Mathematik Realschule Bayern · Klasse 7 · Lernbereich „Terme, Gleichungen und Ungleichungen“ (LehrplanPLUS) · BY
Terme, Gleichungen und Ungleichungen: von der Klammer bis zur Lösungsmenge
In Klasse 6 hast du gelernt, Terme zu berechnen und einfache Gleichungen der Form \( a \cdot x = c \) oder \( x + b = c \) zu lösen. Jetzt kommt die Klammer dazu – und damit auch anspruchsvollere Gleichungen, bei denen die Variable auf beiden Seiten steht. Außerdem lernst du eine neue Art von Aussage kennen: die Ungleichung. Statt einer einzigen Zahl liefert sie dir oft unendlich viele Lösungen auf einmal – und du wirst sehen, wie du diese Lösungsmenge sauber aufschreibst und am Zahlenstrahl darstellst.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Die Kompetenzerwartung ist im LehrplanPLUS für beide Ausrichtungen wortgleich, auch die Stundenzahl ist mit 22 Std. identisch. Es gibt hier keine Unterschiede zwischen den Ausbildungsrichtungen.
Wozu brauchst du das?
Klammern tauchen überall auf, wo du Preise, Flächen oder Mengen zusammenfassen musst: der Gesamtpreis für mehrere Positionen mit demselben Rabatt, die Fläche eines zusammengesetzten Werkstücks, die Endsumme aus Grundgebühr und mehreren gleich teuren Zusatzleistungen. Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten brauchst du, sobald zwei Angebote, zwei Rechnungen oder zwei Bedingungen direkt gegenübergestellt werden. Und Ungleichungen sind überall dort im Spiel, wo ein Budget nicht überschritten werden darf, ein Mindestmaß erreicht werden muss oder eine Kapazität nicht ausreicht – also in praktisch jeder Kalkulation im Holzwerk Brandl.
Inhalt dieser Seite
- Terme mit Klammern: Ausmultiplizieren und Ausklammern
- Terme zusammenfassen – auch mit Potenzgesetzen
- Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten
- Ungleichungen lösen und die Lösungsmenge angeben
- Sachaufgaben mit Gleichungen und Ungleichungen
- Das Wichtigste in Kürze
1. Terme mit Klammern: Ausmultiplizieren und Ausklammern
Steht vor einer Klammer ein Faktor, dann gehört dieser Faktor zu jedem Summanden in der Klammer. Das nennst du Ausmultiplizieren oder Distributivgesetz: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \). Der umgekehrte Weg heißt Ausklammern: Du suchst einen gemeinsamen Faktor aller Summanden und schreibst ihn vor eine Klammer.
Beispiel 1 – Ausmultiplizieren
Das Holzwerk Brandl berechnet den Preis für einen Zuschnittauftrag: 4 identische Regalbretter, jedes besteht aus einem Rohbrett für \( 2x \) € und einem Zuschnittaufschlag von 5 €. Der Gesamtpreis lautet \( 4(2x + 5) \).
Rechnung: \( 4 \cdot 2x = 8x \) und \( 4 \cdot 5 = 20 \), also \( 4(2x+5) = 8x + 20 \).
Probe durch Einsetzen (z. B. \( x = 3 \)): links \( 4 \cdot (2 \cdot 3 + 5) = 4 \cdot 11 = 44 \); rechts \( 8 \cdot 3 + 20 = 24 + 20 = 44 \) ✓. Beide Terme liefern für jedes \( x \) denselben Wert, sie sind äquivalent.
Beispiel 2 – Ausklammern
Der Term \( 15x + 9 \) soll als Produkt geschrieben werden. Beide Zahlen sind durch 3 teilbar – das ist der größte gemeinsame Faktor.
Probe (\( x = 2 \)): links \( 15 \cdot 2 + 9 = 30 + 9 = 39 \); rechts \( 3 \cdot (5 \cdot 2 + 3) = 3 \cdot 13 = 39 \) ✓.
Beispiel 3 – zwei Klammern in einem Term
Bei längeren Termen multiplizierst du zuerst jede Klammer einzeln aus und fasst danach zusammen. Achte besonders auf das Vorzeichen vor der zweiten Klammer – es gehört zu jedem ihrer Summanden mit dazu.
| Ausgangsterm | \( 3(x + 4) – 2(5 – x) \) |
| beide Klammern auflösen | \( 3x + 12 – 10 + 2x \) |
| zusammenfassen | \( 5x + 2 \) |
Probe (\( x = 1 \)): links \( 3 \cdot (1+4) – 2 \cdot (5-1) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 4 = 15 – 8 = 7 \); rechts \( 5 \cdot 1 + 2 = 7 \) ✓. Beachte: \( -2 \cdot (5 – x) = -10 + 2x \), nicht \( -10 – 2x \) – das Minus vor der Klammer dreht beide Vorzeichen um.
Merke: Ausmultiplizieren: \( a(b+c) = ab + ac \) – jeder Summand in der Klammer bekommt den Faktor davor. Ausklammern ist der umgekehrte Weg: einen gemeinsamen Faktor aller Summanden vor eine Klammer schreiben. Steht ein Minus vor der Klammer, dreht sich beim Auflösen das Vorzeichen jedes Summanden in der Klammer um.
2. Terme zusammenfassen – auch mit Potenzgesetzen
Nur gleichartige Terme darfst du zusammenfassen – das sind Terme mit derselben Variablen und demselben Exponenten. Bei Produkten und Quotienten von Potenzen mit gleicher Basis nutzt du zusätzlich die Potenzgesetze: \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) und \( x^m : x^n = x^{m-n} \).
Beispiel 1 – addieren, multiplizieren, dividieren
| Addition gleichartiger Terme | \( x + 2x = 3x \) |
| Multiplikation von Potenzen | \( 2 \cdot x \cdot x^2 = 2x^{1+2} = 2x^3 \) |
| Division von Potenzen | \( 5x^2 : 2x = \dfrac{5}{2}x^{2-1} = 2{,}5x \) |
Probe für alle drei Zeilen bei \( x = 2 \):
- \( x + 2x = 2 + 4 = 6 \) und \( 3x = 3 \cdot 2 = 6 \) ✓
- \( 2 \cdot 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 16 \) und \( 2x^3 = 2 \cdot 8 = 16 \) ✓
- \( 5 \cdot 2^2 : (2 \cdot 2) = 20 : 4 = 5 \) und \( 2{,}5x = 2{,}5 \cdot 2 = 5 \) ✓
Beispiel 2 – sortieren nach Exponenten
In längeren Termen fasst du am besten getrennt nach Exponenten zusammen: erst alle \( x^2 \)-Terme, dann alle \( x \)-Terme.
Probe (\( x = 1 \)): links \( 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 – 1 + 2 \cdot 1 = 3+5-1+2 = 9 \); rechts \( 2 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 9 \) ✓. Beachte: \( x^2 \) und \( x \) bleiben getrennt – \( 2x^2 + 7x \) lässt sich nicht weiter zu einem einzigen Summanden zusammenfassen.
Merke: Nur Terme mit gleicher Variablen und gleichem Exponenten darfst du addieren oder subtrahieren. Bei Produkten und Quotienten gleicher Basis gilt \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) bzw. \( x^m : x^n = x^{m-n} \). Ein zusammengefasster Term wie \( 2x^2 + 7x \) bleibt stehen – er ist bereits so einfach wie möglich.
3. Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten
Aus Klasse 6 kennst du das Waage-Prinzip: Eine Gleichung bleibt wahr, wenn du auf beiden Seiten dasselbe addierst, subtrahierst, multiplizierst oder (außer durch 0) dividierst. Steht die Variable auf beiden Seiten, räumst du sie zuerst auf eine Seite – genauso, wie du eine Last von einer Waagschale auf die andere legst, indem du sie auf beiden Seiten gleichzeitig wegnimmst.
So gehst du vor: (1) Klammern auflösen und auf jeder Seite zusammenfassen. (2) Variablenterme durch Addition/Subtraktion auf eine Seite bringen. (3) Zahlen auf die andere Seite bringen. (4) Durch den Vorfaktor teilen. (5) Probe in der Ausgangsgleichung.
Beispiel 1 – Variable auf beiden Seiten
| \( -2x \) beidseitig | \( 3x + 3 = 12 \) |
| \( -3 \) beidseitig | \( 3x = 9 \) |
| \( :3 \) beidseitig | \( x = 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{3\} \) |
Probe in der Ausgangsgleichung: links \( 5 \cdot 3 + 3 = 18 \); rechts \( 2 \cdot 3 + 12 = 18 \) ✓. (Grundmenge \( G = \text{IR} \).)
Beispiel 2 – erst Klammern auflösen, dann Variable auf beiden Seiten
| Klammern auflösen | \( 3x + 6 = 2x + 14 – 1 \) |
| rechts zusammenfassen | \( 3x + 6 = 2x + 13 \) |
| \( -2x \) beidseitig | \( x + 6 = 13 \) |
| \( -6 \) beidseitig | \( x = 7 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{7\} \) |
Probe in der Ausgangsgleichung: links \( 3 \cdot (7+2) = 3 \cdot 9 = 27 \); rechts \( 2 \cdot (7+7) – 1 = 2 \cdot 14 – 1 = 27 \) ✓.
Merke: Stehen Klammern in der Gleichung, löst du sie zuerst auf und fasst jede Seite für sich zusammen. Erst danach bringst du die Variablenterme durch beidseitiges Addieren/Subtrahieren auf eine Seite und die Zahlen auf die andere. Jede Äquivalenzumformung machst du auf beiden Seiten der Gleichung – wie bei einer Balkenwaage im Gleichgewicht.
4. Ungleichungen lösen und die Lösungsmenge angeben
Eine Ungleichung wie \( ax + b < c \) löst du fast genauso wie eine Gleichung – mit einer wichtigen Ausnahme: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Vergleichszeichen um. Die Lösungsmenge besteht oft aus unendlich vielen Zahlen; du gibst sie in Intervallschreibweise (mit eckigen Klammern nach außen für „offen“) und in Mengenschreibweise an.
Beispiel 1 – positiver Vorfaktor
| \( +5 \) | \( 3x > 9 \) |
| \( :3 \) (positiv, Zeichen bleibt) | \( x > 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \left]\, 3 ; \infty \,\right[ = \{x \in \text{IR} \mid x > 3\} \) |
Probe mit Testwerten: \( x = 4 \) (in IL): \( 3 \cdot 4 – 5 = 7 > 4 \) ✓. \( x = 3 \) (Randwert, nicht in IL): \( 3 \cdot 3 – 5 = 4 \), aber \( 4 > 4 \) ist falsch, also gehört 3 zu Recht nicht zur Lösungsmenge.
Beispiel 2 – negativer Vorfaktor: Zeichen dreht sich um
| \( -7 \) | \( -2x \leq 8 \) |
| \( :(-2) \) – Zeichen dreht sich um! | \( x \geq -4 \) |
Lösungsmenge: \( \text{IL} = \left[\, -4 ; \infty \,\right[ = \{x \in \text{IR} \mid x \geq -4\} \)
Probe mit Testwerten: \( x = -4 \) (Randwert, in IL, da „≤“): \( -2 \cdot (-4) + 7 = 8 + 7 = 15 \), und \( 15 \leq 15 \) ist wahr ✓. \( x = -5 \) (nicht in IL): \( -2 \cdot (-5) + 7 = 17 \), und \( 17 \leq 15 \) ist falsch – zu Recht nicht in der Lösungsmenge.
Merke: Ungleichungen löst du wie Gleichungen – außer beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl: Dann dreht sich das Vergleichszeichen um. Die Lösungsmenge schreibst du in Intervallform (\( x > 3 \Rightarrow \left]\,3;\infty\,\right[ \), Randwert offen → runde bzw. nach außen geöffnete Klammer, Kreis am Zahlenstrahl offen) oder geschlossen bei \( \leq \) bzw. \( \geq \) (eckige Klammer nach innen, Kreis ausgefüllt).
5. Sachaufgaben mit Gleichungen und Ungleichungen
In Sachaufgaben erkennst du am Wortlaut, ob eine Gleichung oder eine Ungleichung gefragt ist: Worte wie „genau“, „beträgt“ oder „kostet“ führen zu einer Gleichung. Worte wie „höchstens“, „mindestens“, „mehr als“ oder „weniger als“ führen zu einer Ungleichung. Gehe in beiden Fällen so vor: (1) Variable mit Einheit festlegen. (2) Bedingung als Gleichung bzw. Ungleichung aufstellen. (3) Lösen. (4) Probe am Text. (5) Antwortsatz mit Einheit.
Beispiel 1 – Gleichung
Die Zuschnittwerkstatt des Holzwerks Brandl berechnet 12 € Grundgebühr pro Auftrag und zusätzlich 4 € je laufendem Meter Zuschnitt. Ein Kunde zahlt insgesamt 52 €. Wie viele Meter lässt er zuschneiden?
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der zugeschnittenen Meter |
| Gleichung | \( 12 + 4x = 52 \) |
| \( -12 \) | \( 4x = 40 \) |
| \( :4 \) | \( x = 10 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{10\} \) |
Probe am Text: \( 12\ \text{€} + 4 \cdot 10\ \text{€} = 12\ \text{€} + 40\ \text{€} = 52\ \text{€} \) ✓. Antwort: Der Kunde lässt 10 m zuschneiden.
Beispiel 2 – Ungleichung mit „höchstens“
Ein anderer Kunde hat höchstens 60 € Budget. Bei derselben Preisstruktur (15 € Grundgebühr, 5 € je Meter) – wie viele Meter kann er sich höchstens zuschneiden lassen?
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der zugeschnittenen Meter, \( x \geq 0 \) |
| Ungleichung („höchstens“ → \( \leq \)) | \( 15 + 5x \leq 60 \) |
| \( -15 \) | \( 5x \leq 45 \) |
| \( :5 \) (positiv, Zeichen bleibt) | \( x \leq 9 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \left[\,0 ; 9\,\right] = \{x \in \text{IN}_0 \mid x \leq 9\} \) |
Probe am Text: Bei 9 m kostet der Zuschnitt \( 15\ \text{€} + 5 \cdot 9\ \text{€} = 15\ \text{€} + 45\ \text{€} = 60\ \text{€} \), das Budget reicht gerade noch ✓. Bei 10 m wären es bereits \( 15\ \text{€} + 50\ \text{€} = 65\ \text{€} \) – zu viel. Antwort: Der Kunde kann sich höchstens 9 m zuschneiden lassen.
Merke: „Genau“/„beträgt“ → Gleichung; „höchstens“ → \( \leq \); „mindestens“ → \( \geq \); „mehr als“ → \( > \); „weniger als“ → \( < \). Die Probe gehört immer an den Aufgabentext, nicht nur an die aufgestellte Gleichung – nur so findest du einen Aufstellfehler.
6. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- Ausmultiplizieren: \( a(b+c) = ab+ac \); Ausklammern ist der umgekehrte Weg. Steht ein Minus vor der Klammer, dreht sich beim Auflösen jedes Vorzeichen in der Klammer um.
- Nur Terme mit gleicher Variablen und gleichem Exponenten darfst du zusammenfassen; bei Potenzen mit gleicher Basis gilt \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) und \( x^m : x^n = x^{m-n} \).
- Bei Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten: erst Klammern auflösen und zusammenfassen, dann durch beidseitige Äquivalenzumformungen die Variable isolieren – wie bei einer Balkenwaage im Gleichgewicht.
- Ungleichungen löst du wie Gleichungen, außer beim Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl – dann dreht sich das Vergleichszeichen um. Die Lösungsmenge notierst du in Intervall- und Mengenschreibweise, am Zahlenstrahl mit offenem Kreis bei \( < \)/\( > \) und geschlossenem Kreis bei \( \leq \)/\( \geq \).
- In Sachaufgaben entscheidet der Wortlaut: „genau“ → Gleichung, „höchstens/mindestens/mehr als/weniger als“ → Ungleichung. Die Probe gehört immer an den Aufgabentext, die Antwort kommt mit Einheit.
7. So fragt die Abschlussprüfung
Terme, Gleichungen und Ungleichungen sind Handwerkszeug: In der Abschlussprüfung stehen sie selten als nackte Rechenaufgabe da, sondern als Sachaufgabe, bei der du selbst eine Variable festlegen und die Bedingung aufstellen musst. Vier typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl – jeweils mit Ansatz, Umformungen, Probe und Antwortsatz. Genau diese vier Schritte werden bepunktet.
Aufgabe 1 – Angebotsvergleich: Variable auf beiden Seiten. Für einen Großauftrag holt Katharina Brandl zwei Zuschnitt-Angebote ein. Sägewerk A verlangt 30 € Grundgebühr und 6 € je laufendem Meter, Sägewerk B verlangt 12 € Grundgebühr und 9 € je Meter. a) Bei welcher Meterzahl kosten beide Angebote gleich viel? b) Welches Angebot ist bei 10 m günstiger?
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der Meter, \( x \in \text{IR} \), \( x \geq 0 \) |
| Gleichung ansetzen | \( 30 + 6x = 12 + 9x \) |
| \( -6x \) | \( 30 = 12 + 3x \) |
| \( -12 \) | \( 18 = 3x \) |
| \( :3 \) | \( x = 6 \), also \( \text{IL} = \{6\} \) |
Probe am Text: Sägewerk A: \( 30\ \text{€} + 6 \cdot 6\ \text{€} = 30\ \text{€} + 36\ \text{€} = 66\ \text{€} \). Sägewerk B: \( 12\ \text{€} + 9 \cdot 6\ \text{€} = 12\ \text{€} + 54\ \text{€} = 66\ \text{€} \) ✓ – beide Angebote kosten bei 6 m tatsächlich dasselbe. Antwort a): Bei 6 m sind beide Angebote gleich teuer (je 66 €). b): Bei 10 m zahlt sie bei A \( 30 + 60 = 90\ \text{€} \), bei B \( 12 + 90 = 102\ \text{€} \) – ab 6 m ist Sägewerk A günstiger, weil sein Meterpreis niedriger ist.
Aufgabe 2 – Term vereinfachen und einsetzen. Herr Sailer gibt seiner Klasse die Kalkulationsformel der Werkstatt für ein Regalsystem: \( 3(2a + 15) – 2(a – 10) \), wobei \( a \) den Preis eines Fichtenbretts in Euro angibt. a) Vereinfache den Term so weit wie möglich. b) Berechne die Materialkosten für \( a = 20\ \text{€} \).
| Ausgangsterm | \( 3(2a + 15) – 2(a – 10) \) |
| beide Klammern ausmultiplizieren | \( = 6a + 45 – 2a + 20 \) |
| a) zusammenfassen | \( = 4a + 65 \) |
| b) \( a = 20 \) einsetzen | \( 4 \cdot 20 + 65 = 80 + 65 = 145 \), also 145 € |
Gegenprobe: Setze \( a = 20 \) in den ursprünglichen Term ein: \( 3(2 \cdot 20 + 15) – 2(20 – 10) = 3 \cdot 55 – 2 \cdot 10 = 165 – 20 = 145 \) ✓. Beide Terme liefern denselben Wert – das ist der Beweis, dass richtig vereinfacht wurde. Achte auf das Minus vor der zweiten Klammer: aus \( -2 \cdot (-10) \) wird \( +20 \), nicht \( -20 \). Antwort: Der vereinfachte Term lautet \( 4a + 65 \); bei einem Brettpreis von 20 € betragen die Materialkosten 145 €.
Aufgabe 3 – Ungleichung mit „mindestens“. Für einen Verkaufsstand auf dem Rosenheimer Herbstmarkt zahlt das Holzwerk 250 € Standgebühr. An jedem verkauften Regalsystem verdient die Firma 45 €. Wie viele Regale muss Lena mindestens verkaufen, damit ein Gewinn von mindestens 200 € übrig bleibt?
| Festlegung | \( x \) = Anzahl verkaufter Regale, \( x \in \text{IN}_0 \) |
| Ungleichung („mindestens“ → \( \geq \)) | \( 45x – 250 \geq 200 \) |
| \( +250 \) | \( 45x \geq 450 \) |
| \( :45 \) (positiv, Zeichen bleibt) | \( x \geq 10 \), also \( \text{IL} = \{x \in \text{IN}_0 \mid x \geq 10\} \) |
Probe mit Randwerten: Bei 10 Regalen: \( 45 \cdot 10 – 250 = 450 – 250 = 200 \) – genau die Grenze, wegen „mindestens“ also erlaubt ✓. Bei 9 Regalen: \( 45 \cdot 9 – 250 = 405 – 250 = 155 \), und \( 155 \geq 200 \) ist falsch – 9 gehört zu Recht nicht zur Lösungsmenge ✓. Antwort: Lena muss mindestens 10 Regalsysteme verkaufen. Beachte: Regale sind nur in ganzen Stück zählbar, deshalb ist die Lösungsmenge hier eine Teilmenge von \( \text{IN}_0 \) und nicht von IR.
Aufgabe 4 – Ungleichung, bei der sich das Zeichen dreht. Von einer 240 cm langen Leiste sägt Jonas Stücke von je 30 cm ab. Als Reststück für die Musterkiste sollen mindestens 60 cm übrig bleiben. Wie viele Stücke darf er höchstens absägen? (Der Sägeverlust wird vernachlässigt.)
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der abgesägten Stücke, \( x \in \text{IN}_0 \) |
| Restlänge als Term | \( 240 – 30x \) |
| Ungleichung | \( 240 – 30x \geq 60 \) |
| \( -240 \) | \( -30x \geq -180 \) |
| \( :(-30) \) – Zeichen dreht sich um! | \( x \leq 6 \), also \( \text{IL} = \{x \in \text{IN}_0 \mid x \leq 6\} \) |
Probe mit Randwerten: Bei 6 Stücken bleiben \( 240\ \text{cm} – 6 \cdot 30\ \text{cm} = 240\ \text{cm} – 180\ \text{cm} = 60\ \text{cm} \) übrig – genau die verlangte Mindestlänge ✓. Bei 7 Stücken wären es nur \( 240\ \text{cm} – 210\ \text{cm} = 30\ \text{cm} \), zu wenig ✓. Antwort: Jonas darf höchstens 6 Stücke absägen. Wer hier das Vergleichszeichen nicht dreht, erhält „\( x \geq 6 \)“ – und damit die unsinnige Aussage, dass immer mehr Sägen mehr Restholz übrig lassen. Die Probe deckt das sofort auf.
8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Minus vor der Klammer nur beim ersten Glied berücksichtigt. Ursache: Aus \( -2(a – 10) \) wird „\( -2a – 20 \)“, weil nur das erste Vorzeichen umgedreht wird. Vermeidung: Multipliziere den Faktor einzeln mit jedem Glied und schreibe die Vorzeichen mit: \( (-2) \cdot a = -2a \) und \( (-2) \cdot (-10) = +20 \). Minus mal Minus ergibt Plus – jedes Mal.
- Ungleichartige Terme zusammengefasst. Ursache: \( 3x + 2x^2 \) wird zu „\( 5x^3 \)“ oder \( 4x + 7 \) zu „\( 11x \)“. Vermeidung: Nur Glieder mit gleicher Variablen und gleichem Exponenten sind gleichartig. Markiere gleichartige Glieder vor dem Zusammenfassen farbig oder mit Unterstreichungen – \( x \) und \( x^2 \) sind so verschieden wie Meter und Quadratmeter.
- Vergleichszeichen beim Dividieren durch eine negative Zahl nicht gedreht. Ursache: Die Ungleichung wird mechanisch wie eine Gleichung behandelt. Vermeidung: Schreibe die Rechenanweisung immer an den Rand (\( :(-30) \)) und setze ein Ausrufezeichen daneben. Danach die Plausibilität prüfen: Passt die Lösungsrichtung zur Sachlage? Und immer einen Wert aus und einen Wert neben der Lösungsmenge testen.
- Äquivalenzumformung nur auf einer Seite ausgeführt. Ursache: Es wird links \( -12 \) gerechnet, rechts aber vergessen. Vermeidung: Denk an die Balkenwaage – jede Umformung geht immer auf beide Seiten. Notiere die Umformung links neben der Zeile, dann kannst du sie beim Kontrollieren Zeile für Zeile abhaken.
- Die Definitionsmenge der Sachsituation ignoriert. Ursache: Als Ergebnis steht „\( x \leq 6{,}4 \) Regale“ oder eine negative Stückzahl. Vermeidung: Frage dich vor dem Aufstellen, welche Zahlen inhaltlich möglich sind: Stückzahlen liegen in \( \text{IN}_0 \), Längen und Geldbeträge sind nicht negativ. Gib die Lösungsmenge dann passend an, etwa \( \text{IL} = \{x \in \text{IN}_0 \mid x \leq 6\} \).
- Probe nur an der eigenen Gleichung gemacht. Ursache: Es wird die selbst aufgestellte Gleichung nachgerechnet – ein Aufstellfehler bleibt dabei unentdeckt. Vermeidung: Setze das Ergebnis in den Aufgabentext ein („30 € plus 6 € mal 6 m sind 66 €“) und prüfe, ob die Bedingung des Textes erfüllt ist.
- Lösungsmenge nicht oder unvollständig notiert. Ursache: Die Umformung endet bei „\( x > 3 \)“, die geforderte Angabe von IL fehlt. Vermeidung: Jede Gleichung schließt mit \( \text{IL} = \{\ldots\} \), jede Ungleichung mit Intervall- und Mengenschreibweise. Bei \( < \) und \( > \) ist der Randwert nicht dabei (offener Kreis am Zahlenstrahl), bei \( \leq \) und \( \geq \) schon (ausgefüllter Kreis).
Weiterlernen
- Terme und Gleichungen (Grundlagen) – die Äquivalenzumformungen aus Klasse 6, auf denen diese Seite aufbaut.
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen (Klasse 8) – binomische Formeln, quadratische Terme und Bruchgleichungen als nächster Schritt.
- Proportionalitäten – wie du Gleichungen zur Lösung von Prozent- und Zinsaufgaben nutzt.
- Systeme linearer Gleichungen – wenn zwei Gleichungen gleichzeitig gelten müssen.
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