Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Funktionaler Zusammenhang“ (LehrplanPLUS) · BY
Exponentialgleichungen und Logarithmus: Den Exponenten berechnen
Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, hilft der Logarithmus. Damit beantworten Sie Fragen wie „Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?“ – eine typische Prüfungsfrage der Finanzmathematik.
Der Logarithmus
Der Logarithmus beantwortet: „Mit welchem Exponenten?“
\( a^x=b \;\Leftrightarrow\; x=\log_a b \)
Mit dem Taschenrechner nutzt man oft \( \lg \) (Logarithmus zur Basis 10).
Gleichung lösen
Musterbeispiel
\( 2^x=32 \)
\( x=\log_2 32 \)
\( x=5,\ \text{denn}\ 2^5=32 \)
Verdopplungszeit
\( 1000\cdot 1,05^x=2000 \) – wann hat sich das Kapital verdoppelt?
\( 1,05^x=2 \)
\( x=\dfrac{\lg 2}{\lg 1,05}\approx 14,2\text{ Jahre} \)
Typische Fehler
✗ Falsch:
Beide Seiten durch die Basis geteilt statt logarithmiert.
✓ Richtig:
Steht \( x \) im Exponenten, hilft nur der Logarithmus.
Tipp: \( a^x=b \Rightarrow x=\log_a b \).
✗ Falsch:
\( \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \) als \( \lg 2 – \lg 1,05 \) gerechnet.
✓ Richtig:
Es ist ein Quotient, keine Differenz.
Tipp: Zähler durch Nenner, nicht minus.
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✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Üben Sie das Lösen von Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus – mit Lösungsweg, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 9.