Mathematik Realschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich „Terme, Gleichungen und Ungleichungen“ bzw. „Terme und Gleichungen“ (LehrplanPLUS) · BY
Terme und Gleichungen: binomische Formeln und Extremwerte
Zwei Klammern miteinander zu multiplizieren ist keine neue Rechenart – es ist immer noch das Distributivgesetz. Neu ist nur, dass drei ganz bestimmte Klammerprodukte so oft vorkommen, dass man sie am Ende im Schlaf erkennt: die binomischen Formeln. Auf dieser Seite lernst du sie nicht auswendig. Du lernst eine Zeichnung, mit der du dir jede der drei Formeln in fünf Sekunden selbst herleitest – und mit der du in der Prüfung nachprüfen kannst, ob du dich verschrieben hast. Danach benutzt du dieselben Formeln rückwärts (Faktorisieren), findest damit Extremwerte quadratischer Terme und löst Gleichungen und Ungleichungen, in denen Klammerprodukte stehen.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Der Lernbereich hat in beiden Ausrichtungen 40 Stunden (Mathematik I: Lernbereich 4 „Terme, Gleichungen und Ungleichungen“; Mathematik II/III: Lernbereich 3 „Terme und Gleichungen“). Die Kompetenzerwartungen zu Termen, binomischen Formeln und Extremwerten sind wortgleich: Die Schülerinnen und Schüler „vereinfachen komplexere Terme (auch mit verschiedenen Variablen und mit höheren Potenzen) und addieren, subtrahieren, multiplizieren und faktorisieren Summenterme auch mithilfe der binomischen Formeln“ und sie „ermitteln rechnerisch die Extremwerte quadratischer Terme der Form ax² + bx + c und lösen Aufgaben mit Extremwertproblemen (z. B. Flächenberechnung)“. Der einzige Unterschied steckt in der dritten Kompetenzerwartung: In Mathematik I heißt sie „lösen lineare Gleichungen und Ungleichungen, deren Links- und Rechtsterm aus Termen mit Variablen (auch Produkte von Summentermen und binomischen Formeln) bestehen, und wenden dies bei Text- und Sachaufgaben an“, in Mathematik II/III dagegen nur „lösen lineare Gleichungen, deren Links- und Rechtsterm …“ – die linearen Ungleichungen kommen also nur in Mathematik I dazu. Das ist im Ungleichungs-Kapitel ausdrücklich gekennzeichnet.
Wozu brauchst du das?
Immer dann, wenn eine Fläche oder ein Preis von einer noch unbekannten Länge abhängt: die Fläche eines Werkstücks, dessen Seite du erst noch festlegst · wie viel Verschnitt entsteht, wenn du einen Rand von \( b \) Zentimetern absägst · welche Maße den größten Flächeninhalt bei fester Randleistenlänge ergeben · ab welcher Stückzahl ein Angebot günstiger wird. Dazu kommt der Kopfrechen-Trick: \( 103^2 \) rechnest du mit der ersten binomischen Formel in zwei Sekunden im Kopf. Und in Jahrgangsstufe 9 und 10 brauchst du die quadratische Ergänzung von dieser Seite wieder – für Scheitelpunkte von Parabeln und für quadratische Gleichungen.
Inhalt dieser Seite
- Zwei Klammern multiplizieren – die Pfeilmethode
- Die drei binomischen Formeln – selbst hergeleitet
- Rückwärts: Faktorisieren mit binomischen Formeln
- Extremwerte durch quadratische Ergänzung
- Gleichungen und Ungleichungen mit Summentermen
- Das Wichtigste in Kürze
1. Zwei Klammern multiplizieren – die Pfeilmethode
Eine Klammer mit einer Zahl zu multiplizieren kannst du schon: \( 3(x + 4) = 3x + 12 \). Jedes Glied in der Klammer wird einzeln mit 3 multipliziert – das ist das Distributivgesetz. Wenn nun zwei Klammern nebeneinander stehen, gilt genau dasselbe, nur zweimal: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert.
Bei zwei Gliedern pro Klammer entstehen also immer vier Produkte. Damit du keines vergisst und keines doppelt nimmst, zeichnest du dir vier Pfeile: zwei oben herum (von jedem Glied der ersten Klammer zum ersten Glied der zweiten) und zwei unten herum. Genau diese Pfeilmethode benutzen wir gleich, um die binomischen Formeln herzuleiten – deshalb übst du sie hier zuerst an einem ganz normalen Klammerprodukt.
Beispiel 1 – ein gewöhnliches Klammerprodukt
| Aufgabe | \( (3x + 4)(2x – 5) \) |
| vier Produkte | \( 3x \cdot 2x + 3x \cdot (-5) + 4 \cdot 2x + 4 \cdot (-5) \) |
| ausrechnen | \( 6x^2 – 15x + 8x – 20 \) |
| zusammenfassen | \( 6x^2 – 7x – 20 \) |
Kontrolle durch Einsetzen (\( x = 1 \)): links \( (3 + 4)(2 – 5) = 7 \cdot (-3) = -21 \), rechts \( 6 – 7 – 20 = -21 \) ✓. Diese Probe kostet zehn Sekunden und findet fast jeden Vorzeichenfehler. Wähle dafür nie \( x = 0 \) – dann verschwinden zu viele Glieder auf einmal.
Beispiel 2 – mit zwei verschiedenen Variablen
| Aufgabe | \( (2a – 3b)(4a + b) \) |
| vier Produkte | \( 8a^2 + 2ab – 12ab – 3b^2 \) |
| zusammenfassen | \( 8a^2 – 10ab – 3b^2 \) |
Kontrolle (\( a = 1,\ b = 1 \)): links \( (2 – 3)(4 + 1) = -1 \cdot 5 = -5 \), rechts \( 8 – 10 – 3 = -5 \) ✓. Zusammenfassen darfst du nur die beiden gemischten Glieder \( +2ab \) und \( -12ab \) – \( a^2 \), \( ab \) und \( b^2 \) sind drei verschiedene Sorten und lassen sich nicht miteinander verrechnen.
Merke: Beim Multiplizieren zweier Summenterme wird jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen multipliziert. Bei zwei mal zwei Gliedern entstehen genau vier Produkte. Das Vorzeichen gehört immer zum Glied dahinter und wird mit multipliziert. Erst am Schluss wird zusammengefasst – und nur Gleichartiges.
2. Die drei binomischen Formeln – selbst hergeleitet
Jetzt kommt der eigentliche Trick dieser Seite. Die drei binomischen Formeln sind keine neuen Regeln. Es sind einfach drei Klammerprodukte, bei denen in beiden Klammern dieselben Buchstaben stehen. Woher der Name kommt: Eine Summe mit genau zwei Summanden – etwa \( a + b \), \( 3 + y \) oder \( 2x + 5 \) – heißt Binom (von lateinisch bi = zwei und nomen = Name). Formeln für Produkte solcher Binome nennt man deshalb binomische Formeln. Du kannst sie also jederzeit mit den vier Pfeilen aus Kapitel 1 selbst herleiten. Genau das machen wir jetzt für alle drei – Formel für Formel, Pfeil für Pfeil.
Schreib dazu die Potenz immer erst als Produkt aus: \( (a + b)^2 \) heißt nichts anderes als \( (a + b)(a + b) \). Und genau das ist der Grund, warum \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \) falsch ist – die beiden gemischten Pfeile fehlen dann einfach.
Erste binomische Formel: \( (a + b)^2 \)
Die beiden mittleren Pfeile liefern zweimal dasselbe Produkt \( ab \) – deshalb steht in der Formel \( 2ab \).
Fahre die Pfeile mit dem Finger ab: oben herum \( a \cdot a = a^2 \) und \( a \cdot b = ab \), unten herum \( b \cdot a = ab \) und \( b \cdot b = b^2 \). Zusammengeschrieben:
Beispiel – mit Zahlen und Variablen
| Aufgabe | \( (3x + 5)^2 \) |
| \( a = 3x,\ b = 5 \) | \( (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 \) |
| Ergebnis | \( 9x^2 + 30x + 25 \) |
Kontrolle durch vollständiges Ausmultiplizieren – ohne Formel: \( (3x+5)(3x+5) = 9x^2 + 15x + 15x + 25 = 9x^2 + 30x + 25 \) ✓. Und zusätzlich mit \( x = 1 \): links \( 8^2 = 64 \), rechts \( 9 + 30 + 25 = 64 \) ✓.
Beachte \( (3x)^2 = 9x^2 \), nicht \( 3x^2 \): Die Klammer wird ganz quadriert, Zahl und Variable. Das ist der häufigste Fehler bei dieser Formel.
Merke – 1. binomische Formel: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Herleitung mit den vier Pfeilen: zwei „Ecken“ \( a^2 \) und \( b^2 \), dazu zweimal das gemischte Glied \( ab \). Der Mittelterm \( 2ab \) fehlt nie – \( (a+b)^2 = a^2+b^2 \) ist falsch.
Zweite binomische Formel: \( (a – b)^2 \)
Dieselbe Zeichnung, nur mit einem Minuszeichen. Wichtig: Das Minus gehört zum \( b \) dazu. Der Pfeil transportiert also nicht „\( b \)“, sondern „\( -b \)“. Das ist der einzige Unterschied – und er erklärt alle Vorzeichen im Ergebnis.
Nur die beiden gemischten Pfeile werden negativ. Der letzte Pfeil trifft zweimal auf ein Minus – und minus mal minus ergibt plus.
Deshalb ist das letzte Glied \( +b^2 \) und nicht \( -b^2 \). Das ist der zweithäufigste Fehler überhaupt: Wer die Formel auswendig lernt, verwechselt hier gern die Vorzeichen. Wer die Pfeile abfährt, kann sich gar nicht irren.
Beispiel
| Aufgabe | \( (4y – 3)^2 \) |
| \( a = 4y,\ b = 3 \) | \( (4y)^2 – 2 \cdot 4y \cdot 3 + 3^2 \) |
| Ergebnis | \( 16y^2 – 24y + 9 \) |
Kontrolle durch vollständiges Ausmultiplizieren – ohne Formel: \( (4y-3)(4y-3) = 16y^2 – 12y – 12y + 9 = 16y^2 – 24y + 9 \) ✓. Und mit \( y = 1 \): links \( 1^2 = 1 \), rechts \( 16 – 24 + 9 = 1 \) ✓.
Merke – 2. binomische Formel: \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \). Das Minuszeichen gehört zum \( b \) und fährt auf beiden gemischten Pfeilen mit – deshalb \( -2ab \). Der letzte Pfeil nimmt das Minus zweimal mit, also bleibt \( +b^2 \) positiv.
Dritte binomische Formel: \( (a + b)(a – b) \)
Hier stehen zwei verschiedene Klammern: einmal mit Plus, einmal mit Minus. Fahre wieder die vier Pfeile ab – und schau genau hin, was mit den beiden gemischten Gliedern passiert.
Die beiden durchgestrichenen Glieder sind Gegenzahlen – ihre Summe ist null. Deshalb hat die dritte binomische Formel keinen Mittelterm.
Der obere gemischte Pfeil liefert \( -ab \), der untere \( +ab \). Zusammen ergibt das \( 0 \) – der Mittelterm verschwindet, und übrig bleiben nur die beiden „Ecken“: \( a^2 – b^2 \).
Beispiel
| Aufgabe | \( (2x + 7)(2x – 7) \) |
| \( a = 2x,\ b = 7 \) | \( (2x)^2 – 7^2 \) |
| Ergebnis | \( 4x^2 – 49 \) |
Kontrolle durch vollständiges Ausmultiplizieren – ohne Formel: \( (2x+7)(2x-7) = 4x^2 – 14x + 14x – 49 = 4x^2 – 49 \) ✓. Und mit \( x = 1 \): links \( 9 \cdot (-5) = -45 \), rechts \( 4 – 49 = -45 \) ✓.
Anwendung im Kopf
Weil \( a \) und \( b \) für beliebige Zahlen stehen, kannst du die Formeln auch als Kopfrechen-Trick benutzen. Zerlege dazu die Zahl in eine glatte Zahl und einen kleinen Rest:
| \( 103^2 \) | \( (100 + 3)^2 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609 \) |
| \( 98^2 \) | \( (100 – 2)^2 = 10\,000 – 400 + 4 = 9\,604 \) |
| \( 51 \cdot 49 \) | \( (50 + 1)(50 – 1) = 2\,500 – 1 = 2\,499 \) |
Kontrolle: \( 103 \cdot 103 = 10\,609 \) ✓ · \( 98 \cdot 98 = 9\,604 \) ✓ · \( 51 \cdot 49 = 2\,499 \) ✓.
Anwendung im Holzwerk Brandl
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim sägt quadratische Sitzflächen zu. Die Seitenlänge ist noch nicht festgelegt: Sie soll \( x \) Zentimeter betragen, dazu kommt ringsum eine Zugabe, so dass die Rohplatte die Seitenlänge \( (x + 5)\ \text{cm} \) hat. Wie groß ist die Fläche der Rohplatte?
Kontrolle mit \( x = 30 \): Die Rohplatte hat dann die Seitenlänge 35 cm, also \( 35^2 = 1\,225\ \text{cm}^2 \). Der Term liefert \( 900 + 300 + 25 = 1\,225 \) ✓. Am Term siehst du außerdem sofort, woraus sich die Fläche zusammensetzt: das eigentliche Sitzquadrat \( x^2 \), zwei Randstreifen mit je \( 5x \) und das kleine Eckquadrat \( 25 \). Genau diese Zerlegung zeichnen wir im Extremwert-Kapitel auf.
Merke – 3. binomische Formel: \( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \). Sie ist die einzige der drei Formeln ohne Mittelterm, weil sich \( -ab \) und \( +ab \) aufheben. Erkennungszeichen: gleiche Glieder in beiden Klammern, aber einmal mit Plus und einmal mit Minus verbunden.
3. Rückwärts: Faktorisieren mit binomischen Formeln
Ein Gleichheitszeichen gilt in beide Richtungen. Bisher bist du von links nach rechts gegangen (ausmultiplizieren). Genauso oft brauchst du den Weg von rechts nach links: aus einer Summe ein Produkt machen. Das heißt faktorisieren – und es ist die Grundlage für das Kürzen von Bruchtermen in Jahrgangsstufe 8 und für quadratische Gleichungen später.
So erkennst du, welche Formel passt: (1) Zuerst prüfen, ob sich ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt. (2) Zwei Glieder mit Minus dazwischen und beide Quadratzahlen bzw. Quadrate? → 3. Formel. (3) Drei Glieder, das erste und das letzte ein Quadrat? → Wurzeln ziehen, das ergibt \( a \) und \( b \); dann prüfen, ob das mittlere Glied wirklich \( 2ab \) ist. Vorzeichen des mittleren Glieds entscheidet zwischen 1. und 2. Formel.
Beispiel 1 – drei Glieder, Plus in der Mitte
| Aufgabe | \( 25x^2 + 20x + 4 \) |
| Wurzeln der Außenglieder | \( a = 5x \) (denn \( (5x)^2 = 25x^2 \)), \( b = 2 \) |
| Mittelglied prüfen | \( 2ab = 2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x \) ✓ passt |
| Ergebnis | \( (5x + 2)^2 \) |
Kontrolle durch Ausmultiplizieren: \( (5x+2)(5x+2) = 25x^2 + 10x + 10x + 4 = 25x^2 + 20x + 4 \) ✓.
Beispiel 2 – drei Glieder, Minus in der Mitte, zwei Variablen
| Aufgabe | \( 9a^2 – 30ab + 25b^2 \) |
| Wurzeln | \( 3a \) und \( 5b \) |
| Mittelglied prüfen | \( 2 \cdot 3a \cdot 5b = 30ab \) ✓ passt, Vorzeichen minus |
| Ergebnis | \( (3a – 5b)^2 \) |
Kontrolle durch Ausmultiplizieren: \( (3a-5b)(3a-5b) = 9a^2 – 15ab – 15ab + 25b^2 = 9a^2 – 30ab + 25b^2 \) ✓. Zusätzlich mit \( a = 1,\ b = 1 \): \( 9 – 30 + 25 = 4 \) und \( (3-5)^2 = (-2)^2 = 4 \) ✓.
Beispiel 3 – zwei Glieder mit Minus: die dritte Formel
| Aufgabe | \( 49x^2 – 16 \) |
| Wurzeln | \( 7x \) und \( 4 \) |
| Ergebnis | \( (7x + 4)(7x – 4) \) |
Kontrolle: \( (7x+4)(7x-4) = 49x^2 – 28x + 28x – 16 = 49x^2 – 16 \) ✓. Wichtig: \( 49x^2 + 16 \) lässt sich nicht faktorisieren. Eine Summe zweier Quadrate zerfällt nicht – nur die Differenz.
Beispiel 4 – erst ausklammern, dann die Formel
| Aufgabe | \( 2x^2 – 18 \) |
| 2 ausklammern | \( 2(x^2 – 9) \) |
| 3. Formel anwenden | \( 2(x + 3)(x – 3) \) |
Kontrolle mit \( x = 1 \): links \( 2 – 18 = -16 \), rechts \( 2 \cdot 4 \cdot (-2) = -16 \) ✓. Hättest du sofort nach der 3. Formel gesucht, wärst du gescheitert: 2 ist keine Quadratzahl. Ausklammern kommt immer zuerst.
Merke: Beim Faktorisieren gehst du in dieser Reihenfolge vor: 1. gemeinsamen Faktor ausklammern – 2. Anzahl der Glieder zählen. Zwei Glieder mit Minus → 3. binomische Formel. Drei Glieder → Wurzeln der Außenglieder ziehen und prüfen, ob das Mittelglied genau \( 2ab \) ist; erst dann darfst du \( (a+b)^2 \) bzw. \( (a-b)^2 \) schreiben. Eine Summe zweier Quadrate ist nicht faktorisierbar.
4. Extremwerte durch quadratische Ergänzung
Ein Term wie \( x^2 – 6x + 11 \) heißt quadratischer Term, weil 2 die höchste Potenz der Variablen ist. Weitere Beispiele: \( x^2 + 3 \), \( -x^2 + 14x \), \( x(14 – x) \). Ein solcher Term nimmt für jedes \( x \in \text{IR} \) irgendeinen Wert an. Die spannende Frage lautet: Welchen kleinsten Wert kann er überhaupt annehmen – und bei welchem \( x \)? Ableitungen brauchst du dafür nicht. Du brauchst nur eine einzige Beobachtung:
Ein Quadrat ist nie negativ. Wenn es dir also gelingt, den Term in der Form „Quadrat plus feste Zahl“ zu schreiben, kannst du den Extremwert direkt ablesen. Genau dazu dient die quadratische Ergänzung: Du ergänzt den Term künstlich zu einem vollständigen Quadrat – und ziehst dieselbe Zahl gleich wieder ab, damit sich der Wert des Terms nicht ändert.
Woher der Name kommt: die fehlende Ecke
Zeichne die erste binomische Formel als Fläche. Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a + b \) zerfällt in vier Teile: das große Quadrat \( a^2 \), zwei Rechtecke mit je \( a \cdot b \) – und in der Ecke fehlt genau ein kleines Quadrat \( b^2 \).
„Quadratisch ergänzen“ heißt wörtlich: die fehlende Ecke hinzufügen, damit ein vollständiges Quadrat entsteht.
In der Rechnung darfst du die Ecke natürlich nicht einfach dazuschenken – sonst wäre der Term ein anderer. Du addierst und subtrahierst \( b^2 \) im selben Schritt. Unterm Strich hast du null addiert, aber die Form ist jetzt brauchbar.
Beispiel 1 – ein Minimum
Bestimme den kleinsten Wert des Terms \( x^2 – 6x + 11 \) mit \( x \in \text{IR} \).
| Term | \( x^2 – 6x + 11 \) |
| Vorfaktor von \( x \) halbieren | \( -6 : 2 = -3 \), quadriert: \( 9 \) |
| 9 addieren und subtrahieren | \( x^2 – 6x + 9 – 9 + 11 \) |
| 2. Formel rückwärts | \( (x – 3)^2 – 9 + 11 \) |
| Scheitelform | \( (x – 3)^2 + 2 \) |
Ablesen: \( (x-3)^2 \) ist nie negativ, also ist der Term nie kleiner als 2. Den Wert 2 erreicht er genau dann, wenn \( (x-3)^2 = 0 \) ist, also für \( x = 3 \). Der Term hat das Minimum 2 an der Stelle \( x = 3 \).
Kontrolle: Einsetzen von \( x = 3 \) in den Ausgangsterm: \( 9 – 18 + 11 = 2 \) ✓. Zwei Nachbarwerte zur Sicherheit: \( x = 2 \) gibt \( 4 – 12 + 11 = 3 > 2 \) ✓, \( x = 4 \) gibt \( 16 – 24 + 11 = 3 > 2 \) ✓. Rückprobe der Umformung: \( (x-3)^2 + 2 = x^2 – 6x + 9 + 2 = x^2 – 6x + 11 \) ✓.
Beispiel 2 – mit Vorfaktor vor \( x^2 \)
Steht vor \( x^2 \) eine Zahl \( a \ne 1 \), klammerst du sie zuerst aus den beiden ersten Gliedern aus. Bestimme den Extremwert von \( 3x^2 – 12x + 20 \).
| 3 ausklammern | \( 3(x^2 – 4x) + 20 \) |
| ergänzen (\( -4:2 = -2 \), quadriert 4) | \( 3\big[(x – 2)^2 – 4\big] + 20 \) |
| Klammer auflösen | \( 3(x – 2)^2 – 12 + 20 \) |
| Scheitelform | \( 3(x – 2)^2 + 8 \) |
Weil \( 3 > 0 \) ist, ist \( 3(x-2)^2 \) ebenfalls nie negativ: Minimum 8 bei \( x = 2 \). Kontrolle: \( 3 \cdot 4 – 24 + 20 = 12 – 24 + 20 = 8 \) ✓. Achte auf die eckige Klammer: Die \( -4 \) steht innerhalb der ausgeklammerten 3 und wird beim Auflösen mit 3 multipliziert, also \( -12 \), nicht \( -4 \).
Beispiel 3 – ein Maximum
Ist der Vorfaktor negativ, kippt die Sache um: \( -2(x-3)^2 \) ist nie positiv, der Term hat dann ein Maximum. Bestimme den Extremwert von \( -2x^2 + 12x – 13 \).
| \( -2 \) ausklammern | \( -2(x^2 – 6x) – 13 \) |
| ergänzen (\( -6:2 = -3 \), quadriert 9) | \( -2\big[(x – 3)^2 – 9\big] – 13 \) |
| Klammer auflösen | \( -2(x – 3)^2 + 18 – 13 \) |
| Scheitelform | \( -2(x – 3)^2 + 5 \) |
Maximum 5 bei \( x = 3 \). Kontrolle: \( -2 \cdot 9 + 36 – 13 = -18 + 36 – 13 = 5 \) ✓. Nachbarwert \( x = 4 \): \( -32 + 48 – 13 = 3 < 5 \) ✓. Beachte das Vorzeichen beim Ausklammern: Aus \( +12x \) wird in der Klammer \( -6x \), weil \( -2 \cdot (-6x) = +12x \).
Beispiel 4 – Extremwertaufgabe im Holzwerk Brandl
Aus einer 24 m langen Kantenschutzleiste soll im Lager des Holzwerks eine rechteckige Stellfläche vollständig umrandet werden. Die Leiste wird restlos verbraucht. Welche Maße ergeben den größten Flächeninhalt, und wie groß ist er?
| Festlegung | \( x \) = Länge in m, Definitionsbereich \( 0 < x < 12 \) |
| Umfang | \( 2(x + y) = 24 \;\Rightarrow\; y = 12 – x \) |
| Flächenterm | \( A(x) = x(12 – x) = -x^2 + 12x \) |
| \( -1 \) ausklammern | \( -(x^2 – 12x) \) |
| ergänzen (\( -12:2 = -6 \), quadriert 36) | \( -\big[(x – 6)^2 – 36\big] \) |
| Scheitelform | \( A(x) = -(x – 6)^2 + 36 \) |
Der Klammerausdruck wird abgezogen, also ist \( A(x) \) nie größer als 36. Den Wert 36 erreicht die Fläche genau für \( x = 6 \). Dann ist \( y = 12 – 6 = 6 \) – die optimale Fläche ist ein Quadrat. Und \( x = 6 \) liegt im Definitionsbereich \( 0 < x < 12 \) ✓.
Probe am Text: Umfang \( 2 \cdot (6\ \text{m} + 6\ \text{m}) = 24\ \text{m} \) ✓, Fläche \( 6\ \text{m} \cdot 6\ \text{m} = 36\ \text{m}^2 \) ✓. Gegenprobe mit zwei anderen zulässigen Maßen: \( x = 5 \) gibt \( 5 \cdot 7 = 35\ \text{m}^2 < 36 \) ✓, \( x = 8 \) gibt \( 8 \cdot 4 = 32\ \text{m}^2 < 36 \) ✓. Antwort: Die größte Stellfläche entsteht bei 6 m mal 6 m und beträgt 36 m².
Merke: Quadratische Ergänzung in vier Schritten: (1) Vorfaktor von \( x^2 \) aus den ersten beiden Gliedern ausklammern. (2) Vorfaktor von \( x \) halbieren und quadrieren. (3) Diese Zahl in der Klammer addieren und sofort wieder subtrahieren. (4) Mit der 1. oder 2. binomischen Formel rückwärts zusammenfassen. Ergebnis: \( a(x – x_S)^2 + y_S \). Der Extremwert ist \( y_S \) an der Stelle \( x_S \) – ein Minimum für \( a > 0 \), ein Maximum für \( a < 0 \). Bei Sachaufgaben immer noch prüfen, ob \( x_S \) im Definitionsbereich liegt.
5. Gleichungen und Ungleichungen mit Summentermen
Jetzt bringen wir alles zusammen. In Gleichungen stehen auf beiden Seiten Terme mit Variablen – auch Klammerprodukte und binomische Formeln. Die Reihenfolge ist immer dieselbe: erst alle Klammern auflösen, dann zusammenfassen, dann Äquivalenzumformungen. Beim Ausmultiplizieren fallen die \( x^2 \)-Glieder häufig weg – und die Gleichung ist doch wieder linear.
Beispiel 1 – die Quadrate heben sich auf
Löse \( (x + 4)^2 – (x – 3)^2 = 49 \) über der Grundmenge \( \text{IR} \).
| beide Formeln anwenden | \( (x^2 + 8x + 16) – (x^2 – 6x + 9) = 49 \) |
| Minusklammer auflösen | \( x^2 + 8x + 16 – x^2 + 6x – 9 = 49 \) |
| zusammenfassen | \( 14x + 7 = 49 \) |
| \( -7 \), dann \( :14 \) | \( 14x = 42 \;\Rightarrow\; x = 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{3\} \) |
Probe: \( (3+4)^2 – (3-3)^2 = 49 – 0 = 49 \) ✓. Der häufigste Fehler steckt in Zeile 2: Vor der zweiten Klammer steht ein Minus, also drehen sich alle drei Vorzeichen darin um – auch das von \( +9 \).
Beispiel 2 – Ungleichungen: eine Regel ist neu
Eine Ungleichung löst du genauso wie eine Gleichung – mit einer einzigen Ausnahme: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Das kannst du dir an einem Zahlenbeispiel klarmachen: Aus der wahren Aussage \( 2 < 5 \) wird beim Verdoppeln \( 4 < 10 \) (weiter wahr), beim Mal-\( (-1) \)-Nehmen aber \( -2 > -5 \) – die Reihenfolge kippt.
| Ungleichung | \( 5x + 7 \le 22 \) |
| \( -7 \) | \( 5x \le 15 \) |
| \( :5 \) (positiv → Zeichen bleibt) | \( x \le 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{ x \in \text{IR} \mid x \le 3 \} \) |
Probe mit zwei Stichproben: \( x = 3 \) gibt \( 22 \le 22 \) ✓ · \( x = 4 \) gibt \( 27 \le 22 \), falsch – also darf 4 richtigerweise nicht zur Lösungsmenge gehören ✓.
Und der Fall mit dem Vorzeichenwechsel:
| Ungleichung | \( -3x < 12 \) |
| \( :(-3) \) → Zeichen dreht | \( x > -4 \), also \( \text{IL} = \{ x \in \text{IR} \mid x > -4 \} \) |
Probe: \( x = 0 \) gibt \( 0 < 12 \) ✓ (und 0 liegt tatsächlich in der Lösungsmenge) · \( x = -5 \) gibt \( 15 < 12 \), falsch ✓ (und \( -5 \) liegt richtigerweise nicht darin).
Beispiel 3 – Variablen auf beiden Seiten (zusätzlich für Mathematik I)
Stehen Variablen auf beiden Seiten, sammelst du sie zuerst auf einer Seite – genau wie bei einer Gleichung. Das reine Hin- und Herschieben ist eine Addition, das Zeichen bleibt dabei stehen. Aufpassen musst du erst beim letzten Schritt.
| Ungleichung | \( 4x – 5 > 7x + 10 \) |
| \( -7x \) und \( +5 \) | \( -3x > 15 \) |
| \( :(-3) \) → Zeichen dreht | \( x < -5 \), also \( \text{IL} = \{ x \in \text{IR} \mid x < -5 \} \) |
Probe: \( x = -6 \) gibt links \( -29 \), rechts \( -32 \), und \( -29 > -32 \) ✓ · \( x = -4 \) gibt links \( -21 \), rechts \( -18 \), und \( -21 > -18 \) ist falsch ✓. Beide Stichproben bestätigen die Grenze \( -5 \) und die Richtung des Zeichens.
Beispiel 4 – Ungleichung mit binomischen Formeln auf beiden Seiten (zusätzlich für Mathematik I)
Hier laufen alle Kapitel dieser Seite zusammen: Löse \( (x + 3)^2 > (x – 2)^2 \) über der Grundmenge \( \text{IR} \).
| 1. und 2. Formel | \( x^2 + 6x + 9 > x^2 – 4x + 4 \) |
| \( -x^2 \) (fällt beidseitig weg) | \( 6x + 9 > -4x + 4 \) |
| \( +4x \) und \( -9 \) | \( 10x > -5 \) |
| \( :10 \) (positiv → Zeichen bleibt) | \( x > -0{,}5 \), also \( \text{IL} = \{ x \in \text{IR} \mid x > -0{,}5 \} \) |
Probe: \( x = 0 \) gibt \( 3^2 = 9 \) gegen \( (-2)^2 = 4 \), und \( 9 > 4 \) ✓ · \( x = -1 \) gibt \( 2^2 = 4 \) gegen \( (-3)^2 = 9 \), und \( 4 > 9 \) ist falsch ✓ · die Grenze \( x = -0{,}5 \) gibt \( 2{,}5^2 = 6{,}25 \) auf beiden Seiten, also Gleichheit – sie gehört richtigerweise nicht dazu ✓. Beachte: Obwohl in der Aufgabe Quadrate stehen, ist die Ungleichung linear, weil sich \( x^2 \) beidseitig aufhebt.
Merke: Bei Gleichungen und Ungleichungen mit Klammern gilt: erst ausmultiplizieren, dann zusammenfassen, dann umformen. Vor einer Minusklammer drehen sich alle Vorzeichen darin um. Bei Ungleichungen kommt eine einzige zusätzliche Regel dazu: Mal oder geteilt durch eine negative Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um – Addieren und Subtrahieren dagegen nie. Die Lösungsmenge schreibst du als \( \text{IL} = \{ x \in \text{IR} \mid \dots \} \) und prüfst sie mit zwei Stichproben: eine innerhalb, eine außerhalb.
6. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die sechs Kernpunkte dieser Seite:
- Zwei Klammern multiplizierst du, indem jedes Glied mit jedem multipliziert wird – vier Pfeile, vier Produkte, oben herum und unten herum.
- Die drei binomischen Formeln sind nur Spezialfälle davon und jederzeit mit den Pfeilen herleitbar: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \), \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \).
- Das Vorzeichen fährt auf den Pfeilen mit. Deshalb ist das letzte Glied der 2. Formel \( +b^2 \), und deshalb heben sich bei der 3. Formel die beiden gemischten Glieder auf.
- Rückwärts gelesen dienen dieselben Formeln zum Faktorisieren – aber erst ausklammern, dann die Formel suchen, und immer das Mittelglied auf \( 2ab \) prüfen.
- Der Extremwert eines Terms \( ax^2 + bx + c \) folgt aus der quadratischen Ergänzung: In der Form \( a(x – x_S)^2 + y_S \) liest du ihn ab – Minimum für \( a > 0 \), Maximum für \( a < 0 \). Begründung: Ein Quadrat ist nie negativ.
- In Gleichungen und Ungleichungen löst du Klammern zuerst auf; die \( x^2 \)-Glieder heben sich dabei meist weg. Nur bei Mal oder Geteilt mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
7. So fragt die Abschlussprüfung
Binomische Formeln stehen in der Prüfung nie als reine Rechenübung da. Sie sind der Zwischenschritt: beim Aufstellen eines Flächenterms, beim Kürzen, beim Lösen einer Gleichung mit Klammern oder beim Bestimmen eines Extremwerts. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext:
Aufgabe 1 – Flächenterm aufstellen und ausmultiplizieren. Eine quadratische Tischplatte mit der Kantenlänge \( x \) (in dm) soll auf jeder Seite um 3 dm verbreitert werden. Stelle einen Term für die neue Fläche auf, multipliziere ihn aus und berechne den Wert für \( x = 7 \).
| Definitionsbereich | \( x \in \text{IR}, \; x > 0 \) |
| Ansatz | \( A(x) = (x+3)^2 \) |
| 1. binomische Formel | \( A(x) = x^2 + 6x + 9 \) |
| einsetzen \( x = 7 \) | \( 49 + 42 + 9 = 100\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe: Direkt in die Klammerform eingesetzt: \( (7+3)^2 = 10^2 = 100 \) ✓. Genau das ist der Sinn des Ausmultiplizierens – beide Formen müssen für jedes \( x \) denselben Wert liefern. Antwort: Die verbreiterte Platte hat 100 dm² Fläche.
Aufgabe 2 – Faktorisieren mit der 3. binomischen Formel. Aus einer quadratischen Platte mit 12 dm Kantenlänge sägt Jonas ein Quadrat mit 8 dm Kantenlänge heraus. Berechne die Restfläche geschickt, ohne beide Quadrate einzeln auszurechnen.
| Ansatz | \( A = 12^2 – 8^2 \) |
| 3. binomische Formel rückwärts | \( A = (12+8)(12-8) \) |
| ausrechnen | \( A = 20 \cdot 4 = 80\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe: Einzeln gerechnet: \( 144 – 64 = 80 \) ✓. Die 3. binomische Formel spart hier zwei Quadratrechnungen – erkennbar ist sie immer daran, dass eine Differenz zweier Quadrate dasteht. Antwort: Die Restfläche beträgt 80 dm².
Aufgabe 3 – Gleichung mit Klammern. Zwei quadratische Regalfronten werden verglichen. Die eine hat die Kantenlänge \( x + 5 \), die andere \( x – 3 \) (in dm). Ihre Flächen unterscheiden sich um 144 dm². Bestimme \( x \).
| Definitionsbereich | \( x \in \text{IR}, \; x > 3 \) (beide Kanten positiv) |
| Gleichung | \( (x+5)^2 – (x-3)^2 = 144 \) |
| beide Klammern auflösen | \( x^2 + 10x + 25 – (x^2 – 6x + 9) = 144 \) |
| Minusklammer, zusammenfassen | \( 16x + 16 = 144 \) |
| Lösungsmenge | \( 16x = 128 \;\Rightarrow\; x = 8, \; \text{IL} = \{8\} \) |
Probe in der Ausgangsgleichung: \( (8+5)^2 – (8-3)^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144 \) ✓. Und \( 8 > 3 \), die Lösung liegt also im Definitionsbereich ✓. Antwort: Es ist \( x = 8\ \text{dm} \); die Fronten messen 13 dm und 5 dm. Beachte: Die \( x^2 \)-Glieder heben sich weg – deshalb bleibt eine lineare Gleichung übrig.
Aufgabe 4 – Extremwert mit quadratischer Ergänzung. Merve hat 40 dm Kantenumleimer und will damit eine rechteckige Tischplatte mit größtmöglicher Fläche einfassen. Welche Maße wählt sie?
| Seiten aus dem Umfang | \( 2x + 2y = 40 \;\Rightarrow\; y = 20 – x \) |
| Definitionsbereich | \( x \in \text{IR}, \; 0 < x < 20 \) |
| Flächenterm | \( A(x) = x(20-x) = -x^2 + 20x \) |
| quadratisch ergänzen | \( A(x) = -\left(x^2 – 20x\right) = -\left((x-10)^2 – 100\right) \) |
| Scheitelform | \( A(x) = -(x-10)^2 + 100 \;\Rightarrow\; A_{\max} = 100\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe: Weil \( (x-10)^2 \ge 0 \) ist und davor ein Minus steht, wird \( A(x) \) genau bei \( x = 10 \) am größten. Dann ist \( y = 20 – 10 = 10 \), also \( A = 10 \cdot 10 = 100\ \text{dm}^2 \) ✓. Kontrolle mit Nachbarwerten: \( x = 9 \) gibt \( 9 \cdot 11 = 99 \), \( x = 11 \) gibt \( 11 \cdot 9 = 99 \) – beide kleiner ✓. Antwort: Merve wählt 10 dm × 10 dm, also ein Quadrat, und erhält 100 dm².
8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Mittelglied \( 2ab \) vergessen. Ursache: \( (x+3)^2 \) wird als \( x^2 + 9 \) geschrieben, weil das Quadrat gliedweise gezogen wird. Vermeidung: Setze zur Kontrolle eine einfache Zahl ein, z. B. \( x = 1 \): \( (1+3)^2 = 16 \), aber \( 1 + 9 = 10 \) – der Fehler fällt sofort auf.
- Letztes Glied der 2. Formel negativ gemacht. Ursache: Aus \( (a-b)^2 \) wird \( a^2 – 2ab – b^2 \). Vermeidung: \( (-b) \cdot (-b) = +b^2 \) – minus mal minus ist plus. Nur das Mittelglied trägt das Minus.
- Vorzeichen in der Minusklammer nicht alle gedreht. Ursache: Bei \( -(x^2 – 6x + 9) \) wird nur das erste Glied umgedreht. Vermeidung: Schreibe die aufgelöste Klammer als eigene Zeile hin – jedes Glied darin wechselt das Vorzeichen: \( -x^2 + 6x – 9 \).
- Beim Faktorisieren nicht zuerst ausgeklammert. Ursache: Bei \( 2x^2 – 18 \) wird direkt nach einer binomischen Formel gesucht, obwohl 2 fehlt. Vermeidung: Erst den gemeinsamen Faktor ziehen – \( 2(x^2 – 9) = 2(x+3)(x-3) \).
- Binomische Formel erzwungen, wo keine ist. Ursache: \( x^2 + 5x + 9 \) wird als \( (x+3)^2 \) gelesen, weil \( 9 = 3^2 \) passt. Vermeidung: Prüfe immer das Mittelglied: Es müsste \( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \) sein, nicht \( 5x \) – also keine binomische Formel.
- Bei der quadratischen Ergänzung das Minus vor der Klammer übersehen. Ursache: Aus \( -\left((x-10)^2 – 100\right) \) wird \( -(x-10)^2 – 100 \). Vermeidung: Das Minus wirkt auf beide Glieder in der Klammer, \( -100 \) wird also \( +100 \) – und \( +100 \) ist genau der gesuchte Extremwert.
- Definitionsbereich der Sachaufgabe weggelassen. Ursache: Der Flächenterm wird aufgestellt, ohne zu sagen, welche \( x \)-Werte geometrisch möglich sind. Vermeidung: Frage, wann eine Seite 0 oder negativ würde – bei \( A(x) = x(20-x) \) ist das \( 0 < x < 20 \) mit \( x \in \text{IR} \).
Weiterlernen
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen (Jgst. 7) – das Vorwissen: Äquivalenzumformungen und das Distributivgesetz.
- Bruchterme und Bruchgleichungen – dort brauchst du das Faktorisieren, um Bruchterme zu kürzen.
- Systeme linearer Gleichungen – der nächste Schritt bei Gleichungen: zwei Unbekannte auf einmal.
- Quadratische Funktionen – dort wird aus der Scheitelform \( a(x-x_S)^2 + y_S \) der Scheitelpunkt einer Parabel.
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