Mathematik Realschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich „Bruchterme und Bruchgleichungen“ (LehrplanPLUS) · BY

Bruchterme und Bruchgleichungen: wenn die Variable im Nenner steht

Brüche kennst du seit Jahren. Neu ist jetzt nur eine Kleinigkeit – und die hat es in sich: Im Nenner steht kein fester Zahlenwert mehr, sondern ein Term mit einer Variablen. Damit taucht eine Frage auf, die es bei \( \tfrac{3}{4} \) nie gab: Darf die Variable überhaupt jeden Wert annehmen? Nein. Durch null darf man nicht teilen, und genau deshalb gehört zu jedem Bruchterm die Definitionsmenge. Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach, wie du sie bestimmst, wie du Bruchterme kürzt und verrechnest – und wie du Bruchgleichungen löst, ohne in die Falle der Scheinlösung zu tappen.

Inhalt dieser Seite

1. Bruchterme erkennen und die Definitionsmenge bestimmen
2. Bruchterme kürzen – erst faktorisieren, dann kürzen
3. Bruchterme addieren und subtrahieren – der Hauptnenner
4. Bruchterme multiplizieren und dividieren
5. Bruchgleichungen lösen – und Scheinlösungen erkennen
6. Das Wichtigste in Kürze

1. Bruchterme erkennen und die Definitionsmenge bestimmen

Ein Bruchterm ist ein Term, bei dem im Nenner eine Variable vorkommt. \( \dfrac{x}{5} \) ist kein Bruchterm – der Nenner ist die feste Zahl 5. \( \dfrac{5}{x} \) dagegen schon, denn hier hängt der Nenner von \( x \) ab.

Und genau das ist der Punkt: Setzt du \( x = 0 \) ein, steht dort \( \tfrac{5}{0} \). Division durch null ist nicht definiert – es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert 5 ergibt. Der Term hat an dieser Stelle also gar keinen Wert. Man sagt: \( x = 0 \) ist eine Definitionslücke.

Deshalb gibst du zu jedem Bruchterm die Definitionsmenge an. Sie enthält alle Zahlen, die du einsetzen darfst:

Beispiel 1 – ein Nenner, eine Lücke

Gegeben ist der Bruchterm \( \dfrac{5}{x-3} \). Du fragst: Wann wird der Nenner null?

Alle reellen Zahlen sind erlaubt – nur die 3 nicht. Auf dem Zahlenstrahl ist das ein einzelner „verbotener Punkt“, den man als offenen Kreis zeichnet:

Der offene Kreis bedeutet: Diese eine Stelle ist herausgenommen, alles andere bleibt erlaubt.

Beispiel 2 – ein Nenner, zwei Lücken

Gegeben ist \( \dfrac{2x}{x^2-16} \). Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Also faktorisierst du den Nenner zuerst – hier mit der dritten binomischen Formel:

Kontrolle: \( 4^2 – 16 = 0 \) ✓ und \( (-4)^2 – 16 = 16 – 16 = 0 \) ✓. Beide Stellen machen den Nenner tatsächlich null.

Beispiel 3 – wenn gar nichts verboten ist

Bei \( \dfrac{x+1}{x^2+4} \) ist \( x^2 \ge 0 \) für jede reelle Zahl, also ist \( x^2 + 4 \ge 4 \) und damit niemals null. Hier gibt es keine Definitionslücke: \( \text{D} = \text{IR} \). Auch das schreibst du hin – die Definitionsmenge fehlt nie, sie ist hier nur vollständig.

Beispiel 4 – aus dem Holzwerk Brandl

In der Lackiererei rührt Merve eine Beize an: 2 Liter Konzentrat, dazu \( x \) Liter Wasser. Der Anteil des Konzentrats an der fertigen Mischung ist dann

Der Nenner wird null für \( 2 + x = 0 \), also \( x = -2 \). Mathematisch gilt \( \text{D} = \text{IR} \setminus \{-2\} \). In der Praxis kommt eine zweite Überlegung dazu: Negative Wassermengen gibt es nicht, sinnvoll ist also \( x \ge 0 \). Trenne beides sauber: Die Definitionsmenge folgt aus der Mathematik (Nenner ≠ 0), die zusätzliche Einschränkung aus dem Sachzusammenhang.

2. Bruchterme kürzen – erst faktorisieren, dann kürzen

Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch denselben Term dividieren. Bei Zahlen machst du das längst: \( \tfrac{12}{18} = \tfrac{2}{3} \), gekürzt mit 6. Bei Bruchtermen gilt dieselbe Regel – mit einer eisernen Bedingung:

Deshalb ist der erste Schritt immer das Faktorisieren: Zähler und Nenner in ein Produkt verwandeln, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst oder eine binomische Formel rückwärts liest. Erst wenn oben und unten Produkte stehen, darfst du kürzen.

Beispiel 1 – gemeinsamen Faktor ausklammern

Kürze \( \dfrac{6x+9}{4x+6} \) so weit wie möglich und gib die Definitionsmenge an.

Kontrolle mit einer Probezahl: Für \( x = 1 \) ist \( \dfrac{6+9}{4+6} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} \) ✓. Für \( x = 0 \) ist \( \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \) ✓. Der Term hat also überall denselben Wert \( \tfrac{3}{2} \) – außer bei \( x = -1{,}5 \), wo er gar keinen Wert hat. Die Definitionsmenge liest du am ursprünglichen Term ab, nicht am gekürzten: \( \tfrac{3}{2} \) allein würde die Lücke verschweigen.

Dieselbe Pfeil-Methode wie im Lernbereich „Terme und binomische Formeln“ – nur diesmal rückwärts gelesen.

Beispiel 2 – mit binomischen Formeln faktorisieren

Kürze \( \dfrac{x^2-25}{x^2+10x+25} \). Weder oben noch unten lässt sich etwas ausklammern – aber beides sind binomische Formeln. Bestimme wie in der Skizze \( a \) und \( b \) und lies die Formeln rückwärts.

Kontrolle mit \( x = 0 \): Ausgangsterm \( \dfrac{0-25}{0+0+25} = \dfrac{-25}{25} = -1 \); gekürzter Term \( \dfrac{0-5}{0+5} = \dfrac{-5}{5} = -1 \) ✓. Und mit \( x = 5 \): Ausgangsterm \( \dfrac{25-25}{25+50+25} = \dfrac{0}{100} = 0 \); gekürzt \( \dfrac{0}{10} = 0 \) ✓.

Der häufigste Fehler: Summanden kürzen

\( \dfrac{x+3}{3} \) ist nicht \( x \). Probe mit \( x = 6 \): links \( \tfrac{9}{3} = 3 \), rechts wäre 6 – falsch. Die 3 im Zähler ist ein Summand, kein Faktor. Ebenso ist \( \dfrac{x^2+4}{x+2} \) nicht kürzbar (hier ist \( \text{D} = \text{IR} \setminus \{-2\} \)): \( x^2+4 \) ist keine binomische Formel und lässt sich nicht in ein Produkt mit dem Faktor \( x+2 \) zerlegen. Merksatz aus der Unterstufe: „Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.“

3. Bruchterme addieren und subtrahieren – der Hauptnenner

Brüche mit gleichem Nenner addierst du, indem du die Zähler addierst. Stehen verschiedene Nenner da, musst du sie erst gleichnamig machen: Du suchst den Hauptnenner und erweiterst beide Brüche darauf. Genau wie bei \( \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{5}{6} \).

So findest du den Hauptnenner: (1) Alle Nenner faktorisieren. (2) Jeden vorkommenden Faktor in den Hauptnenner aufnehmen – jeweils in der höchsten Potenz, in der er auftritt. (3) Jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor erweitern. (4) Zähler zusammenfassen. (5) Zum Schluss prüfen, ob sich kürzen lässt.

Beispiel 1 – zwei verschiedene Nenner

Fasse \( \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x+1} \) zu einem Bruch zusammen.

Kontrolle mit \( x = 1 \): \( \dfrac{3}{1} + \dfrac{2}{2} = 3 + 1 = 4 \); Ergebnisterm: \( \dfrac{5+3}{1 \cdot 2} = \dfrac{8}{2} = 4 \) ✓.

Beispiel 2 – ein Nenner steckt im anderen

Berechne \( \dfrac{1}{x-3} – \dfrac{6}{x^2-9} \). Faktorisiere zuerst: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \). Damit ist der Hauptnenner schon da – es ist der zweite Nenner selbst.

Kontrolle mit \( x = 1 \): \( \dfrac{1}{-2} – \dfrac{6}{-8} = -0{,}5 + 0{,}75 = 0{,}25 \); Ergebnisterm: \( \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \) ✓.

Beachte die Definitionsmenge: Der gekürzte Term \( \tfrac{1}{x+3} \) wäre für \( x = 3 \) berechenbar – der Ausgangsterm ist es nicht. Deshalb bleibt die 3 ausgeschlossen. Bei einer Subtraktion gilt außerdem: Steht im zweiten Zähler mehr als ein Summand, musst du ihn beim Erweitern einklammern, sonst dreht sich nur beim ersten Summanden das Vorzeichen um.

4. Bruchterme multiplizieren und dividieren

Hier ändert sich gegenüber den Bruchzahlen aus Klasse 6 gar nichts. Es gelten genau dieselben zwei Regeln:

Multipliziert wird Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Dividiert wird, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst. Neu ist nur: Du musst vorher die Definitionsmenge klären, und du solltest vor dem Ausmultiplizieren kürzen – das spart viel Arbeit.

Beispiel 1 – multiplizieren

Berechne \( \dfrac{2x}{x+1} \cdot \dfrac{x^2-1}{4x} \).

Kontrolle mit \( x = 3 \): \( \dfrac{6}{4} \cdot \dfrac{9-1}{12} = \dfrac{6}{4} \cdot \dfrac{8}{12} = \dfrac{48}{48} = 1 \); Ergebnisterm: \( \dfrac{3-1}{2} = 1 \) ✓.

Beispiel 2 – dividieren

Berechne \( \dfrac{3}{x-2} : \dfrac{9}{x^2-4} \).

Kontrolle mit \( x = 4 \): \( \dfrac{3}{2} : \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{12}{9} = \dfrac{36}{18} = 2 \); Ergebnisterm: \( \dfrac{4+2}{3} = 2 \) ✓.

Achte beim Dividieren auf eine Besonderheit: Auch der Zähler des Divisors darf nicht null werden, denn durch einen Bruch mit dem Wert null darf man ebenfalls nicht teilen. Hier ist der Zähler die feste Zahl 9, das Problem tritt also nicht auf – steht dort aber ein Term mit \( x \), musst du auch ihn ausschließen.

5. Bruchgleichungen lösen – und Scheinlösungen erkennen

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable in mindestens einem Nenner steht. Der Trick beim Lösen: Du multiplizierst die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner. Dann verschwinden alle Brüche und übrig bleibt eine gewöhnliche Gleichung, die du längst lösen kannst.

Dabei entsteht aber eine Gefahr. Das Multiplizieren mit einem Term, der null sein könnte, ist keine Umformung, die man in jedem Fall rückgängig machen kann. So kann eine Zahl herauskommen, die die Ausgangsgleichung gar nicht erfüllt, weil sie gar nicht eingesetzt werden darf. Man nennt sie Scheinlösung. Deshalb gehört zu jeder Bruchgleichung dieser feste Ablauf:

Beispiel 1 – eine Verhältnisgleichung

Löse \( \dfrac{12}{x} = \dfrac{4}{x-2} \).

Probe: links \( \dfrac{12}{3} = 4 \), rechts \( \dfrac{4}{3-2} = \dfrac{4}{1} = 4 \) ✓.

Steht wie hier auf jeder Seite genau ein Bruch, nennt man die Gleichung Verhältnisgleichung. Dann geht es noch kürzer: Du multiplizierst kreuzweise – Zähler der einen Seite mal Nenner der anderen. Aus \( \dfrac{12}{x} = \dfrac{4}{x-2} \) wird direkt \( 12(x-2) = 4x \), also dasselbe wie oben. Die Definitionsmenge und die Probe brauchst du aber genauso.

Beispiel 2 – drei Nenner, einer davon zusammengesetzt

Löse \( \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{8}{x^2-4} \). Faktorisiere zuerst den rechten Nenner: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \). Das ist auch schon der Hauptnenner.

Probe: links \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \), rechts \( \dfrac{8}{16-4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \) ✓.

Beispiel 3 – die Scheinlösung: hier musst du besonders aufpassen

Löse \( \dfrac{x}{x-4} = \dfrac{4}{x-4} + 3 \). Beide Brüche haben denselben Nenner, der Hauptnenner ist also \( x-4 \).

Die Rechnung liefert \( x = 4 \) – ausgerechnet die Zahl, die du ganz zu Beginn ausgeschlossen hast. Setzt du sie ein, steht links \( \tfrac{4}{0} \) und rechts \( \tfrac{4}{0} + 3 \): beides ist nicht definiert. \( x = 4 \) ist also keine Lösung, sondern nur ein Ergebnis der Multiplikation mit \( x-4 \) – und dieser Faktor ist für \( x = 4 \) gerade null. Die Gleichung hat gar keine Lösung: \( \text{IL} = \{\;\} \).

Ohne den Vergleich mit der Definitionsmenge hättest du hier eine falsche Lösung hingeschrieben.

Beispiel 4 – eine Verhältnisgleichung aus dem Holzwerk Brandl

Merve hat 2 Liter Beizkonzentrat. Sie soll es mit Wasser so verdünnen, dass das Konzentrat genau ein Fünftel der fertigen Mischung ausmacht. Wie viel Liter Wasser muss sie zugeben?

Nennst du die Wassermenge \( x \) (in Litern), ist die Gesamtmenge \( 2+x \) Liter und der Konzentratanteil \( \tfrac{2}{2+x} \). Gefordert ist:

Probe am Text: 2 l Konzentrat und 8 l Wasser ergeben 10 l Mischung. Der Konzentratanteil ist \( \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \) ✓. Antwort: Merve gibt 8 Liter Wasser zu.

6. Das Wichtigste in Kürze

7. So fragt die Abschlussprüfung

Bei Bruchtermen achtet die Prüfung fast immer auf zwei Dinge: die Definitionsmenge und die Scheinlösung. Beides gibt eigene Punkte – unabhängig davon, ob du richtig gerechnet hast. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext:

Aufgabe 1 – Definitionsmenge angeben und kürzen. In einer Kalkulationsformel des Holzwerks steht der Term \( T(x) = \dfrac{x^2 – 16}{x^2 – 4x} \). Gib \( \text{D} \) an, kürze so weit wie möglich und berechne \( T(2) \).

Gegenprobe im ursprünglichen Term: \( \dfrac{2^2-16}{2^2-4\cdot 2} = \dfrac{4-16}{4-8} = \dfrac{-12}{-4} = 3 \) ✓. Antwort: \( \text{D} = \text{IR} \setminus \{0;\,4\} \), \( T(x) = \frac{x+4}{x} \) und \( T(2) = 3 \). Wichtig: Die Definitionsmenge wird am ursprünglichen Nenner bestimmt – die 4 bleibt ausgeschlossen, obwohl sie sich weggekürzt hat.

Aufgabe 2 – Subtrahieren über den Hauptnenner. Fasse \( \dfrac{1}{x-2} – \dfrac{1}{x+2} \) zu einem Bruchterm zusammen und gib \( \text{D} \) an.

Gegenprobe mit \( x = 4 \): Ausgangsterm: \( \frac{1}{2} – \frac{1}{6} = \frac{3}{6} – \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Ergebnis: \( \frac{4}{16-4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) ✓. Antwort: \( \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2-4} \) mit \( \text{D} = \text{IR} \setminus \{-2;\,2\} \). Der Klammer um den zweiten Zähler ist hier alles: Ohne sie käme \( \frac{4x}{x^2-4} \) heraus.

Aufgabe 3 – Bruchgleichung mit Scheinlösung. Löse \( \dfrac{x^2}{x-5} = \dfrac{25}{x-5} \) in \( \text{IR} \).

Probe in der Ausgangsgleichung: Für \( x = -5 \) ist links \( \frac{25}{-10} = -2{,}5 \) und rechts \( \frac{25}{-10} = -2{,}5 \) ✓. Für \( x = 5 \) stünde in beiden Nennern 0 – nicht erlaubt. Antwort: \( \text{IL} = \{-5\} \). Genau hier verlieren die meisten den Punkt: Ohne den Vergleich mit \( \text{D} \) würde man 5 mit angeben.

Aufgabe 4 – Bruchgleichung im Sachkontext. In der Produktionsplanung gilt: Wenn Katharina Brandl 6 Regalsysteme zur aktuellen Stückzahl \( x \) der Massivholztische hinzuzählt und dann 2 Tische abzieht, ist das Verhältnis genau 3 zu 1, also \( \dfrac{x+6}{x-2} = 3 \). Bestimme \( x \).

Probe in der Ausgangsgleichung: \( \dfrac{6+6}{6-2} = \dfrac{12}{4} = 3 \) ✓, und \( 6 \in \text{D} \) ✓. Antwort: Es sind 6 Massivholztische in Arbeit.

8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Definitionsmenge gar nicht angegeben. Ursache: Es wird direkt gerechnet, weil der Nenner „schon in Ordnung“ aussieht. Vermeidung: Die erste Zeile jeder Bruchterm-Aufgabe lautet „\( \text{D} = \text{IR} \setminus \{\dots\} \)“. Ohne sie kannst du die Scheinlösung später nicht erkennen.
• \( \text{D} \) am gekürzten statt am ursprünglichen Nenner bestimmt. Ursache: Nach dem Kürzen von \( (x-4) \) wirkt die 4 harmlos. Vermeidung: Bestimme \( \text{D} \) vor dem Kürzen – einmal ausgeschlossen, bleibt eine Zahl ausgeschlossen.
• Summanden gekürzt statt Faktoren. Ursache: In \( \frac{x^2-16}{x^2-4x} \) werden die beiden \( x^2 \) „weggestrichen“. Vermeidung: Gekürzt wird nur, was als Faktor in einem Produkt steht – also erst faktorisieren, dann kürzen. Merksatz: „Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.“
• Beim Subtrahieren den Zähler nicht eingeklammert. Ursache: Aus \( \frac{(x+2)-(x-2)}{\dots} \) wird \( \frac{x+2-x-2}{\dots} = 0 \). Vermeidung: Setze beim Minus immer eine Klammer um den ganzen zweiten Zähler und dreh dann alle Vorzeichen darin.
• Scheinlösung mitangegeben. Ursache: Nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner wird das Ergebnis nicht mehr mit \( \text{D} \) verglichen. Vermeidung: Nach jedem gelösten \( x \) folgt der Satz „\( x \in \text{D} \)?“ – ist die Antwort nein, wird die Zahl verworfen; bleibt keine übrig, ist \( \text{IL} = \{\;\} \).
• Bei \( x^2 = 25 \) nur die positive Wurzel genannt. Ursache: Die negative Lösung wird übersehen. Vermeidung: Eine Gleichung der Form \( x^2 = a \) mit \( a > 0 \) hat zwei Lösungen: \( +\sqrt{a} \) und \( -\sqrt{a} \) – hier war ausgerechnet die negative die einzig gültige.
• Beim Dividieren nicht mit dem Kehrbruch multipliziert. Ursache: Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner geteilt. Vermeidung: Division durch einen Bruch heißt Multiplikation mit dem Kehrbruch – zweiten Bruch umdrehen, Rechenzeichen auf Malpunkt ändern.

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