Mathematik Realschule Bayern · Mathematik I: Jgst. 9, Lernbereich 7 · Mathematik II/III: Jgst. 10, Lernbereich 4 · „Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen“ (LehrplanPLUS) · BY
Quadratische Funktionen: die Parabel lesen, umformen und ausrechnen
Bei einer linearen Funktion ändert sich der Wert immer gleich schnell – der Graph ist eine Gerade. Sobald aber ein \( x^2 \) im Term steht, ist damit Schluss: Der Graph wird zu einer Parabel, er hat einen höchsten oder tiefsten Punkt, und die Frage nach den Nullstellen führt auf eine quadratische Gleichung. Genau das macht dieses Kapitel so wichtig: Wurfbahnen, größtmögliche Flächen und Gewinnverläufe sind fast immer quadratisch. Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach, was die Parameter einer Parabelgleichung bewirken, wie du zwischen den beiden Schreibweisen wechselst und wie du jede quadratische Gleichung mit der Lösungsformel sicher löst.
Mathematik I behandelt dieses Thema bereits in der 9. Klasse, Mathematik II/III erst in der 10. Klasse – der Unterschied ist nur der Zeitpunkt. Der gesamte Hauptteil dieser Seite gilt für alle Ausrichtungen gleichermaßen. Mathematik I hat mit 42 Stunden gegenüber 35 Stunden mehr Zeit und dazu drei zusätzliche Inhalte; die stehen gebündelt im letzten Abschnitt „Nur für Mathematik I“.
Wozu brauchst du das?
Immer dann, wenn eine Größe erst steigt und dann wieder fällt – oder umgekehrt: die Flugbahn eines geworfenen Gegenstands · die größtmögliche Fläche, die sich mit einer festen Zaunlänge einzäunen lässt · der Preis, bei dem der Gewinn am höchsten ist · der Bremsweg eines Fahrzeugs, der mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst · die Form eines durchhängenden Seils oder einer Brückenbogenkonstruktion. In der Abschlussprüfung gehören quadratische Funktionen zu den sichersten Punktebringern, weil die Aufgabentypen sich kaum ändern: Scheitel bestimmen, Nullstellen berechnen, Schnittpunkte mit einer Geraden, Extremwert einer Sachaufgabe.
Was der LehrplanPLUS verlangt (Kompetenzerwartungen im Wortlaut)
Für alle Ausrichtungen – Mathematik I (Jgst. 9, 42 Std.) und Mathematik II/III (Jgst. 10, 35 Std.):
- „identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = ax2 + bx + c und y = a ( x – xS )2 + yS als Parabelgleichungen und beschreiben die Bedeutung der auftretenden Parameter.“
- „bestimmen die Gleichung einer quadratischen Funktion aus vorgegebenen Bestimmungsstücken und Graphen, wechseln durch Termumformung zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktsform und nutzen die Vorteile der jeweiligen Form situationsgerecht.“ (Mathematik II/III wortgleich, dort „wechseln mithilfe von Termumformungen“.)
- „ermitteln die Koordinaten des Scheitelpunkts von Parabeln, bestimmen die Definitions- und Wertemenge und zeichnen die Graphen von quadratischen Funktionen.“
- „lösen Extremwertprobleme bei Aufgaben mit funktionalen Abhängigkeiten (z. B. bei Flächeninhalten).“
- „ermitteln die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen auch mithilfe der Lösungsformel, nutzen die Diskriminante, um Voraussagen über die Lösbarkeit bzw. über die Anzahl der Lösungen zu treffen, und berechnen die Nullstellen quadratischer Funktionen.“
- „bestimmen die Lösungsmenge quadratischer Gleichungssysteme auch zur Berechnung der Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade bzw. zweier Parabeln.“
Nur Mathematik I (Jgst. 9) – erweiterte Fassung der Extremwert-Erwartung:
- „lösen Aufgaben zu quadratischen Funktionen (zum Beispiel bei Flug- und Wurfparabeln) und Extremwertprobleme bei Aufgaben mit funktionalen Abhängigkeiten (z. B. bei Flächeninhalten).“
Zusätzlich nur Mathematik I (Jgst. 9) – die drei Mehrinhalte:
- „analysieren Parabelscharen und ermitteln mit dem Parameterverfahren die Gleichung des Trägergraphen der Scheitelpunkte.“
- „interpretieren die geometrische Bedeutung der Diskriminante für die Lösung von Tangentialproblemen bei Parallelenscharen.“
- „lösen Wurzelgleichungen und beachten dabei die Definitionsmenge.“
Inhalt dieser Seite
- Die Normalparabel und der Parameter a
- Die Scheitelpunktform: den Scheitel sofort ablesen
- Zwischen den Formen wechseln: Ausmultiplizieren und quadratische Ergänzung
- Nullstellen mit der Lösungsformel – und die Diskriminante
- Die Funktionsgleichung aus Scheitel und Punkt bestimmen
- Schnittpunkte von Parabel und Gerade
- Sachaufgaben: Wurfparabel und größtmögliche Fläche
- Das Wichtigste in Kürze
- Nur für Mathematik I: Parabelscharen, Tangentialprobleme, Wurzelgleichungen
1. Die Normalparabel und der Parameter a
Die einfachste quadratische Funktion ist \( y = x^2 \). Ihr Graph heißt Normalparabel. Sie ist nach oben geöffnet, ihr tiefster Punkt ist der Ursprung \( S(0\,|\,0) \), und sie ist symmetrisch zur \( y \)-Achse – denn \( (-x)^2 = x^2 \), also liefern \( -3 \) und \( +3 \) denselben Funktionswert 9.
Setzt du vor das \( x^2 \) einen Faktor, entsteht \( y = ax^2 \). Dieser Parameter \( a \) entscheidet über zwei Dinge zugleich: über die Öffnungsrichtung und über die Öffnungsweite.
Je größer der Betrag von \( a \), desto enger die Parabel. Ein negatives \( a \) klappt sie nach unten.
| \( a > 0 \) | nach oben geöffnet, der Scheitel ist der tiefste Punkt |
| \( a < 0 \) | nach unten geöffnet, der Scheitel ist der höchste Punkt |
| \( |a| > 1 \) | enger als die Normalparabel (gestreckt) |
| \( |a| < 1 \) | weiter als die Normalparabel (gestaucht) |
Kontrolle durch Einsetzen: Bei \( x = 2 \) liefert \( y = x^2 \) den Wert 4, \( y = 2x^2 \) den Wert \( 2 \cdot 4 = 8 \), \( y = 0{,}5x^2 \) den Wert \( 0{,}5 \cdot 4 = 2 \) und \( y = -x^2 \) den Wert \( -4 \). An derselben Stelle \( x \) ist die Parabel mit dem größeren \( a \) also weiter oben – genau das siehst du im Bild.
Die Definitionsmenge ist bei jeder quadratischen Funktion \( \text{ID} = \text{IR} \): Du darfst jede reelle Zahl quadrieren. Die Wertemenge hängt dagegen vom Scheitel ab. Bei \( y = 2x^2 \) ist \( \text{IW} = \{\, y \in \text{IR} \mid y \ge 0 \,\} \), bei \( y = -x^2 \) dagegen \( \text{IW} = \{\, y \in \text{IR} \mid y \le 0 \,\} \).
Merke: Bei \( y = ax^2 \) bestimmt das Vorzeichen von \( a \) die Öffnungsrichtung (\( a > 0 \) nach oben, \( a < 0 \) nach unten) und der Betrag von \( a \) die Öffnungsweite (\( |a| > 1 \) enger, \( |a| < 1 \) weiter). Der Fall \( a = 0 \) ist ausgeschlossen – dann wäre die Funktion nicht mehr quadratisch. Die Definitionsmenge ist immer \( \text{ID} = \text{IR} \).
2. Die Scheitelpunktform: den Scheitel sofort ablesen
Verschiebst du die Parabel \( y = ax^2 \) um \( x_S \) nach rechts und um \( y_S \) nach oben, entsteht die Scheitelpunktform:
Der große Vorteil: Du musst nichts rechnen, du liest ab. Achte nur auf das Minuszeichen in der Klammer – es gehört zur Form dazu. Aus \( (x – 3)^2 \) folgt \( x_S = +3 \), aus \( (x + 3)^2 = (x – (-3))^2 \) folgt \( x_S = -3 \).
Beispiel – gegeben ist \( y = 0{,}5\,(x – 3)^2 – 2 \).
| Parameter \( a \) | \( a = 0{,}5 > 0 \) → nach oben geöffnet, weiter als die Normalparabel |
| Scheitel ablesen | \( S(3\,|\,-2) \) |
| Symmetrieachse | \( x = 3 \) |
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \text{IR} \) |
| Wertemenge | \( \text{IW} = \{\, y \in \text{IR} \mid y \ge -2 \,\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( x = 3 \) ergibt \( y = 0{,}5 \cdot 0^2 – 2 = -2 \) ✓. Die Symmetrie prüfst du an zwei Stellen mit gleichem Abstand zur Achse: \( x = 1 \) liefert \( 0{,}5 \cdot (-2)^2 – 2 = 2 – 2 = 0 \) und \( x = 5 \) liefert \( 0{,}5 \cdot 2^2 – 2 = 0 \) ✓. Beide Werte stimmen überein – und ganz nebenbei sind das schon die beiden Nullstellen.
Scheitel, Symmetrieachse und Nullstellen liegen immer symmetrisch zueinander.
Merke: In der Scheitelpunktform \( y = a\,(x – x_S)^2 + y_S \) liest du den Scheitel \( S(x_S\,|\,y_S) \) direkt ab – mit umgekehrtem Vorzeichen bei \( x_S \). Die Symmetrieachse ist die Gerade \( x = x_S \). Ist \( a > 0 \), so ist \( y_S \) der kleinste Funktionswert und \( \text{IW} = \{\, y \in \text{IR} \mid y \ge y_S \,\} \); ist \( a < 0 \), der größte und \( \text{IW} = \{\, y \in \text{IR} \mid y \le y_S \,\} \).
3. Zwischen den Formen wechseln: Ausmultiplizieren und quadratische Ergänzung
Dieselbe Parabel lässt sich auf zwei Arten schreiben, und jede Form hat ihren Vorteil:
| Allgemeine Form \( y = ax^2 + bx + c \) | zeigt sofort den \( y \)-Achsenabschnitt \( c \) und wird für die Lösungsformel gebraucht |
| Scheitelpunktform \( y = a\,(x – x_S)^2 + y_S \) | zeigt sofort den Scheitel und damit auch den Extremwert |
Richtung 1: Scheitelpunktform → allgemeine Form (Ausmultiplizieren)
Hier brauchst du nur die erste binomische Formel und das Distributivgesetz. Beispiel: \( y = 2\,(x – 3)^2 – 8 \).
| Binom auflösen | \( y = 2\,(x^2 – 6x + 9) – 8 \) |
| Klammer ausmultiplizieren | \( y = 2x^2 – 12x + 18 – 8 \) |
| zusammenfassen | \( y = 2x^2 – 12x + 10 \) |
Kontrolle durch Einsetzen: Bei \( x = 0 \) liefert die Scheitelpunktform \( 2 \cdot (-3)^2 – 8 = 18 – 8 = 10 \), die allgemeine Form liefert \( c = 10 \) ✓. Bei \( x = 4 \): Scheitelpunktform \( 2 \cdot 1 – 8 = -6 \), allgemeine Form \( 2 \cdot 16 – 48 + 10 = 32 – 48 + 10 = -6 \) ✓.
Richtung 2: allgemeine Form → Scheitelpunktform (quadratische Ergänzung), Fall \( a = 1 \)
Der Trick: Du ergänzt den Term zu einem vollständigen Binom – und ziehst dieselbe Zahl gleich wieder ab, damit sich der Wert nicht ändert. Ergänzt wird immer \( \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 \). Beispiel: \( y = x^2 + 6x + 5 \), also \( b = 6 \) und \( \left( \dfrac{6}{2} \right)^2 = 9 \).
| 9 addieren und abziehen | \( y = x^2 + 6x + 9 – 9 + 5 \) |
| Binom zusammenfassen | \( y = (x + 3)^2 – 9 + 5 \) |
| Scheitelpunktform | \( y = (x + 3)^2 – 4 \quad\Rightarrow\quad S(-3\,|\,-4) \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( x = -3 \) in der allgemeinen Form: \( 9 – 18 + 5 = -4 \) ✓ – das ist genau \( y_S \). \( x = 0 \) in der Scheitelpunktform: \( 3^2 – 4 = 5 \) ✓ – das ist genau \( c \).
Richtung 2, der wichtige Fall \( a \ne 1 \)
Steht vor dem \( x^2 \) ein Faktor, musst du ihn zuerst aus den beiden vorderen Gliedern ausklammern. Erst danach ergänzt du – und beim Zurückmultiplizieren wird die ergänzte Zahl wieder mit \( a \) multipliziert. Genau hier passieren die meisten Fehler. Beispiel: \( y = 2x^2 – 12x + 10 \).
| 2 ausklammern (nur vorn!) | \( y = 2\,(x^2 – 6x) + 10 \) |
| ergänzen mit \( \left( \dfrac{-6}{2} \right)^2 = 9 \) | \( y = 2\,(x^2 – 6x + 9 – 9) + 10 \) |
| Binom bilden | \( y = 2\,\big[(x – 3)^2 – 9\big] + 10 \) |
| äußere Klammer auflösen | \( y = 2\,(x – 3)^2 – 18 + 10 \) |
| Scheitelpunktform | \( y = 2\,(x – 3)^2 – 8 \quad\Rightarrow\quad S(3\,|\,-8) \) |
Das ist genau die Gleichung, aus der wir oben \( y = 2x^2 – 12x + 10 \) gemacht haben – die beiden Wege sind Hin- und Rückweg. Kontrolle durch Einsetzen: \( x = 3 \) in \( 2x^2 – 12x + 10 \) ergibt \( 18 – 36 + 10 = -8 \) ✓.
Beide Schreibweisen beschreiben dieselbe Parabel – nur die abgelesenen Informationen sind andere.
Merke: Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form kommst du durch Ausmultiplizieren, umgekehrt durch quadratische Ergänzung mit \( \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 \). Ist \( a \ne 1 \), klammerst du \( a \) zuerst aus den beiden vorderen Gliedern aus und multiplizierst es am Ende wieder in die Klammer hinein – die ergänzte Zahl wird dabei mit \( a \) multipliziert. Prüfe jedes Ergebnis, indem du \( x_S \) in die allgemeine Form einsetzt: Es muss \( y_S \) herauskommen.
4. Nullstellen mit der Lösungsformel – und die Diskriminante
Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der der Graph die \( x \)-Achse trifft, also \( y = 0 \). Du löst dafür die quadratische Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \). Das geht immer – ganz gleich, welche Werte \( a \), \( b \) und \( c \) haben – mit der allgemeinen Lösungsformel, die in Bayern meist Mitternachtsformel heißt:
Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante: \( D = b^2 – 4ac \). Er entscheidet allein über die Anzahl der Lösungen, denn eine Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es in \( \text{IR} \) nicht.
Fall 1: \( D > 0 \) – zwei Nullstellen
Berechne die Nullstellen von \( y = 2x^2 – 12x + 10 \), also die Lösungsmenge von \( 2x^2 – 12x + 10 = 0 \). Ablesen: \( a = 2 \), \( b = -12 \), \( c = 10 \).
| Diskriminante | \( D = (-12)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 10 = 144 – 80 = 64 > 0 \) |
| einsetzen | \( x_{1,2} = \dfrac{12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \dfrac{12 \pm 8}{4} \) |
| beide Vorzeichen | \( x_1 = \dfrac{20}{4} = 5, \qquad x_2 = \dfrac{4}{4} = 1 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{1;\ 5\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( x = 1 \): \( 2 \cdot 1 – 12 + 10 = 0 \) ✓ · \( x = 5 \): \( 2 \cdot 25 – 60 + 10 = 50 – 60 + 10 = 0 \) ✓. Auch die Symmetrie stimmt: Die Mitte zwischen 1 und 5 ist \( x = 3 \) – genau die Scheitelstelle aus Kapitel 3.
Fall 2: \( D = 0 \) – genau eine Nullstelle
Gegeben ist \( x^2 – 6x + 9 = 0 \), also \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 9 \).
| Diskriminante | \( D = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 – 36 = 0 \) |
| einsetzen | \( x = \dfrac{6 \pm 0}{2} = 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{3\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( 3^2 – 6 \cdot 3 + 9 = 9 – 18 + 9 = 0 \) ✓. Der Grund für die einzige Lösung wird in der Scheitelpunktform sichtbar: \( x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 \), der Scheitel \( S(3\,|\,0) \) liegt selbst auf der \( x \)-Achse.
Fall 3: \( D < 0 \) – keine Lösung in \( \text{IR} \)
Gegeben ist \( 2x^2 – 4x + 5 = 0 \), also \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = 5 \).
| Diskriminante | \( D = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 – 40 = -24 < 0 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{\;\} \) |
Kontrolle über den Scheitel: Die Scheitelstelle ist \( x_S = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{4} = 1 \), dazu \( y_S = 2 – 4 + 5 = 3 \). Die Parabel ist wegen \( a = 2 > 0 \) nach oben geöffnet und ihr tiefster Punkt liegt bei \( y = 3 \), also oberhalb der \( x \)-Achse – sie kann die Achse gar nicht treffen ✓.
Die Formel \( x_S = -\dfrac{b}{2a} \) ist übrigens nichts anderes als die Lösungsformel ohne den Wurzelteil: Der Scheitel liegt immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Sie ist der schnellste Weg zum Scheitel, wenn du die quadratische Ergänzung sparen willst; \( y_S \) bekommst du durch Einsetzen.
Probe und Zerlegung mit dem Satz von Vieta
Hat die Gleichung \( x^2 + px + q = 0 \) die Lösungen \( x_1 \) und \( x_2 \), so gilt \( x_1 + x_2 = -p \) und \( x_1 \cdot x_2 = q \). Damit prüfst du deine Lösungen in Sekunden. Beispiel \( x^2 + 6x + 5 = 0 \) mit \( \text{IL} = \{-5;\ -1\} \): Summe \( -5 + (-1) = -6 = -p \) ✓, Produkt \( (-5) \cdot (-1) = 5 = q \) ✓. Umgekehrt lässt sich der Term dann als Produkt schreiben (Linearfaktorzerlegung): \( x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1) \). Steht ein Faktor \( a \) vor dem \( x^2 \), teile die Gleichung zuvor durch \( a \) – oder klammere \( a \) aus: \( 2x^2 – 12x + 10 = 2\,(x – 1)(x – 5) \), Probe bei \( x = 0 \): \( 2 \cdot (-1) \cdot (-5) = 10 = c \) ✓.
Randnotiz zur pq-Formel: Manche Bundesländer und die Mittelschule verwenden für den Sonderfall \( a = 1 \), also \( x^2 + px + q = 0 \), die Kurzform \( x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 – q} \). Für \( x^2 + 6x + 5 = 0 \) liefert sie \( x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{9 – 5} = -3 \pm 2 \), also \( \text{IL} = \{-5;\ -1\} \) – Probe: \( 25 – 30 + 5 = 0 \) ✓ und \( 1 – 6 + 5 = 0 \) ✓. An der Realschule in Bayern ist und bleibt die allgemeine Lösungsformel der Standardweg: Sie funktioniert für jedes \( a \), du musst also nie erst dividieren und riskierst keine Brüche.
Merke: Nullstellen berechnest du aus \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit \( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \). Bestimme zuerst die Diskriminante \( D = b^2 – 4ac \): \( D > 0 \) → zwei Nullstellen, \( D = 0 \) → eine (der Scheitel liegt auf der Achse), \( D < 0 \) → keine, \( \text{IL} = \{\;\} \). Achte beim Einsetzen auf die Vorzeichen: \( b = -12 \) ergibt \( -b = +12 \) und \( b^2 = +144 \).
5. Die Funktionsgleichung aus Scheitel und Punkt bestimmen
Bisher war die Gleichung gegeben und du hast den Graphen untersucht. Jetzt drehen wir es um: Aus dem Graphen oder aus zwei Angaben sollst du die Gleichung finden. Sind der Scheitel und ein weiterer Punkt bekannt, ist die Scheitelpunktform der kürzeste Weg – denn dann ist nur noch \( a \) unbekannt.
So gehst du vor: (1) Scheitel in die Scheitelpunktform einsetzen, \( a \) offen lassen. (2) Die Koordinaten des zweiten Punktes einsetzen. (3) Die entstandene lineare Gleichung nach \( a \) lösen. (4) \( a \) einsetzen und – falls verlangt – in die allgemeine Form umformen. (5) Probe mit dem Punkt.
Beispiel – eine Parabel hat den Scheitel \( S(2\,|\,-3) \) und verläuft durch \( P(4\,|\,5) \).
| Ansatz mit dem Scheitel | \( y = a\,(x – 2)^2 – 3 \) |
| \( P(4\,|\,5) \) einsetzen | \( 5 = a\,(4 – 2)^2 – 3 \) |
| ausrechnen | \( 5 = 4a – 3 \;\Rightarrow\; 4a = 8 \;\Rightarrow\; a = 2 \) |
| Scheitelpunktform | \( y = 2\,(x – 2)^2 – 3 \) |
| allgemeine Form | \( y = 2x^2 – 8x + 5 \) |
Der letzte Schritt im Einzelnen: \( 2\,(x^2 – 4x + 4) – 3 = 2x^2 – 8x + 8 – 3 = 2x^2 – 8x + 5 \).
Kontrolle durch Einsetzen: \( P(4\,|\,5) \) in der allgemeinen Form: \( 2 \cdot 16 – 8 \cdot 4 + 5 = 32 – 32 + 5 = 5 \) ✓. Und der Scheitel: \( x_S = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = 2 \), \( y_S = 2 \cdot 4 – 16 + 5 = -3 \) ✓.
Der Scheitel legt die Lage fest, der zweite Punkt legt die Öffnungsweite \( a \) fest.
Merke: Sind Scheitel und ein Punkt bekannt, setzt du beides in \( y = a\,(x – x_S)^2 + y_S \) ein – übrig bleibt eine lineare Gleichung für \( a \). Ist statt des Scheitels nichts über die Lage bekannt, brauchst du drei Punkte und setzt sie in \( y = ax^2 + bx + c \) ein. Aus der Formulierung „verläuft wie die Normalparabel“ folgt sofort \( a = 1 \), aus „nach unten geöffnet wie die Normalparabel“ folgt \( a = -1 \).
6. Schnittpunkte von Parabel und Gerade
Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der auf beiden Graphen liegt. An dieser Stelle stimmen also die \( y \)-Werte überein – du setzt die beiden Funktionsterme gleich. Weil einer davon quadratisch ist, entsteht eine quadratische Gleichung, und die löst du wieder mit der Lösungsformel. Die \( y \)-Werte bekommst du am schnellsten aus der Geradengleichung.
Beispiel 1 – zwei Schnittpunkte. Gegeben sind die Parabel \( y = x^2 – 2x – 3 \) und die Gerade \( y = 2x – 3 \).
| gleichsetzen | \( x^2 – 2x – 3 = 2x – 3 \) |
| alles auf eine Seite | \( x^2 – 4x = 0 \) |
| Lösungsformel, \( a=1,\ b=-4,\ c=0 \) | \( D = 16 – 0 = 16 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \dfrac{4 \pm 4}{2} \) |
| Lösungen | \( x_1 = 4, \qquad x_2 = 0 \) |
| \( y \)-Werte aus der Geraden | \( y_1 = 2 \cdot 4 – 3 = 5, \qquad y_2 = 2 \cdot 0 – 3 = -3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(0\,|\,-3);\ (4\,|\,5)\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen – in beide Gleichungen: Bei \( x = 4 \) liefert die Parabel \( 16 – 8 – 3 = 5 \) und die Gerade \( 8 – 3 = 5 \) ✓. Bei \( x = 0 \) liefert die Parabel \( -3 \) und die Gerade \( -3 \) ✓.
Beispiel 2 – kein Schnittpunkt. Dieselbe Parabel \( y = x^2 – 2x – 3 \), aber die Gerade \( y = -x – 5 \).
| gleichsetzen | \( x^2 – 2x – 3 = -x – 5 \) |
| ordnen | \( x^2 – x + 2 = 0 \) |
| Diskriminante | \( D = 1 – 8 = -7 < 0 \;\Rightarrow\; \text{IL} = \{\;\} \) |
Die Gerade verläuft vollständig unterhalb der Parabel – die beiden Graphen berühren sich nirgends. Kontrolle: Der Scheitel der Parabel liegt bei \( x_S = 1 \), \( y_S = 1 – 2 – 3 = -4 \); die Gerade hat dort den Wert \( -1 – 5 = -6 \), liegt also selbst am kritischsten Punkt noch 2 Einheiten tiefer ✓.
Die Diskriminante sagt dir schon vor der Zeichnung, ob es zwei, einen oder keinen Schnittpunkt gibt.
Beispiel 3 – Schnittpunkte zweier Parabeln. Der Lehrplan verlangt ausdrücklich auch diesen Fall. Das Verfahren ist genau dasselbe: Gegeben sind \( y = x^2 – 2x – 3 \) und \( y = -x^2 + 4x + 5 \).
| gleichsetzen | \( x^2 – 2x – 3 = -x^2 + 4x + 5 \) |
| alles auf eine Seite | \( 2x^2 – 6x – 8 = 0 \) |
| durch 2 teilen (macht die Zahlen kleiner) | \( x^2 – 3x – 4 = 0 \) |
| Lösungsformel, \( a=1,\ b=-3,\ c=-4 \) | \( D = 9 + 16 = 25 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \dfrac{3 \pm 5}{2} \) |
| Lösungen | \( x_1 = 4, \qquad x_2 = -1 \) |
| \( y \)-Werte (erste Parabel) | \( y_1 = 16 – 8 – 3 = 5, \qquad y_2 = 1 + 2 – 3 = 0 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(-1\,|\,0);\ (4\,|\,5)\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen – in die zweite Parabel: Bei \( x = 4 \): \( -16 + 16 + 5 = 5 \) ✓. Bei \( x = -1 \): \( -1 – 4 + 5 = 0 \) ✓.
Ein Sonderfall, den du kennen musst: Haben beide Parabeln denselben Wert von \( a \), fällt beim Gleichsetzen der \( x^2 \)-Term weg – übrig bleibt eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung. Beispiel: \( x^2 + 2x – 1 = x^2 – 4x + 5 \) wird zu \( 6x = 6 \), also \( x = 1 \) und \( y = 1 + 2 – 1 = 2 \), Probe in der zweiten Parabel: \( 1 – 4 + 5 = 2 \) ✓. Zwei gleich weit geöffnete Parabeln schneiden sich also nie zweimal – setze deshalb nicht blind die Lösungsformel an, sondern schau zuerst, ob \( x^2 \) überhaupt stehen bleibt.
Merke: Schnittpunkte findest du durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Bringe alles auf eine Seite, sodass \( ax^2 + bx + c = 0 \) dasteht, und löse mit der Lösungsformel. Die \( x \)-Werte sind noch keine Punkte – setze sie ein, um die \( y \)-Werte zu bekommen, und schreibe die Lösung als Punktepaare. Genauso gehst du bei zwei Parabeln vor.
7. Sachaufgaben: Wurfparabel und größtmögliche Fläche
In der Sachaufgabe ist die Rechnung selten schwer – die Hürde ist die Übersetzung. Merke dir die Zuordnung: „maximal“ oder „minimal“ bedeutet Scheitelpunkt, „kommt an“, „trifft auf den Boden“ oder „wird null“ bedeutet Nullstelle. Und vergiss die Definitionsmenge nicht: Sie ergibt sich aus dem Sachzusammenhang, nicht aus dem Term.
Beispiel 1 – die Wurfparabel
Auf dem Hof des Holzwerks Brandl wirft Tobias ein Reststück Holz von einer 1,80 m hohen Laderampe auf den Sägespanhaufen. Die Flugbahn beschreibt die Funktion
dabei ist \( x \) die waagrechte Entfernung von der Rampe in Metern und \( h(x) \) die Höhe über dem Boden in Metern. Gesucht sind die größte Höhe und die Wurfweite.
| Abwurfhöhe | \( h(0) = 1{,}8 \) → 1,80 m, passt zur Rampe |
| Scheitelstelle | \( x_S = -\dfrac{1{,}6}{2 \cdot (-0{,}2)} = -\dfrac{1{,}6}{-0{,}4} = 4 \) |
| größte Höhe | \( h(4) = -0{,}2 \cdot 16 + 6{,}4 + 1{,}8 = -3{,}2 + 8{,}2 = 5 \) |
| Aufschlag: \( h(x) = 0 \), \( \cdot(-5) \) | \( x^2 – 8x – 9 = 0 \) |
| Lösungsformel | \( D = 64 + 36 = 100 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 10}{2} \) |
| Lösungen | \( x_1 = 9, \qquad x_2 = -1 \) (entfällt, keine negative Entfernung) |
| Definitionsmenge im Sachbezug | \( \text{ID} = \{\, x \in \text{IR} \mid 0 \le x \le 9 \,\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( h(9) = -0{,}2 \cdot 81 + 1{,}6 \cdot 9 + 1{,}8 = -16{,}2 + 14{,}4 + 1{,}8 = 0 \) ✓. Symmetrieprobe um \( x_S = 4 \): \( h(2) = -0{,}8 + 3{,}2 + 1{,}8 = 4{,}2 \) und \( h(6) = -7{,}2 + 9{,}6 + 1{,}8 = 4{,}2 \) ✓. Antwort: Das Holzstück erreicht nach 4 m waagrechter Entfernung seine größte Höhe von 5,00 m und schlägt 9,00 m von der Rampe entfernt auf.
Beispiel 2 – die größtmögliche Fläche (Extremwertproblem)
Das Holzwerk Brandl will einen rechteckigen Lagerplatz für Schnittholz abzäunen. Eine Seite bildet die fensterlose Hallenwand, für die drei übrigen Seiten stehen 40 m Bauzaun zur Verfügung. Welche Maße ergeben die größte Lagerfläche?
| Festlegung | \( x \) = Länge einer der beiden Seiten senkrecht zur Wand, in m |
| dritte Seite (parallel zur Wand) | \( 40 – 2x \) |
| Flächenfunktion | \( A(x) = x\,(40 – 2x) = -2x^2 + 40x \) |
| Definitionsmenge im Sachbezug | \( \text{ID} = \{\, x \in \text{IR} \mid 0 < x < 20 \,\} \) |
| Scheitelstelle | \( x_S = -\dfrac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 \) |
| größte Fläche | \( A(10) = -200 + 400 = 200 \) |
Weil \( a = -2 < 0 \) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet – der Scheitel ist also wirklich ein Höchstwert und kein Tiefstwert.
Kontrolle durch Einsetzen: Zaunlänge bei \( x = 10 \): \( 10 + 10 + 20 = 40 \) ✓, Fläche \( 10\ \text{m} \cdot 20\ \text{m} = 200\ \text{m}^2 \) ✓. Und die Nachbarwerte sind wirklich kleiner: \( A(9) = 9 \cdot 22 = 198 \) und \( A(11) = 11 \cdot 18 = 198 \) ✓. Antwort: Der Lagerplatz wird 10 m tief und 20 m breit; die größtmögliche Fläche beträgt 200 m².
Nur drei Seiten werden gezäunt – deshalb steht in der Flächenformel \( 40 – 2x \) und nicht \( 20 – x \).
Merke: Bei jeder quadratischen Sachaufgabe gilt: größter oder kleinster Wert → Scheitelpunkt, Wert null → Nullstelle. Stelle den Funktionsterm auf, notiere die Definitionsmenge aus dem Sachzusammenhang und prüfe am Ende, ob deine Lösung darin liegt – negative Längen und negative Entfernungen fallen weg. Antworte immer in einem Satz mit Einheit.
8. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- Bei \( y = ax^2 + bx + c \) steuert das Vorzeichen von \( a \) die Öffnungsrichtung, der Betrag von \( a \) die Öffnungsweite und \( c \) den \( y \)-Achsenabschnitt. Die Definitionsmenge ist stets \( \text{ID} = \text{IR} \).
- Die Scheitelpunktform \( y = a\,(x – x_S)^2 + y_S \) zeigt den Scheitel direkt. Hin geht es durch quadratische Ergänzung, zurück durch Ausmultiplizieren; bei \( a \ne 1 \) wird \( a \) vorher ausgeklammert. Schneller Alternativweg zum Scheitel: \( x_S = -\dfrac{b}{2a} \), dann \( y_S \) durch Einsetzen.
- Jede quadratische Gleichung löst die Lösungsformel \( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \). Die Diskriminante \( D = b^2 – 4ac \) sagt vorher, wie viele Lösungen es gibt: zwei, eine oder keine in \( \text{IR} \).
- Schnittpunkte mit einer Geraden (oder einer zweiten Parabel) bekommst du durch Gleichsetzen der Terme; die \( x \)-Werte musst du noch einsetzen, um die Punkte zu erhalten.
- In Sachaufgaben steht der Scheitel für den Extremwert und die Nullstelle für das Ende des Vorgangs. Die Definitionsmenge kommt aus dem Sachzusammenhang, und jede Lösung wird durch Einsetzen kontrolliert.
9. Nur für Mathematik I: Parabelscharen, Tangentialprobleme, Wurzelgleichungen
Achtung – ab hier nur Mathematik I. Die drei folgenden Themen stehen im LehrplanPLUS ausschließlich in der Kompetenzerwartung für Mathematik I (Jgst. 9). Wenn du Mathematik II oder III belegst, endet der Prüfungsstoff dieses Lernbereichs mit Kapitel 8. Es geht hier nicht um denselben Stoff auf höherem Tempo, sondern um echte Mehrarbeit: Es kommt ein Parameter hinzu, der selbst variabel ist.
9.1 Parabelscharen und der Trägergraph
Bisher hatte jede Parabel feste Zahlen im Term. Setzt du stattdessen einen Buchstaben \( t \) ein, beschreibt eine Gleichung unendlich viele Parabeln auf einmal – eine Parabelschar. Für jeden Wert von \( t \) erhältst du ein Mitglied der Schar mit einem eigenen Scheitel. Alle diese Scheitel liegen zusammen wieder auf einer Kurve: dem Trägergraphen.
Das Parameterverfahren dazu hat drei Schritte: (1) Scheitelkoordinaten allgemein in Abhängigkeit von \( t \) bestimmen. (2) Eine der beiden Gleichungen nach \( t \) auflösen. (3) Dieses \( t \) in die andere einsetzen – das Ergebnis ist die Gleichung des Trägergraphen, in der \( t \) nicht mehr vorkommt.
Beispiel – gegeben ist die Schar \( f_t(x) = x^2 + 2tx + t^2 + t \) mit \( t \in \text{IR} \).
| quadratisch ergänzen | \( f_t(x) = (x^2 + 2tx + t^2) + t = (x + t)^2 + t \) |
| Scheitel ablesen | \( S_t(-t\,|\,t) \), also \( x_S = -t \) und \( y_S = t \) |
| nach \( t \) auflösen | aus \( x_S = -t \) folgt \( t = -x_S \) |
| in \( y_S = t \) einsetzen | \( y_S = -x_S \) |
| Trägergraph | \( y = -x \) (eine Gerade) |
Kontrolle durch Einsetzen – mit zwei konkreten Scharmitgliedern: Für \( t = 2 \) ist \( f_2(x) = x^2 + 4x + 6 \); Scheitelstelle \( x_S = -\dfrac{4}{2} = -2 \) und \( y_S = 4 – 8 + 6 = 2 \), also \( S_2(-2\,|\,2) \) – und \( 2 = -(-2) \) ✓. Für \( t = -1 \) ist \( f_{-1}(x) = x^2 – 2x + 0 \); Scheitel \( x_S = 1 \), \( y_S = 1 – 2 = -1 \), also \( S_{-1}(1\,|\,-1) \) – und \( -1 = -(1) \) ✓. Beide Scheitel liegen auf \( y = -x \).
Alle Scheitel der Schar liegen auf einer einzigen Kurve – hier auf der Geraden \( y = -x \).
Merke: Beim Parameterverfahren bestimmst du zuerst \( x_S \) und \( y_S \) in Abhängigkeit von \( t \), löst eine der beiden Gleichungen nach \( t \) auf und setzt in die andere ein. Der Trägergraph ist die Gleichung, die danach übrig bleibt – sie darf kein \( t \) mehr enthalten. Er kann eine Gerade oder selbst eine Parabel sein. Kontrolliere immer mit zwei konkreten \( t \)-Werten.
9.2 Das Tangentialproblem: die Diskriminante geometrisch lesen
In Kapitel 6 hat die Diskriminante entschieden, ob eine Gerade eine Parabel schneidet. Jetzt drehst du die Frage um: Gegeben ist eine ganze Parallelenschar \( y = mx + c \) mit festem \( m \) und variablem \( c \). Gesucht ist derjenige Wert von \( c \), für den die Gerade die Parabel nur noch berührt – die Tangente. Der Bedingungssatz ist kurz: Berührung bedeutet genau eine gemeinsame Lösung, also \( D = 0 \).
Beispiel – für welchen Wert von \( c \) berührt eine Gerade der Schar \( y = 2x + c \) die Parabel \( y = x^2 – 2x + 3 \)?
| gleichsetzen | \( x^2 – 2x + 3 = 2x + c \) |
| ordnen | \( x^2 – 4x + 3 – c = 0 \) |
| Diskriminante aufstellen | \( D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (3 – c) = 16 – 12 + 4c = 4 + 4c \) |
| Berührbedingung \( D = 0 \) | \( 4 + 4c = 0 \;\Rightarrow\; c = -1 \) |
| Berührstelle einsetzen | \( x^2 – 4x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; (x-2)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \) |
| Tangente und Berührpunkt | \( y = 2x – 1 \), \( B(2\,|\,3) \) |
Kontrolle durch Einsetzen – in beide Gleichungen: Parabel bei \( x = 2 \): \( 4 – 4 + 3 = 3 \) ✓. Tangente bei \( x = 2 \): \( 2 \cdot 2 – 1 = 3 \) ✓. Gegenprobe mit einem anderen \( c \): Für \( c = 1 \) ist \( D = 4 + 4 = 8 > 0 \) – die Gerade \( y = 2x + 1 \) schneidet also zweimal; für \( c = -3 \) ist \( D = 4 – 12 = -8 < 0 \) – die Gerade \( y = 2x – 3 \) verfehlt die Parabel ganz ✓.
Merke: Beim Tangentialproblem setzt du Parabel und Geradenschar gleich, ordnest zu \( ax^2 + bx + c = 0 \) und stellst die Diskriminante in Abhängigkeit vom Parameter auf. Die Bedingung \( D = 0 \) liefert den Parameterwert der Tangente, \( D > 0 \) die schneidenden und \( D < 0 \) die verfehlenden Geraden. Die Berührstelle bekommst du danach aus \( x = -\dfrac{b}{2a} \), weil bei \( D = 0 \) die Wurzel wegfällt.
9.3 Wurzelgleichungen
Steht die Unbekannte unter einer Quadratwurzel, heißt die Gleichung Wurzelgleichung. Du löst sie durch Quadrieren – und genau da liegt die Gefahr: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Aus \( -3 = 3 \) (falsch) wird durch Quadrieren \( 9 = 9 \) (wahr). Deshalb können Lösungen entstehen, die die ursprüngliche Gleichung gar nicht erfüllen – sogenannte Scheinlösungen. Zwei Sicherungen sind darum Pflicht: die Definitionsmenge vorab und die Probe am Ende.
Zur Definitionsmenge gehören zwei Bedingungen: Der Radikand (der Term unter der Wurzel) darf nicht negativ sein, und weil eine Quadratwurzel nie negativ ist, darf auch die andere Seite der Gleichung nicht negativ sein.
Beispiel 1 – löse \( \sqrt{2x + 3} = x \).
| Radikand \( \ge 0 \) | \( 2x + 3 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -1{,}5 \) |
| rechte Seite \( \ge 0 \) | \( x \ge 0 \) |
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \{\, x \in \text{IR} \mid x \ge 0 \,\} \) |
| quadrieren | \( 2x + 3 = x^2 \) |
| ordnen | \( x^2 – 2x – 3 = 0 \) |
| Lösungsformel | \( D = 4 + 12 = 16 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\ x_2 = -1 \) |
| prüfen | \( x_2 = -1 \notin \text{ID} \) → Scheinlösung, entfällt |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{3\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3 = x \) ✓. Gegenprobe für die Scheinlösung: \( \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = \sqrt{1} = 1 \), aber \( x = -1 \) – \( 1 \ne -1 \), also zu Recht verworfen ✓.
Die Zeichnung bestätigt: nur ein Schnittpunkt. Die zweite Rechenlösung ist beim Quadrieren entstanden.
Beispiel 2 – löse \( \sqrt{x + 7} = x + 1 \).
| Radikand \( \ge 0 \) | \( x + 7 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -7 \) |
| rechte Seite \( \ge 0 \) | \( x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -1 \) |
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \{\, x \in \text{IR} \mid x \ge -1 \,\} \) |
| quadrieren | \( x + 7 = x^2 + 2x + 1 \) |
| ordnen | \( x^2 + x – 6 = 0 \) |
| Lösungsformel | \( D = 1 + 24 = 25 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 2,\ x_2 = -3 \) |
| prüfen | \( x_2 = -3 \notin \text{ID} \) → Scheinlösung, entfällt |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{2\} \) |
Kontrolle durch Einsetzen: \( \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3 \) und \( 2 + 1 = 3 \) ✓. Gegenprobe: \( \sqrt{-3 + 7} = \sqrt{4} = 2 \), aber \( -3 + 1 = -2 \) – \( 2 \ne -2 \), also zu Recht verworfen ✓.
Merke: Bei Wurzelgleichungen bestimmst du zuerst die Definitionsmenge (Radikand \( \ge 0 \) und die andere Seite \( \ge 0 \)), stellst die Wurzel allein auf eine Seite und quadrierst dann. Weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss jede errechnete Lösung gegen \( \text{ID} \) geprüft und in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Was dort nicht passt, ist eine Scheinlösung und gehört nicht in \( \text{IL} \).
10. So fragt die Abschlussprüfung
Quadratische Funktionen gehören zu den zuverlässigsten Punktebringern der Abschlussprüfung, weil sich die Aufgabentypen kaum ändern: Nullstellen berechnen, Scheitel bestimmen, eine Fläche maximieren, eine Funktionsgleichung aus zwei Angaben aufstellen. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext.
Aufgabe 1 – Nullstellen, Diskriminante und Scheitel. Der Gewinn des Holzwerks Brandl aus einer Sonderserie Regalböden lässt sich für \( x \) (in Hundert verkauften Böden) durch \( G(x) = -x^2 + 8x – 12 \) beschreiben; \( G \) ist der Gewinn in Tausend Euro. Ab wann und bis wann arbeitet die Serie gewinnbringend, und wo liegt der höchste Gewinn?
| Nullstellen ansetzen | \( -x^2 + 8x – 12 = 0 \;\;|\cdot(-1) \) |
| Normalform | \( x^2 – 8x + 12 = 0 \) |
| Diskriminante | \( D = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 – 48 = 16 > 0 \) |
| Lösungsformel | \( x_{1,2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{8 \pm 4}{2} \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{2;\ 6\} \) |
| Scheitelform (quadratische Ergänzung) | \( G(x) = -\left[(x-4)^2 – 16\right] – 12 = -(x-4)^2 + 4 \) |
| Scheitel | \( S(4 \,|\, 4) \), Hochpunkt (da \( a = -1 < 0 \)) |
Gegenprobe: \( G(2) = -4 + 16 – 12 = 0 \) ✓, \( G(6) = -36 + 48 – 12 = 0 \) ✓, \( G(4) = -16 + 32 – 12 = 4 \) ✓. Zusätzlich stimmt die Symmetrie: Der Scheitel liegt genau in der Mitte der Nullstellen, \( (2+6):2 = 4 \) ✓. Antwort: Die Serie ist für \( 2 < x < 6 \) gewinnbringend, also zwischen 200 und 600 verkauften Böden. Der höchste Gewinn beträgt 4000 € bei 400 verkauften Böden. Sinnvoll ist im Sachkontext nur \( x \in \text{IR},\ x \ge 0 \) – negative Stückzahlen gibt es nicht.
Aufgabe 2 – Extremwertproblem: größtmögliche Fläche. Im Hof soll eine rechteckige Lagerfläche für Paletten abgesperrt werden. Eine Seite bildet die Hallenwand, für die drei übrigen Seiten stehen 24 m Absperrband zur Verfügung. Welche Maße ergeben die größte Fläche?
| Variable festlegen | \( x \) = Tiefe (die zwei gleichen Seiten), in m |
| dritte Seite | \( 24 – 2x \) |
| Definitionsbereich | \( x \in \text{IR},\ 0 < x < 12 \) (sonst entartet das Rechteck) |
| Flächenfunktion | \( A(x) = x\,(24 – 2x) = -2x^2 + 24x \) |
| Scheitelform | \( A(x) = -2\left(x^2 – 12x\right) = -2\left[(x-6)^2 – 36\right] = -2(x-6)^2 + 72 \) |
| Maximum | \( x = 6\ \text{m} \), \( A_{\max} = 72\ \text{m}^2 \) |
Gegenprobe: Bei \( x = 6 \) ist die dritte Seite \( 24 – 12 = 12\ \text{m} \), also \( A = 6 \cdot 12 = 72\ \text{m}^2 \) ✓; die Bandlänge stimmt: \( 6 + 6 + 12 = 24\ \text{m} \) ✓. Zwei Nachbarwerte zur Sicherheit: \( A(5) = 5 \cdot 14 = 70 \) und \( A(7) = 7 \cdot 10 = 70 \) – beide kleiner ✓. Antwort: Die Fläche ist mit 6 m Tiefe und 12 m Breite am größten, nämlich 72 m². Der Definitionsbereich gehört zur Lösung: Für \( x \le 0 \) oder \( x \ge 12 \) gibt es kein Rechteck mehr.
Aufgabe 3 – Parabel und Gerade: der Berührfall. Die gebogene Oberkante einer Rückenlehne wird im Koordinatensystem (Einheit dm) durch \( p(x) = x^2 – 2x + 3 \) beschrieben, eine gerade Zierleiste durch \( g(x) = 2x – 1 \). Schneidet die Leiste die Kante, berührt sie sie oder verfehlt sie sie?
| gleichsetzen | \( x^2 – 2x + 3 = 2x – 1 \) |
| ordnen | \( x^2 – 4x + 4 = 0 \) |
| Diskriminante | \( D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0 \) |
| Lösung | \( x = \dfrac{4}{2} = 2 \), also \( \text{IL} = \{2\} \) |
| Berührpunkt | \( B(2 \,|\, 3) \) |
Gegenprobe: \( p(2) = 4 – 4 + 3 = 3 \) und \( g(2) = 4 – 1 = 3 \) ✓ – beide Werte stimmen überein. Kontrolle der Faktorisierung: \( x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2 \), eine doppelte Lösung ✓. Antwort: Wegen \( D = 0 \) gibt es genau einen gemeinsamen Punkt: Die Leiste berührt die Kante in \( B(2\,|\,3) \), sie ist also eine Tangente. Die Diskriminante allein beantwortet die Frage schon: \( D > 0 \) zwei Schnittpunkte, \( D = 0 \) Berührung, \( D < 0 \) kein gemeinsamer Punkt.
Aufgabe 4 – Funktionsgleichung aus Scheitel und Punkt. Eine Tischplattenkante verläuft parabelförmig mit dem Scheitel \( S(3\,|\,-2) \) und geht durch \( P(5\,|\,6) \) (Einheit dm). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitel- und in allgemeiner Form sowie die Nullstellen.
| Scheitelform ansetzen | \( f(x) = a\,(x-3)^2 – 2 \) |
| Punkt \( P \) einsetzen | \( 6 = a\,(5-3)^2 – 2 = 4a – 2 \) |
| nach \( a \) lösen | \( 4a = 8 \;\Rightarrow\; a = 2 \) |
| Scheitelform | \( f(x) = 2(x-3)^2 – 2 \) |
| ausmultiplizieren | \( f(x) = 2x^2 – 12x + 16 \) |
| Nullstellen | \( 2(x-3)^2 = 2 \;\Rightarrow\; (x-3)^2 = 1 \;\Rightarrow\; \text{IL} = \{2;\ 4\} \) |
Gegenprobe: \( f(5) = 2 \cdot 4 – 2 = 6 \) ✓ und \( f(3) = -2 \) ✓. Die allgemeine Form prüfst du durch Ausmultiplizieren: \( 2(x^2 – 6x + 9) – 2 = 2x^2 – 12x + 18 – 2 = 2x^2 – 12x + 16 \) ✓. Nullstellen einsetzen: \( f(2) = 2 \cdot 1 – 2 = 0 \) und \( f(4) = 2 \cdot 1 – 2 = 0 \) ✓. Antwort: \( f(x) = 2(x-3)^2 – 2 = 2x^2 – 12x + 16 \) mit den Nullstellen \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = 4 \). Beachte, dass der Scheitel wieder mittig zwischen den Nullstellen liegt: \( (2+4):2 = 3 \) ✓.
11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Vorzeichen des Scheitels aus der Klammer falsch abgelesen. Ursache: In \( y = a(x – x_S)^2 + y_S \) steht ein Minus vor \( x_S \) – aus \( (x+4)^2 \) wird darum irrtümlich \( x_S = 4 \). Vermeidung: Frage, welcher \( x \)-Wert die Klammer zu null macht. Bei \( (x+4)^2 \) ist das \( x = -4 \), also \( x_S = -4 \).
- Bei der quadratischen Ergänzung den Faktor \( a \) nicht berücksichtigt. Ursache: Der Ergänzungsterm wird innerhalb der Klammer addiert, aber außerhalb nicht mit \( a \) multipliziert zurückgenommen. Vermeidung: Klammere \( a \) zuerst vollständig aus, ergänze innen und zieh die Korrektur mit \( a \) multipliziert wieder ab – wie in Aufgabe 2: \( -2\left[(x-6)^2 – 36\right] = -2(x-6)^2 + 72 \).
- In der Lösungsformel das Vorzeichen von \( b \) verschluckt. Ursache: \( -b \) wird bei negativem \( b \) nicht zu einem Plus. Vermeidung: Schreibe \( a \), \( b \) und \( c \) mit Vorzeichen einzeln hin, bevor du einsetzt, und setze \( b \) in Klammern: \( -(-8) = +8 \).
- Die Diskriminante berechnet, aber nicht interpretiert. Ursache: \( D \) wird nur als Zwischenwert benutzt, obwohl die Aufgabe nach der Anzahl der Lösungen bzw. nach Schneiden oder Berühren fragt. Vermeidung: Schreibe immer einen Satz dazu: \( D > 0 \) zwei Lösungen, \( D = 0 \) eine (doppelte) Lösung bzw. Berührung, \( D < 0 \) keine Lösung in IR, also \( \text{IL} = \{\;\} \).
- Beim Extremwertproblem nur die Stelle angegeben. Ursache: Es wird \( x_S \) berechnet und als Ergebnis notiert, obwohl die maximale Fläche gefragt war. Vermeidung: \( x_S \) sagt wo, \( y_S \) sagt wie viel. Setze \( x_S \) am Ende in die Funktion ein und beantworte beide Teile im Antwortsatz.
- Definitionsbereich der Sachaufgabe vergessen. Ursache: Der Funktionsterm wird korrekt aufgestellt, aber es wird nicht angegeben, welche \( x \)-Werte überhaupt sinnvoll sind. Vermeidung: Frage dich, bei welchen Werten die Figur entartet oder die Größe negativ wird – bei der Lagerfläche ist das \( 0 < x < 12 \). Und streiche im Sachkontext rechnerische Lösungen, die dort keinen Sinn haben.
- Die Lösungsmenge nicht als IL notiert. Ursache: Es werden nur \( x_1 \) und \( x_2 \) hingeschrieben. Vermeidung: Schließe jede Gleichung mit \( \text{IL} = \{\ldots\} \) ab – das ist in Bayern die erwartete Schreibweise und kostet dich nur eine Zeile.
Weiterlernen
- Reelle Zahlen und Quadratwurzeln – ohne die Wurzel gibt es keine Lösungsformel.
- Funktionen und lineare Funktionen – Steigung und \( y \)-Achsenabschnitt, die du bei den Schnittpunkten brauchst.
- Systeme linearer Gleichungen – dasselbe Gleichsetzen, nur mit zwei Geraden.
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen – binomische Formeln und Äquivalenzumformungen als Grundlage.
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