rightarrow a=6\) | ||
| \(A^{\prime\prime}(a)=-2< 0 \Rightarrow\) Maximum |
Zurück: \(b=12-6=6\), \(A(6)=36\). Da \(A\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist das Maximum absolut. Antwort: Bei \(a=b=6\,\text{m}\) (Quadrat) ist die Fläche mit \(36\,\text{m}^2\) am größten.
Stufe 3 · AusbauGrößtes Volumen einer offenen Schachtel
Beispiel B. Aus einem quadratischen Blech der Kantenlänge \(12,\text{cm}\) werden an den Ecken vier Quadrate der Seite \(x\) herausgeschnitten. Der Rest wird zu einer oben offenen Schachtel hochgefaltet. Für welches \(x\) wird das Volumen maximal?
Schritt 1-3 – Zielfunktion direkt aus der Geometrie
Grundfläche \((12-2x)^2\), Höhe \(x\):
\(V(x)=x\,(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x\)
Schritt 4 – Definitionsbereich
\(x > 0\) und \(12-2x > 0 \Rightarrow x < 6\), also \(D_V=]0,6[\).
Schritt 5 – Extremstelle
| \(V'(x)=12x^2-96x+144=12\,(x^2-8x+12)\) | ||
| \(12\,(x-2)(x-6)=0 \Rightarrow x=2\) \((x=6\not\in D_V)\) | ||
| \(V^{\prime\prime}(x)=24x-96,\quad V^{\prime\prime}(2)=-48< 0 \Rightarrow\) Maximum |
Schritt 6 – Antwort
\(V(2)=2\cdot(12-4)^2=2\cdot 64=128\). Antwort: Für \(x=2\,\text{cm}\) ist das Volumen mit \(128\,\text{cm}^3\) maximal.
Stufe 4 · PrüfungsniveauKleinste Oberfläche bei festem Volumen (Dose)
Beispiel C (mit Hilfsmittel). Eine zylinderförmige Dose soll das Volumen \(V=250\pi,\text{cm}^3\) fassen und dabei möglichst wenig Material verbrauchen (minimale Oberfläche). Bestimmen Sie Radius und Höhe.
Schritt 1-3 – Zielfunktion
| Hauptbedingung: \(O=2\pi r^2+2\pi r h\) | ||
| Nebenbedingung: \(\pi r^2 h=250\pi\) | \(|:\pi r^2\) | |
| \(\Rightarrow h=\dfrac{250}{r^2}\) | ||
| \(O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \dfrac{250}{r^2}=2\pi r^2+\dfrac{500\pi}{r}\) | einsetzen |
Schritt 4 – Definitionsbereich
Der Radius ist positiv: \(D_O=]0,\infty[\).
Schritt 5 – Extremstelle
| \(O'(r)=4\pi r-\dfrac{500\pi}{r^2}=0\) | \(\cdot r^2\) | |
| \(4\pi r^3=500\pi \Rightarrow r^3=125 \Rightarrow r=5\) | ||
| \(O^{\prime\prime}(r)=4\pi+\dfrac{1000\pi}{r^3}> 0 \Rightarrow\) Minimum |
Schritt 6 – Antwort
\(h=\dfrac{250}{25}=10\); die Oberfläche beträgt \(O(5)=2\pi\cdot25+\dfrac{500\pi}{5}=150\pi\approx471\,\text{cm}^2\). Antwort: Bei \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\) ist der Materialverbrauch minimal – interessant: die Höhe ist genau der Durchmesser \((h=2r)\).
3 Typ 2Nebenbedingung ist ein Funktionsgraph
Stufe 3-4 · Ausbau/PrüfungGrößtes Rechteck unter einer Kurve
Beispiel D. Im 1. Quadranten liegt ein Rechteck mit einer Ecke im Ursprung; die gegenüberliegende Ecke \(P\) liegt auf dem Graphen von \(f(x)=12-x^2\). Für welches \(x\) wird der Flächeninhalt maximal?
Schritt 1-2 – Haupt- und Nebenbedingung
| Hauptbedingung: \(A=x\cdot y\) | ||
| Nebenbedingung (Ecke auf dem Graphen): \(y=f(x)=12-x^2\) |
Schritt 3 – Zielfunktion
\(A(x)=x\,(12-x^2)=12x-x^3\)
Schritt 4 – Definitionsbereich
\(x > 0\) und \(y=12-x^2 > 0 \Rightarrow x < \sqrt{12}\), also \(D_A=]0,\sqrt{12}[\).
Schritt 5-6 – Extremstelle und Antwort
| \(A'(x)=12-3x^2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2\) | (\(x > 0\)) | |
| \(A^{\prime\prime}(x)=-6x,\quad A^{\prime\prime}(2)=-12< 0 \Rightarrow\) Maximum |
Höhe \(y=12-4=8\), Fläche \(A(2)=2\cdot 8=16\). Antwort: Für \(x=2\) hat das Rechteck mit den Seiten \(2\) und \(8\) den größten Flächeninhalt \(16\) (Flächeneinheiten).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Die Zielfunktion mit zwei Variablen ableiten wollen.
✓ Richtig
Erst die Nebenbedingung einsetzen, bis nur eine Variable übrig ist – dann ableiten.
✗ Falsch
Den Definitionsbereich vergessen und negative Längen zulassen.
✓ Richtig
Längen, Flächen und Volumina sind positiv – das liefert den sinnvollen Bereich (und schließt Scheinlösungen aus).
✗ Falsch
Bei \(f'(x)=0\) aufhören, ohne die Art zu prüfen oder die Ränder zu betrachten.
✓ Richtig
Mit \(f^{\prime\prime}\) die Art bestätigen und begründen, dass das Extremum im Intervall absolut ist.
✗ Falsch
Nur \(x\) angeben und die eigentliche Frage (zweite Größe, Einheit) offen lassen.
✓ Richtig
Zweite Größe zurückrechnen und einen vollständigen Antwortsatz mit Einheit schreiben.
Auf einen Blick
- 6 Schritte: Hauptbedingung → Nebenbedingung → einsetzen → Definitionsbereich → Extremstelle → begründen & antworten.
- Typ 1: Nebenbedingung aus der Geometrie (fester Umfang/Oberfläche/Volumen).
- Typ 2: Nebenbedingung ist ein Funktionsgraph \(y=f(x)\).
- Immer: Längen, Flächen, Volumina positiv → sinnvoller Definitionsbereich.
- Zum Schluss: Art prüfen, absolut begründen, zweite Größe und Einheit angeben.
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