Exponentielle Prozesse und die e-Funktion
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Bei einem linearen Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag hinzu. Bei einem exponentiellen Prozess wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Das führt zu rasantem Wachstum (Bakterien, Zinseszins) oder zu allmählichem Zerfall (Medikamentenabbau, Radioaktivität).
Solche Prozesse beschreibt eine Exponentialfunktion, bei der die Variable im Exponenten steht.
1 Wachstum und Zerfall: \(f(t)=a\cdot b^{t}\)
Allgemeine Exponentialfunktion. \(f(t)=a\cdot b^{t}\) mit \(a\neq 0\) und \(b>0\).
- \(a=f(0)\) ist der Anfangswert (der \(y\)-Achsenabschnitt).
- \(b\) ist der Wachstums-/Zerfallsfaktor: \(b>1\) → Wachstum, \(0
- Bei \(a>0\) sind alle Werte positiv; die \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote (\(y=0\)).
Prozent in Faktor umrechnen (häufigste Fehlerquelle):
| Angabe | Faktor | Beispiel |
|---|---|---|
| Zunahme um \(p\,\%\) pro Schritt | \(b=1+\tfrac{p}{100}\) | +5 % → \(b=1{{,}}05\) |
| Abnahme um \(p\,\%\) pro Schritt | \(b=1-\tfrac{p}{100}\) | -20 % → \(b=0{{,}}8\) |
2 Funktionsgleichung aus dem Sachkontext
Stufe 2 · hilfsmittelfreiWachstum und Zerfall aufstellen
Beispiel A (Wachstum). In einer Petrischale verdoppelt sich eine Bakterienkultur stündlich; zu Beginn sind es \(8000\) Bakterien. Stellen Sie \(f(t)\) auf und berechnen Sie den Bestand nach \(3\) Stunden sowie \(2\) Stunden vor Beobachtungsbeginn.
| Anfangswert \(a=8000\), Faktor \(b=2\) | ||
| \(f(t)=8000\cdot 2^{t}\) | ||
| \(f(3)=8000\cdot 2^{3}=8000\cdot 8=64000\) | ||
| \(f(-2)=8000\cdot 2^{-2}=8000\cdot\tfrac14=2000\) |
Der Exponent darf auch negativ sein – das beschreibt die Zeit vor dem Beobachtungsbeginn.
Beispiel B (Zerfall). Ein Wirkstoff wird pro Stunde um \(20\,\%\) abgebaut; die Anfangskonzentration beträgt \(3{,}125\ \tfrac{\text{mg}}{\ell}\). Stellen Sie \(f(t)\) auf und berechnen Sie die Konzentration nach \(1\) und \(2\) Stunden.
| Abnahme \(20\,\%\) → Faktor \(b=1-0{{,}}2=0{{,}}8\) | ||
| \(f(t)=3{{,}}125\cdot 0{{,}}8^{t}\) | ||
| \(f(1)=3{{,}}125\cdot 0{{,}}8=2{{,}}5\) | ||
| \(f(2)=3{{,}}125\cdot 0{{,}}8^{2}=2{{,}}0\) |
Die Frage „Wann unterschreitet die Konzentration \(1\ \tfrac{\text{mg}}{\ell}\)?“ führt auf eine Exponentialgleichung – sie wird mit dem Logarithmus gelöst (nächstes Kapitel).
3 Die natürliche Exponentialfunktion \(e^{x}\)
Stufe 3 · AusbauDie besondere Basis \(e\)
Untersucht man die Ableitung von \(b^{x}\) für verschiedene Basen, gibt es genau eine Basis, bei der der Ableitungsgraph mit dem Funktionsgraphen übereinstimmt. Diese Basis ist die Euler’sche Zahl \(e\approx 2{,}718\) (irrational).
Die e-Funktion und ihre Kern-Eigenschaft.
\(f(x)=e^{x}\ \Rightarrow\ f'(x)=e^{x}\)
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung – an jeder Stelle ist die Steigung gleich dem Funktionswert. Deshalb ist \(e\) die natürliche Basis für alle Wachstums- und Zerfallsmodelle.
Die allgemeine Form \(f(x)=a\cdot e^{c(x-d)}+y_0\)
In Anwendungen treten Parameter auf. Jeder hat eine feste Bedeutung für den Graphen:
| Parameter | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|
| \(a\) | Streckung in \(y\)-Richtung; \(a<0\) spiegelt an der \(x\)-Achse |
| \(c\) | Vorzeichen bestimmt Wachstum (\(c>0\)) oder Zerfall (\(c<0\)); Betrag steuert das Tempo |
| \(d\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung |
| \(y_0\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung – die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=y_0\) |
4 Anwendung: ein e-Modell lesen
Stufe 4 · mit HilfsmittelAbkühlung
Beispiel C. Die Temperatur eines Getränks (in °C) beschreibt \(T(t)=20+60\cdot e^{-0{,}1t}\), wobei \(t\) die Zeit in Minuten ist. Deuten Sie die Bestandteile und berechnen Sie die Temperatur nach \(10\) Minuten.
| Anfangstemperatur: \(T(0)=20+60\cdot e^{0}=20+60=80\) | ||
| Grenztemperatur: \(t\to\infty:\ e^{-0{{,}}1t}\to 0,\ T\to 20\) | Asymptote \(y_0=20\) | |
| Nach 10 min: \(T(10)=20+60\cdot e^{-1}\approx 20+22{{,}}1=42{{,}}1\) |
Deutung: Das Getränk startet bei \(80\,^\circ\text{C}\), kühlt monoton ab und nähert sich der Raumtemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne sie je zu unterschreiten. Der Parameter \(y_0=20\) ist genau diese Grenztemperatur.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Exponentiell und linear verwechseln: pro Schritt einen festen Betrag addieren.
✓ Richtig
Exponentiell heißt: pro Schritt mit demselben Faktor \(b\) multiplizieren.
✗ Falsch
\(-20\,\%\) als Faktor \(0{,}2\) (oder \(+5\,\%\) als \(0{,}05\)) einsetzen.
✓ Richtig
Der Restanteil zählt: \(-20\,\% \Rightarrow b=0{,}8\); \(+5\,\% \Rightarrow b=1{,}05\).
✗ Falsch
\(e^{x}\) wie eine Potenzfunktion ableiten: \(x\cdot e^{x-1}\).
✓ Richtig
\((e^{x})’=e^{x}\) – die e-Funktion bleibt beim Ableiten sie selbst.
✗ Falsch
Bei \(a\cdot e^{c(x-d)}+y_0\) die Asymptote bei \(y=0\) vermuten.
✓ Richtig
Die Verschiebung \(y_0\) legt die Asymptote fest: \(y=y_0\).
Auf einen Blick
- \(f(t)=a\cdot b^{t}\): \(a\) Anfangswert, \(b\) Faktor (\(b>1\) Wachstum, \(0
- Prozent → Faktor: \(+p\,\%\Rightarrow 1+\tfrac{p}{100}\), \(-p\,\%\Rightarrow 1-\tfrac{p}{100}\).
- e-Funktion: \(e\approx 2{{,}}718\); Kern-Eigenschaft \((e^{x})’=e^{x}\).
- \(a\cdot e^{c(x-d)}+y_0\): \(c\)-Vorzeichen = Wachstum/Zerfall, \(y_0\) = Asymptote.
- Asymptote nicht vergessen; Werte mit \(e\) nur mit Hilfsmittel.
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