Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich „Finanzmathematik“ (LehrplanPLUS) · BY
Zinseszins: Kapital wächst exponentiell
Wird ein Kapital angelegt und die Zinsen bleiben auf dem Konto, verzinsen sie sich mit – das ist der Zinseszinseffekt. Das Kapital wächst dadurch immer schneller. Zinseszins ist die Grundlage von Sparen, Krediten und Renten in der Abschlussprüfung.
Die Zinseszinsformel
Nach \( n \) Jahren ist aus dem Startkapital \( K_0 \) geworden:
\( K_n = K_0\cdot q^n \qquad \text{mit } q = 1+\dfrac{p}{100} \)
\( q \) ist der Zinsfaktor. Bei 3 % ist \( q=1,03 \). Die folgende Grafik zeigt, wie das Kapital von Jahr zu Jahr immer stärker wächst:
Endkapital berechnen
Musterbeispiel
\( K_0=5000\,\text{€} \), \( p=3\% \), \( n=10 \) Jahre.
\( q=1+\dfrac{3}{100}=1,03 \)
\( K_{10}=5000\cdot 1,03^{10} \)
\( 1,03^{10}\approx 1,3439 \Rightarrow K_{10}\approx 6719,58\,\text{€} \)
Gegenprobe: Nach 10 Jahren rund 1720 € Zinsgewinn – mehr als 10·150 € einfacher Zins, wegen Zinseszins ✓
Zinssatz oder Laufzeit finden
Ist das Endkapital gegeben, stellt man die Formel um. Für den Zinssatz zieht man die \( n \)-te Wurzel:
\( q=\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}} \)
Beispiel (Prüfung 2025): 37.500 € werden in 20 Jahren zu 75.000 €. Dann \( q=\sqrt[20]{2}\approx 1,0353 \), also \( p\approx 3,53\% \).
Typische Fehler
✗ Falsch:
\( q=0,03 \) statt \( 1,03 \) verwendet.
✓ Richtig:
\( q=1+\frac{p}{100} \): bei 3 % also 1,03. Die 1 nicht vergessen.
Tipp: Ohne die 1 würde das Kapital schrumpfen statt wachsen.
✗ Falsch:
\( q^n \) erst am Ende gerundet und dann falsch weitergerechnet.
✓ Richtig:
\( q^n \) mit mehreren Nachkommastellen ausrechnen, erst das Endergebnis runden.
Tipp: Mindestens 4 Nachkommastellen für \( q^n \) mitnehmen.
Weiterlernen
- Rentenrechnung – regelmäßige Zahlungen mit Zinseszins.
- Tilgungsplan – Kredite systematisch zurückzahlen.
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie Endkapital, Zinssatz und Laufzeit beim Zinseszins – mit Lösungsweg, auf Abschlussprüfungsniveau der Wirtschaftsschule Klasse 10.