Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich „Finanzmathematik“ (LehrplanPLUS) · BY
Rentenrechnung: Regelmäßige Zahlungen berechnen
Bei einer Rente wird regelmäßig ein gleicher Betrag ein- oder ausgezahlt – und alles verzinst sich mit Zinseszins. Der entscheidende Unterschied ist, ob am Jahresanfang (vorschüssig) oder am Jahresende (nachschüssig) gezahlt wird. Ein Kernthema jeder Abschlussprüfung.
Vorschüssig oder nachschüssig?
Der wichtigste Unterschied: Wann wird gezahlt? Die beiden Zeitstrahlen zeigen es deutlich:
Die Rentenformeln
\( \text{nachschüssig: } K_n=r\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1} \)
\( \text{vorschüssig: } K_n’=r\cdot q\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1} \)
Endwert berechnen
Musterbeispiel
Jährlich \( r=2000\,\text{€} \) nachschüssig, \( p=3\% \), \( n=10 \) Jahre.
\( q=1,03 \)
\( K_{10}=2000\cdot\dfrac{1,03^{10}-1}{0,03} \)
\( \approx 2000\cdot 11,4639=22\,927,\!85\,\text{€} \)
Auszahlungsdauer
Bei einer Kapitalminderung (regelmäßige Auszahlung aus einem Startkapital) berechnet man, wie viele Jahre das Geld reicht – wie in der Prüfung 2025 bei Maurice Münchs Erbe.
Typische Fehler
✗ Falsch:
Nachschüssig und vorschüssig verwechselt.
✓ Richtig:
Vorschüssig hat den zusätzlichen Faktor \( q \). Auf die Formulierung achten.
Tipp: „Zu Beginn des Jahres“ = vorschüssig, „am Ende“ = nachschüssig.
✗ Falsch:
\( q^n \) zu früh gerundet.
✓ Richtig:
Mit vollem Wert weiterrechnen, erst am Ende runden.
Tipp: Mindestens 4 Nachkommastellen mitnehmen.
Weiterlernen
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie Endwert und Laufzeit von Renten – mit Zeitstrahl und Lösungsweg, auf Abschlussprüfungsniveau der Wirtschaftsschule Klasse 10.