Steckbriefaufgaben
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Bei einer Kurvendiskussion ist der Funktionsterm gegeben, und Sie ermitteln die Eigenschaften des Graphen. Eine Steckbriefaufgabe geht den umgekehrten Weg: Gegeben sind Eigenschaften (Punkte, Steigungen, Extrem- oder Wendepunkte, Symmetrie) – gesucht ist der Funktionsterm.
Die eigentliche Hürde ist nicht das Rechnen, sondern das Übersetzen jeder Angabe in eine Bedingungsgleichung mit \(f\), \(f’\) oder \(f“\). Wir arbeiten deshalb immer nach demselben, sauber nummerierten Schema.
1 Grundregel und zwei Aufgabentypen
Grundregel. Um die \(n\) Parameter einer ganzrationalen Funktion zu bestimmen, brauchen Sie \(n\) voneinander unabhängige Bedingungen. Eine Funktion vom Grad \(k\) hat \(k+1\) Parameter – Symmetrie lässt Parameter wegfallen und verkleinert das System.
Typ 1 – Grad gegeben: Sie stellen die allgemeine Funktionsgleichung im passenden Grad auf.
Typ 2 – eine Ableitung gegeben: Sie gewinnen die allgemeine Gleichung durch Aufleiten; dabei entsteht bei jedem Schritt eine Integrationskonstante als zusätzlicher Parameter.
2 Übersetzungsschlüssel: Angabe → Bedingung
Lesen Sie jede Angabe der Aufgabe und übersetzen Sie sie zeilenweise. Achtung: Ein Hoch-, Tief- oder Wendepunkt liefert zwei Bedingungen, ein Terrassenpunkt sogar drei.
| Nullstelle bei \(x=3\) | \(f(3)=0\) | |
| schneidet die \(y\)-Achse bei \(2\) | \(f(0)=2\) | |
| verläuft durch \(P(2\mid 4)\) | \(f(2)=4\) | |
| berührt die \(x\)-Achse bei \(x=1\) | \(f(1)=0\ \wedge\ f'(1)=0\) | 2 |
| waagerechte Tangente bei \(x=3\) | \(f'(3)=0\) | |
| Hoch-/Tiefpunkt in \(P(2\mid 4)\) | \(f(2)=4\ \wedge\ f'(2)=0\) | 2 |
| Steigung \(5\) an der Stelle \(3\) | \(f'(3)=5\) | |
| Wendepunkt in \(P(1\mid 3)\) | \(f(1)=3\ \wedge\ f“(1)=0\) | 2 |
| steigt/fällt bei \(x=1\) am stärksten | \(f“(1)=0\) | |
| Terrassenpunkt in \(P(4\mid 3)\) | \(f(4)=3\ \wedge\ f'(4)=0\ \wedge\ f“(4)=0\) | 3 |
| Tangente \(y=mx+t\) in \(P(a\mid b)\) | \(f(a)=b\ \wedge\ f'(a)=m\) | 2 |
| achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | nur gerade Exponenten: \(b=d=\ldots=0\) | |
| punktsymmetrisch zum Ursprung | nur ungerade Exponenten: \(c=e=\ldots=0\) |
Die Zahl rechts gibt an, wie viele Bedingungen die Angabe liefert.
Das Schema in drei Schritten – immer gleich:
- Ansatz: allgemeine Funktionsgleichung (Grad bzw. Aufleiten), Symmetrie/fehlende Anteile sofort einbauen; Ableitungen bilden.
- Aussagen analysieren: jede Angabe mit der Tabelle in eine Bedingung \((I), (II), (III), \ldots\) übersetzen.
- Gleichungen aufstellen und lösen: Bedingungen einsetzen; umgeformte Gleichungen mit Stern kennzeichnen, z. B. \((I^{*})\). Zum Schluss Probe.
3 Musterbeispiele mit Progression
Stufe 2 · hilfsmittelfreiTyp 1: Parabel aus Scheitel und Punkt
Beispiel A. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades, deren Graph den Scheitel \(S(2\mid -4)\) hat und durch den Ursprung verläuft.
Schritt 1 – Ansatz
\(f(x)=ax^2+bx+c\) , \(f'(x)=2ax+b\)
Schritt 2 – Aussagen analysieren
| durch den Ursprung \(O(0\mid 0)\) | \(f(0)=0\) | (I) |
| Scheitel bei \(x=2\) (waagerechte Tangente) | \(f'(2)=0\) | (II) |
| Scheitelwert \(-4\) | \(f(2)=-4\) | (III) |
Schritt 3 – Gleichungen aufstellen und lösen
| \(c=0\) | (I) | |
| \(4a+b=0\) | (II) | |
| \(4a+2b+c=-4\) | (III) | |
| \(4a+2b=-4\) | (III*) | \((I)\text{ in }(III)\) |
| \((4a+2b)-(4a+b)=-4-0\ \Rightarrow\ b=-4\) | (I*) | \((III^{*})-(II)\) |
| \(4a-4=0\ \Rightarrow\ a=1\) | \(b=-4\text{ in }(II)\) |
Ergebnis: \(f(x)=x^2-4x\). Probe über die Scheitelform: \((x-2)^2-4=x^2-4x\) – Scheitel \((2\mid -4)\) bestätigt.
Stufe 3 · AusbauTyp 1: Symmetrie ausnutzen – Grad 4 mit Wendetangente
Beispiel B. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, im Punkt \(W(1\mid 0)\) einen Wendepunkt besitzt und dort die Wendetangente \(y=-4x+4\) hat.
Schritt 1 – Ansatz (Symmetrie sofort einbauen)
Achsensymmetrie ⇒ nur gerade Exponenten. Statt fünf bleiben drei Parameter:
\(f(x)=ax^4+cx^2+e\) , \(f'(x)=4ax^3+2cx\) , \(f“(x)=12ax^2+2c\)
Schritt 2 – Aussagen analysieren
Die Wendetangente liefert über Punkt und Steigung zwei Bedingungen; der Wendepunkt eine dritte.
| \(W(1\mid 0)\) liegt auf dem Graphen | \(f(1)=0\) | (I) |
| Steigung der Wendetangente ist \(-4\) | \(f'(1)=-4\) | (II) |
| \(W\) ist Wendepunkt | \(f“(1)=0\) | (III) |
Schritt 3 – Gleichungen aufstellen und lösen
| \(a+c+e=0\) | (I) | |
| \(4a+2c=-4\) | (II) | |
| \(12a+2c=0\) | (III) | |
| \(8a=4\ \Rightarrow\ a=\tfrac12\) | (I*) | \((III)-(II)\) |
| \(2+2c=-4\ \Rightarrow\ c=-3\) | \(a=\tfrac12\text{ in }(II)\) | |
| \(\tfrac12-3+e=0\ \Rightarrow\ e=2{,}5\) | \(a,c\text{ in }(I)\) |
Ergebnis: \(f(x)=\tfrac12 x^4-3x^2+2{,}5\). Durch die Symmetrie gibt es einen zweiten Wendepunkt \(W'(-1\mid 0)\).
Stufe 4 · PrüfungsniveauTyp 1: Term aus dem Sachkontext
Beispiel C (mit Hilfsmittel). Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in mg/l) lässt sich für \(t\in[0;\,3]\) (in Stunden) durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades \(f\) beschreiben: zu Beginn \(0\); nach \(1\) Stunde das Maximum \(4\) mg/l; nach \(3\) Stunden abgebaut und der Verlauf endet flach.
Schritt 1 – Ansatz
\(f(t)=at^3+bt^2+ct+d\) , \(f'(t)=3at^2+2bt+c\)
Schritt 2 – Aussagen analysieren (4 Angaben für Grad 3)
| zu Beginn \(0\) | \(f(0)=0\) | (I) |
| Maximum \(4\) nach 1 h | \(f(1)=4\) | (II) |
| Maximum bei \(t=1\) | \(f'(1)=0\) | (III) |
| endet flach bei \(t=3\) | \(f'(3)=0\) | (IV) |
Schritt 3 – Gleichungen aufstellen und lösen
| \(d=0\) | (I) | |
| \(a+b+c=4\) | (II*) | \((I)\text{ eingesetzt}\) |
| \(3a+2b+c=0\) | (III) | |
| \(27a+6b+c=0\) | (IV) | |
| \(24a+4b=0\ \Rightarrow\ b=-6a\) | (I*) | \((IV)-(III)\) |
| \(3a-12a+c=0\ \Rightarrow\ c=9a\) | \(b=-6a\text{ in }(III)\) | |
| \(a-6a+9a=4\ \Rightarrow\ 4a=4\ \Rightarrow\ a=1\) | \(b,c\text{ in }(II^{*})\) |
Ergebnis: \(b=-6,\ c=9\), also \(f(t)=t^3-6t^2+9t=t\,(t-3)^2\). Bei \(t=3\) doppelte Nullstelle und Tiefpunkt – der Wert erreicht \(0\) und bleibt flach, wie gefordert.
Typ 2Wenn eine Ableitung gegeben ist: Aufleiten
Beispiel D. Von einer Funktion \(f\) ist die zweite Ableitung \(f“(x)=6x\) bekannt. Ihr Graph hat bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente und schneidet die \(y\)-Achse bei \(2\).
Schritt 1 – Ansatz durch Aufleiten (je eine Konstante pro Schritt)
| \(f“(x)=6x\) | ||
| \(f'(x)=3x^2+C_1\) | aufleiten | |
| \(f(x)=x^3+C_1x+C_2\) | aufleiten |
Schritt 2 – Aussagen analysieren
| waagerechte Tangente bei \(x=0\) | \(f'(0)=0\) | (I) |
| schneidet \(y\)-Achse bei \(2\) | \(f(0)=2\) | (II) |
Schritt 3 – lösen
| \(C_1=0\) | (I) | |
| \(C_2=2\) | (II) |
Ergebnis: \(f(x)=x^3+2\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Einen Hoch-, Tief- oder Wendepunkt als nur eine Bedingung zählen.
✓ Richtig
HP/TP/WP geben zwei Bedingungen (Punkt und Ableitung), ein Terrassenpunkt drei.
✗ Falsch
Umgeformte Gleichungen nicht kennzeichnen – man verliert im LGS den Überblick.
✓ Richtig
Bedingungen \((I),(II),(III)\) benennen und jede Umformung sauber als \((I^{*})\) mit notierter Operation dokumentieren.
✗ Falsch
Bei Typ 2 die Integrationskonstante beim Aufleiten vergessen.
✓ Richtig
Bei jedem Aufleiten kommt eine neue Konstante (\(C_1, C_2, \ldots\)) hinzu – sie sind zusätzliche Parameter.
Auf einen Blick
- \(n\) Parameter → \(n\) Bedingungen; Symmetrie reduziert die Parameter.
- Immer 3 Schritte: Ansatz → Aussagen analysieren \((I),(II),\ldots\) → Gleichungen lösen mit \((I^{*})\).
- HP/TP/WP = 2 Bedingungen, Terrassenpunkt = 3, Tangente = 2.
- Typ 2: Ableitung gegeben → aufleiten, Integrationskonstanten nicht vergessen.
- Zum Schluss den Term mit einer Angabe zur Probe prüfen.
Jetzt üben
Trainieren Sie das Übersetzen der Angaben in Bedingungen \((I),(II),(III)\) und das Lösen der Gleichungssysteme – mit automatisch erzeugten Steckbriefaufgaben für die FOS/BOS 12 Bayern.