Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Funktionaler Zusammenhang“ (LehrplanPLUS) · BY
Exponentialfunktionen: Wachstum und Zerfall
Exponentielles Wachstum bedeutet: In gleichen Zeitschritten wird immer mit demselben Faktor multipliziert. So beschreibt man Bevölkerungswachstum, Zinseszins oder den Zerfall – Vorgänge, die sich beschleunigen oder abklingen.
1. Die Funktionsgleichung
Eine Exponentialfunktion hat die Form:
\(f(x)=bcdot a^x\)
( b ) ist der Startwert \(bei ( x=0 )\), ( a ) der Wachstumsfaktor. Ist \(a \gt 1\): Wachstum. Ist \(0 \lt a \lt 1\): Zerfall.
2. Wachstum berechnen
Musterbeispiel
Ein Kapital von 1000 € wächst jährlich um 5 % \(( a=1,05 )\). Wert nach 8 Jahren?
\(f(x)=1000\cdot 1,05^x\)
\(f(8)=1000\cdot 1,05^8 \approx 1000\cdot 1,4775 = 1477,50,\text{€}\)
3. Zerfall
Bei Abnahme um einen festen Prozentsatz ist \(a \lt 1\). Beispiel: Eine Maschine verliert jährlich 15 % an Wert, also \(a=0,85\).
4. So wird es gebraucht
Exponentielles Wachstum ist die Grundlage des Zinseszinses (Klasse 10). Auch Wertverlust (Abschreibung), Bevölkerung oder Bakterienwachstum werden so beschrieben.
5. Typische Fehler
✗ Falsch:
Wachstumsfaktor ( a ) als Prozentsatz statt als Faktor: \(a=5\) bei 5 %.
✓ Richtig:
\(a=1,05\) bei 5 % Wachstum, \(a=0,85\) bei 15 % Abnahme.
Tipp: Faktor = 1 ± Prozentsatz als Dezimalzahl.
✗ Falsch:
Exponentielles mit linearem Wachstum verwechselt (immer gleicher Betrag statt gleicher Faktor).
✓ Richtig:
Exponentiell: mal gleichem Faktor. Linear: plus gleichem Betrag.
Tipp: „Um X Prozent“ = exponentiell, „um X Euro“ = linear.
Weiterlernen
- Zinseszins (Klasse 10) – exponentielles Wachstum in der Finanzmathematik.
- Exponentialgleichungen – den Exponenten berechnen.
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