Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich 6 „Systeme linearer Gleichungen“ (LehrplanPLUS) · BY
Systeme linearer Gleichungen: zwei Unbekannte, zwei Gleichungen, ein Zahlenpaar
Eine Gleichung mit einer Unbekannten kannst du lösen. Aber was tust du, wenn in einer Aufgabe zwei Größen unbekannt sind – der Preis einer Buchenplatte und der Preis einer Eichenplatte, die Länge und die Breite einer Tischplatte, der Grundpreis und der Stückpreis eines Angebots? Eine einzige Gleichung reicht dann nicht aus. Du brauchst zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten. Genau das ist ein System linearer Gleichungen. Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach, was die Lösung eines solchen Systems überhaupt ist und mit welchen vier Wegen du sie findest.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Die Kompetenzerwartung ist im LehrplanPLUS für beide Ausrichtungen wortgleich, nur die Stundenzahl unterscheidet sich (Mathematik I: 12 Std., Mathematik II/III: 10 Std.). Mathematik I hat also mehr Zeit für anspruchsvollere Sachaufgaben – diese Beispiele sind im letzten Kapitel ausdrücklich gekennzeichnet.
Wozu brauchst du das?
Immer dann, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen: zwei Tarife vergleichen und den Punkt finden, ab dem sich der Wechsel lohnt · aus zwei Rechnungen die Einzelpreise zurückrechnen · aus Umfang und Seitenverhältnis die Maße eines Rechtecks bestimmen · zwei Flüssigkeiten so mischen, dass ein gewünschter Anteil herauskommt · ausrechnen, wann ein später gestartetes Fahrzeug ein früheres einholt. In der Abschlussprüfung tauchen Gleichungssysteme außerdem versteckt auf: sobald du eine Gerade durch zwei gegebene Punkte suchst, löst du in Wahrheit ein System.
Inhalt dieser Seite
- Grafisch lösen: Was ist die Lösung eines Systems?
- Das Gleichsetzungsverfahren
- Das Einsetzungsverfahren
- Das Additionsverfahren – und die beiden Sonderfälle
- Sach- und geometrische Aufgaben
- Das Wichtigste in Kürze
1. Grafisch lösen: Was ist die Lösung eines Systems?
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim braucht einen Zuschnittservice und holt zwei Angebote ein. Anbieter A verlangt 20 € Grundgebühr und 5 € je zugeschnittener Platte. Anbieter B verlangt 50 € Grundgebühr, dafür nur 2 € je Platte. Bei welcher Stückzahl kosten beide Angebote gleich viel?
Nennst du die Anzahl der Platten \( x \) und den Gesamtpreis \( y \), dann gehört zu jedem Angebot eine lineare Gleichung:
Jede dieser Gleichungen für sich hat unendlich viele Lösungen – zu jedem \( x \) gehört ein passendes \( y \). Erst die Frage „Wann gilt beides zugleich?“ macht daraus ein System. Zeichnest du beide Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem, dann ist die Lösung genau der Punkt, der auf beiden Geraden liegt: der Schnittpunkt.
Links vom Schnittpunkt ist A billiger, rechts davon B – genau das liest du am Bild sofort ab.
Ablesen und rechnerisch kontrollieren
| Schnittpunkt abgelesen | \( S(10\,|\,70) \) |
| Probe in (I) | \( 5 \cdot 10 + 20 = 70 \) ✓ |
| Probe in (II) | \( 2 \cdot 10 + 50 = 70 \) ✓ |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(10\,|\,70)\} \) |
Bei 10 Platten kosten beide Angebote 70 €. Bestellt das Holzwerk regelmäßig mehr als 10 Platten, ist Anbieter B günstiger. Achte auf die Schreibweise der Lösung: Es ist ein Zahlenpaar, kein Paar einzelner Zahlen. \( \text{IL} = \{10;\,70\} \) wäre falsch – das wäre eine Menge mit zwei Elementen.
Das grafische Verfahren zeigt dir, was du suchst, aber es hat eine Schwäche: Es ist nur so genau wie deine Zeichnung. Bei einer Lösung wie \( (2{,}37\,|\,4{,}81) \) kommst du damit nicht weiter. Deshalb folgen jetzt drei Rechenverfahren, die immer exakt sind.
Merke: Die Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen ist ein Zahlenpaar \( (x\,|\,y) \), das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Grafisch ist es der Schnittpunkt der beiden Geraden. Du schreibst \( \text{IL} = \{(x\,|\,y)\} \) und prüfst immer durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen.
2. Das Gleichsetzungsverfahren
Die Idee ist dieselbe wie beim Zeichnen, nur ohne Zeichnung. Wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind, steht links zweimal dasselbe \( y \). Dann müssen auch die rechten Seiten übereinstimmen – und diese neue Gleichung enthält nur noch eine Unbekannte.
So gehst du vor: (1) Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen. (2) Die rechten Seiten gleichsetzen. (3) Die entstandene Gleichung lösen. (4) Den Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen und die zweite Variable berechnen. (5) Probe in beiden Gleichungen.
Beispiel 1 – beide Gleichungen sind schon nach \( y \) aufgelöst
| Gleichsetzen | \( 3x – 4 = -x + 8 \) |
| \( +x \) und \( +4 \) | \( 4x = 12 \) |
| \( :4 \) | \( x = 3 \) |
| in (I) einsetzen | \( y = 3 \cdot 3 – 4 = 5 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(3\,|\,5)\} \) |
Probe: (I) \( 3 \cdot 3 – 4 = 5 \) ✓ · (II) \( -3 + 8 = 5 \) ✓. Beide Gleichungen sind erfüllt.
Beispiel 2 – erst umformen, dann gleichsetzen
| (I) nach \( y \) | \( y = 11 – 2x \) |
| (II) nach \( y \) | \( -2y = 6 – 3x \;\Rightarrow\; y = \dfrac{3x – 6}{2} \) |
| Gleichsetzen | \( 11 – 2x = \dfrac{3x – 6}{2} \) |
| \( \cdot 2 \) | \( 22 – 4x = 3x – 6 \) |
| \( +4x \) und \( +6 \) | \( 28 = 7x \;\Rightarrow\; x = 4 \) |
| einsetzen | \( y = 11 – 2 \cdot 4 = 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(4\,|\,3)\} \) |
Probe: (I) \( 2 \cdot 4 + 3 = 11 \) ✓ · (II) \( 3 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 12 – 6 = 6 \) ✓.
Merke: Das Gleichsetzungsverfahren lohnt sich vor allem, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind – also bei Geradengleichungen der Form \( y = mx + t \). Setze niemals eine nach \( y \) aufgelöste Gleichung mit einer nach \( x \) aufgelösten gleich: Es muss dieselbe Variable sein.
3. Das Einsetzungsverfahren
Hier löst du nur eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Gleichung ein. Das ist immer dann der schnellste Weg, wenn irgendwo eine Variable allein oder mit dem Faktor 1 steht – dann entstehen beim Auflösen keine Brüche.
So gehst du vor: (1) Die günstigste Gleichung nach der günstigsten Variablen auflösen. (2) Den Term in die andere Gleichung einsetzen – und dabei klammern. (3) Lösen. (4) Rückeinsetzen. (5) Probe.
Beispiel
| (I) nach \( x \) auflösen | \( x = 1 + 2y \) |
| in (II) einsetzen | \( 3(1 + 2y) + 4y = 23 \) |
| ausmultiplizieren | \( 3 + 6y + 4y = 23 \) |
| zusammenfassen | \( 10y = 20 \;\Rightarrow\; y = 2 \) |
| rückeinsetzen | \( x = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(5\,|\,2)\} \) |
Probe: (I) \( 5 – 2 \cdot 2 = 5 – 4 = 1 \) ✓ · (II) \( 3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 15 + 8 = 23 \) ✓.
Der häufigste Fehler in diesem Verfahren: den eingesetzten Term nicht einklammern. Ohne Klammer würde aus \( 3 \cdot (1 + 2y) \) das falsche \( 3 + 2y \) statt \( 3 + 6y \). Der zweithäufigste: den Term in dieselbe Gleichung zurückzusetzen, aus der er stammt – dann erhältst du \( 1 = 1 \) und hast nichts gewonnen.
Merke: Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und der Term in die andere Gleichung eingesetzt – stets in Klammern. Suche dir dafür die Variable mit dem Vorfaktor 1 oder −1, dann bleibst du bruchfrei.
4. Das Additionsverfahren – und die beiden Sonderfälle
Beim Additionsverfahren löst du gar nichts auf. Du addierst die beiden Gleichungen so, dass sich eine Variable von selbst aufhebt. Das geht, weil du auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe addieren darfst – und die zweite Gleichung sagt ja gerade, dass ihre linke und ihre rechte Seite dasselbe sind.
Beispiel 1 – die Gegenzahlen sind schon da
| (I) + (II) | \( 6x + 0y = 30 \) |
| \( :6 \) | \( x = 5 \) |
| in (I) | \( 20 + 3y = 23 \;\Rightarrow\; y = 1 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(5\,|\,1)\} \) |
Probe: (I) \( 4 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 23 \) ✓ · (II) \( 2 \cdot 5 – 3 \cdot 1 = 7 \) ✓.
Beispiel 2 – eine Gleichung mit einem Faktor erweitern
So passt nichts zusammen. Multiplizierst du aber die ganze Gleichung (II) mit 2, entsteht \( -2y \) als Gegenzahl zu \( +2y \):
| (II) \( \cdot 2 \) | \( 2x – 2y = 4 \) |
| (I) + erweiterte (II) | \( 5x = 20 \;\Rightarrow\; x = 4 \) |
| in (II) | \( 4 – y = 2 \;\Rightarrow\; y = 2 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(4\,|\,2)\} \) |
Probe: (I) \( 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 12 + 4 = 16 \) ✓ · (II) \( 4 – 2 = 2 \) ✓. Wichtig: Beim Erweitern wird die gesamte Gleichung mit dem Faktor multipliziert, auch die Zahl auf der rechten Seite.
Beispiel 3 – beide Gleichungen erweitern
Hier hilft kein einzelner Faktor. Du suchst das kleinste gemeinsame Vielfache der Vorfaktoren von \( y \), also von 4 und 3: das ist 12. Multipliziere (I) mit 3 und (II) mit 4.
| (I) \( \cdot 3 \) | \( 9x + 12y = 54 \) |
| (II) \( \cdot 4 \) | \( 8x – 12y = -20 \) |
| addieren | \( 17x = 34 \;\Rightarrow\; x = 2 \) |
| in (I) | \( 6 + 4y = 18 \;\Rightarrow\; y = 3 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(2\,|\,3)\} \) |
Probe: (I) \( 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 6 + 12 = 18 \) ✓ · (II) \( 2 \cdot 2 – 3 \cdot 3 = 4 – 9 = -5 \) ✓.
Sonderfall 1: keine Lösung
Was passiert, wenn du das Verfahren auf ein System anwendest, das gar keine Lösung hat? Du merkst es an der Rechnung selbst.
| (I) \( \cdot (-2) \) | \( -4x – 6y = -24 \) |
| dazu (II) | \( 4x + 6y = 30 \) |
| addieren | \( 0 = 6 \) – Widerspruch |
Beide Variablen sind verschwunden und übrig bleibt eine falsche Aussage. Kein Zahlenpaar der Welt kann \( 0 = 6 \) wahr machen, also gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt: \( \text{IL} = \{\;\} \). Grafisch sind das zwei parallele Geraden – löst du beide Gleichungen nach \( y \) auf, erhältst du \( y = -\tfrac{2}{3}x + 4 \) und \( y = -\tfrac{2}{3}x + 5 \): gleiche Steigung, verschiedener \( y \)-Achsenabschnitt.
Sonderfall 2: unendlich viele Lösungen
Ändere in (II) nur die rechte Seite von 30 auf 24:
| (I) \( \cdot (-2) \) | \( -4x – 6y = -24 \) |
| addieren | \( 0 = 0 \) – immer wahr |
Jetzt bleibt eine immer wahre Aussage stehen. Das heißt: Die zweite Gleichung ist nur das Doppelte der ersten, sie sagt inhaltlich nichts Neues. Jedes Zahlenpaar, das (I) erfüllt, erfüllt auch (II). Beide Geraden sind identisch, das System hat unendlich viele Lösungen:
Die Sonderfälle musst du nicht vorher erkennen – die Rechnung zeigt sie dir von allein an.
Merke: Beim Additionsverfahren erweiterst du eine oder beide Gleichungen so, dass die Vorfaktoren einer Variablen Gegenzahlen werden; dann fällt sie beim Addieren weg. Fällt dabei alles weg, entscheidet die übrige Aussage: \( 0 = \text{Zahl} \ne 0 \) bedeutet keine Lösung (parallele Geraden, \( \text{IL} = \{\;\} \)), \( 0 = 0 \) bedeutet unendlich viele Lösungen (identische Geraden).
5. Sach- und geometrische Aufgaben
Die Verfahren kannst du jetzt. In der Prüfung ist aber das Aufstellen der beiden Gleichungen die eigentliche Hürde. Halte dich an diese Reihenfolge: (1) Was ist gesucht? Zwei Größen benennen und als \( x \) und \( y \) festlegen – mit Einheit. (2) Welche zwei Bedingungen nennt der Text? Jede Bedingung gibt eine Gleichung. (3) Lösen mit dem günstigsten Verfahren. (4) Probe am Text, nicht nur an den Gleichungen. (5) Antwortsatz mit Einheit.
Beispiel 1 – zwei Rechnungen, zwei Einzelpreise
Das Holzwerk Brandl hat zweimal beim selben Händler bestellt. Die erste Lieferung umfasste 3 Buchenplatten und 2 Eichenplatten und kostete 235 €. Die zweite Lieferung umfasste 5 Buchenplatten und 4 Eichenplatten und kostete 425 €. Was kostet eine einzelne Platte je Holzart?
| Festlegung | \( x \) = Preis einer Buchenplatte in €, \( y \) = Preis einer Eichenplatte in € |
| (I) 1. Lieferung | \( 3x + 2y = 235 \) |
| (II) 2. Lieferung | \( 5x + 4y = 425 \) |
| (I) \( \cdot (-2) \) | \( -6x – 4y = -470 \) |
| addieren zu (II) | \( -x = -45 \;\Rightarrow\; x = 45 \) |
| in (I) | \( 135 + 2y = 235 \;\Rightarrow\; y = 50 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(45\,|\,50)\} \) |
Probe am Text: 1. Lieferung \( 3 \cdot 45\ \text{€} + 2 \cdot 50\ \text{€} = 135\ \text{€} + 100\ \text{€} = 235\ \text{€} \) ✓ · 2. Lieferung \( 5 \cdot 45\ \text{€} + 4 \cdot 50\ \text{€} = 225\ \text{€} + 200\ \text{€} = 425\ \text{€} \) ✓. Antwort: Eine Buchenplatte kostet 45 €, eine Eichenplatte 50 €.
Beispiel 2 – eine geometrische Aufgabe
Eine rechteckige Tischplatte hat einen Umfang von 3,60 m. Ihre Länge ist um 0,40 m größer als ihre Breite. Wie lang und wie breit ist die Platte?
| Festlegung | \( x \) = Länge in m, \( y \) = Breite in m |
| (I) Umfang | \( 2(x + y) = 3{,}60 \;\Rightarrow\; x + y = 1{,}80 \) |
| (II) Längenvergleich | \( x – y = 0{,}40 \) |
| (I) + (II) | \( 2x = 2{,}20 \;\Rightarrow\; x = 1{,}10 \) |
| in (I) | \( y = 1{,}80 – 1{,}10 = 0{,}70 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(1{,}10\,|\,0{,}70)\} \) |
Probe am Text: Umfang \( 2 \cdot (1{,}10\ \text{m} + 0{,}70\ \text{m}) = 2 \cdot 1{,}80\ \text{m} = 3{,}60\ \text{m} \) ✓ · Differenz \( 1{,}10\ \text{m} – 0{,}70\ \text{m} = 0{,}40\ \text{m} \) ✓. Antwort: Die Platte ist 1,10 m lang und 0,70 m breit.
Beispiel 3 – Mischungsaufgabe (zusätzlich für Mathematik I)
In der Lackiererei stehen zwei Klarlacke: Lack A mit 30 % Festkörperanteil und Lack B mit 50 %. Merve soll daraus 20 Liter Mischung mit genau 36 % Festkörperanteil ansetzen. Wie viel Liter nimmt sie von jedem Lack?
Die zwei Bedingungen sind hier von verschiedener Art: Die erste betrifft die Menge, die zweite den Inhaltsstoff. Genau das ist das Muster jeder Mischungsaufgabe.
| Festlegung | \( x \) = Liter Lack A, \( y \) = Liter Lack B |
| (I) Gesamtmenge | \( x + y = 20 \) |
| (II) Festkörper | \( 0{,}3x + 0{,}5y = 0{,}36 \cdot 20 = 7{,}2 \) |
| (I) nach \( y \) | \( y = 20 – x \) |
| in (II) einsetzen | \( 0{,}3x + 0{,}5(20 – x) = 7{,}2 \) |
| ausmultiplizieren | \( 10 – 0{,}2x = 7{,}2 \;\Rightarrow\; x = 14 \) |
| rückeinsetzen | \( y = 20 – 14 = 6 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(14\,|\,6)\} \) |
Probe am Text: Menge \( 14\ \text{l} + 6\ \text{l} = 20\ \text{l} \) ✓ · Festkörper \( 0{,}3 \cdot 14\ \text{l} + 0{,}5 \cdot 6\ \text{l} = 4{,}2\ \text{l} + 3{,}0\ \text{l} = 7{,}2\ \text{l} \), und \( 7{,}2 : 20 = 0{,}36 = 36\ \% \) ✓. Antwort: Merve nimmt 14 l von Lack A und 6 l von Lack B.
Beispiel 4 – Bewegungsaufgabe (zusätzlich für Mathematik I)
Der Lieferwagen des Holzwerks verlässt Rosenheim um 8:00 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h. Eine Stunde später startet Tobias mit dem schnelleren Transporter auf derselben Strecke, er fährt 90 km/h. Wann und wo holt er den Lieferwagen ein?
Miss die Zeit \( t \) in Stunden ab 8:00 Uhr und den zurückgelegten Weg \( s \) in km. Beide Fahrzeuge legen den Weg „Geschwindigkeit mal Zeit“ zurück – der Transporter ist aber eine Stunde kürzer unterwegs.
| (I) Lieferwagen | \( s = 60t \) |
| (II) Transporter | \( s = 90(t – 1) \) |
| gleichsetzen | \( 60t = 90t – 90 \) |
| \( -90t \) | \( -30t = -90 \;\Rightarrow\; t = 3 \) |
| in (I) | \( s = 60 \cdot 3 = 180 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(3\,|\,180)\} \) |
Probe am Text: Der Lieferwagen fährt 3 h lang 60 km/h, also \( 180\ \text{km} \) ✓. Der Transporter fährt 2 h lang 90 km/h, also ebenfalls \( 180\ \text{km} \) ✓. Antwort: Tobias holt den Lieferwagen um 11:00 Uhr nach 180 km ein.
Beispiel 5 – Winkel im Dreieck (zusätzlich für Mathematik I)
In einem Dreieck beträgt der Winkel \( \gamma = 30^\circ \). Der Winkel \( \alpha \) ist doppelt so groß wie der Winkel \( \beta \). Berechne \( \alpha \) und \( \beta \).
| (I) Winkelsumme | \( \alpha + \beta + 30^\circ = 180^\circ \;\Rightarrow\; \alpha + \beta = 150^\circ \) |
| (II) Verhältnis | \( \alpha = 2\beta \) |
| (II) in (I) einsetzen | \( 2\beta + \beta = 150^\circ \;\Rightarrow\; 3\beta = 150^\circ \) |
| lösen | \( \beta = 50^\circ,\quad \alpha = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(100^\circ\,|\,50^\circ)\} \) |
Probe am Text: \( 100^\circ + 50^\circ + 30^\circ = 180^\circ \) ✓ · \( 100^\circ = 2 \cdot 50^\circ \) ✓. Antwort: \( \alpha = 100^\circ \) und \( \beta = 50^\circ \); das Dreieck ist stumpfwinklig.
Merke: Bei Sachaufgaben gilt immer: zwei Unbekannte benennen, zwei Bedingungen finden, zwei Gleichungen aufstellen. Die beiden Bedingungen sind fast nie von derselben Art – typisch ist eine über die Anzahl oder Menge und eine über Preis, Anteil, Weg oder Maßverhältnis. Die Probe machst du am Aufgabentext, nicht an deinen eigenen Gleichungen: Sonst merkst du einen Aufstellfehler nie.
6. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- Die Lösung ist ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen zugleich erfüllt: \( \text{IL} = \{(x\,|\,y)\} \) – grafisch der Schnittpunkt der beiden Geraden.
- Alle drei Rechenverfahren führen zum selben Ergebnis. Sie unterscheiden sich nur im Aufwand: Gleichsetzen, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind; Einsetzen, wenn irgendwo eine Variable mit dem Faktor 1 steht; Addieren, wenn beide Gleichungen in der Form \( ax + by = c \) vorliegen.
- Beim Erweitern wird immer die ganze Gleichung mit dem Faktor multipliziert, beim Einsetzen wird der Term immer eingeklammert.
- Verschwinden beide Variablen: \( 0 = \text{Zahl} \ne 0 \) → keine Lösung, parallele Geraden. \( 0 = 0 \) → unendlich viele Lösungen, identische Geraden.
- Die Probe gehört in beide Ausgangsgleichungen – bei Sachaufgaben zusätzlich in den Aufgabentext, und die Antwort kommt mit Einheit.
7. So fragt die Abschlussprüfung
In der Abschlussprüfung steht fast nie „Löse das folgende Gleichungssystem“. Stattdessen bekommst du eine Sachsituation mit zwei unbekannten Größen und musst die beiden Gleichungen selbst aufstellen – genau dafür gibt es die meisten Punkte. Drei typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl, gelöst so, wie es der Erwartungshorizont verlangt:
Aufgabe 1 – Preise aus zwei Lieferungen (Additionsverfahren). Die Möbelmanufaktur Holzwerk Brandl e.K. liefert an zwei Schulen. Die Realschule am Innufer bestellt 3 Massivholztische und 4 Regalsysteme und zahlt 1 830 €. Eine zweite Schule bestellt 2 Massivholztische und 6 Regalsysteme und zahlt 1 620 €. Wie teuer ist ein Tisch, wie teuer ein Regalsystem?
Variablen festlegen: \( x \) = Preis eines Tisches in €, \( y \) = Preis eines Regalsystems in €, mit \( x, y \in \text{IR}, \; x, y > 0 \).
| Gleichung I | \( 3x + 4y = 1830 \) |
| Gleichung II | \( 2x + 6y = 1620 \) |
| gleichnamig machen: I · 2, II · 3 | \( 6x + 8y = 3660 \), \( 6x + 18y = 4860 \) |
| zweite minus erste | \( 10y = 1200 \;\Rightarrow\; y = 120 \) |
| in I einsetzen | \( 3x + 480 = 1830 \;\Rightarrow\; 3x = 1350 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{(450 \,|\, 120)\} \) |
Gegenprobe – und zwar in beiden Gleichungen: \( 3 \cdot 450 + 4 \cdot 120 = 1350 + 480 = 1830 \) ✓ und \( 2 \cdot 450 + 6 \cdot 120 = 900 + 720 = 1620 \) ✓. Antwort: Ein Massivholztisch kostet 450 €, ein Regalsystem 120 €.
Aufgabe 2 – geometrische Aufgabe (Einsetzungsverfahren). Katharina Brandl plant eine rechteckige Tischplatte. Sie soll einen Umfang von 5,40 m haben, und die Länge soll 90 cm größer sein als die Breite. Berechne Länge und Breite.
Variablen festlegen: \( x \) = Länge in cm, \( y \) = Breite in cm. Der Umfang 5,40 m entspricht 540 cm – zuerst auf eine Einheit bringen.
| Gleichung I (Umfang) | \( 2x + 2y = 540 \;\Leftrightarrow\; x + y = 270 \) |
| Gleichung II (Bedingung) | \( x = y + 90 \) |
| II in I einsetzen | \( (y + 90) + y = 270 \) |
| zusammenfassen | \( 2y = 180 \;\Rightarrow\; y = 90 \) |
| zweite Unbekannte | \( x = 180 \), also \( \text{IL} = \{(180 \,|\, 90)\} \) |
Gegenprobe: Umfang \( 2 \cdot 180 + 2 \cdot 90 = 360 + 180 = 540 \) (cm) ✓ und \( 180 – 90 = 90 \) ✓. Antwort: Die Platte wird 180 cm lang und 90 cm breit (1,80 m × 0,90 m).
Aufgabe 3 – zwei Angebote vergleichen (Gleichsetzungsverfahren). Für den Plattenzuschnitt gibt es zwei Angebote. Sägewerk A verlangt 30 € Grundpreis und 5 € je Schnitt, Sägewerk B verlangt 12 € Grundpreis und 8 € je Schnitt. Bei welcher Anzahl von Schnitten sind beide gleich teuer – und welches Angebot lohnt sich für 10 Schnitte?
Ansatz: \( n \) = Anzahl der Schnitte, \( n \in \text{IN} \) (Definitionsbereich: nur ganze, nicht negative Stückzahlen sind sinnvoll). Preisfunktionen: \( y_A = 5n + 30 \) und \( y_B = 8n + 12 \).
| gleichsetzen | \( 5n + 30 = 8n + 12 \) |
| nach \( n \) ordnen | \( 30 – 12 = 8n – 5n \;\Rightarrow\; 18 = 3n \) |
| Lösung | \( n = 6 \), Preis \( y = 60\ \text{€} \) |
Gegenprobe: \( y_A = 5 \cdot 6 + 30 = 60 \) und \( y_B = 8 \cdot 6 + 12 = 60 \) ✓. Für 10 Schnitte: \( y_A = 80\ \text{€} \), \( y_B = 92\ \text{€} \). Antwort: Bei genau 6 Schnitten kosten beide Angebote 60 €. Ab 7 Schnitten ist Sägewerk A günstiger, bei 10 Schnitten um 12 €. Geometrisch: Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \( (6 \,|\, 60) \) – genau das ist die Lösung des Systems.
8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Die Variablen werden nicht erklärt. Ursache: Es wird sofort gerechnet, \( x \) und \( y \) stehen ohne Bedeutung und ohne Einheit da. Vermeidung: Schreibe vor der ersten Gleichung zwei Zeilen hin – „\( x \) = Preis eines Tisches in €“, „\( y \) = …“. Diese Zeilen sind in der Prüfung eigene Punkte wert und du brauchst sie später für den Antwortsatz.
- Beim Additionsverfahren nur eine Gleichung multipliziert. Ursache: Es wird die linke Seite mit dem Faktor erweitert, das Ergebnis rechts vom Gleichheitszeichen aber vergessen. Vermeidung: Schreibe den Faktor rechts an die Gleichung („\( \mid \cdot 2 \)“) und multipliziere jedes Glied – auch die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen.
- Vorzeichenfehler beim Subtrahieren der Gleichungen. Ursache: Beim Abziehen wird nur das erste Glied umgedreht, die übrigen behalten ihr Vorzeichen. Vermeidung: Rechne lieber „Gegenzahl addieren“: Multipliziere die ganze Gleichung mit \( -1 \) und addiere dann. So kannst du jedes Vorzeichen einzeln kontrollieren.
- Nur eine Unbekannte ausgerechnet. Ursache: Nach \( y = 120 \) fühlt sich die Aufgabe fertig an, das Rückeinsetzen für \( x \) fällt weg. Vermeidung: Die Lösung eines Systems ist immer ein Zahlenpaar. Notiere sie als \( \text{IL} = \{(x \,|\, y)\} \) – eine Klammer mit nur einer Zahl fällt dir dabei sofort auf.
- Die Probe nur in einer Gleichung gemacht. Ursache: Das Paar passt in die Gleichung, in die zuletzt eingesetzt wurde – ein Fehler in der anderen Gleichung bleibt unentdeckt. Vermeidung: Setze das Zahlenpaar immer in beide Ausgangsgleichungen ein, nicht in die umgeformten.
- Die Sonderfälle falsch gedeutet. Ursache: Beim Wegfallen beider Variablen wird pauschal „keine Lösung“ geschrieben. Vermeidung: Sieh genau hin. Bleibt eine wahre Aussage wie \( 0 = 0 \) stehen, sind die Geraden identisch und es gibt unendlich viele Lösungen. Bleibt eine falsche Aussage wie \( 0 = 18 \) stehen, sind die Geraden parallel und \( \text{IL} = \{\,\} \).
- Einheiten gemischt und Antwortsatz vergessen. Ursache: Im Text stehen Meter und Zentimeter durcheinander, oder es endet mit „\( x = 180 \)“. Vermeidung: Vor dem Aufstellen der Gleichungen alle Angaben auf eine Einheit bringen, und am Ende einen vollständigen Satz mit Zahl und Einheit schreiben.
Weiterlernen
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen – die Äquivalenzumformungen, auf denen alle drei Verfahren beruhen.
- Funktionen und lineare Funktionen – warum jede Gleichung \( ax + by = c \) eine Gerade ist.
- Quadratische Funktionen – der nächste Schritt: Schnittpunkte von Gerade und Parabel.
- Reelle Zahlen und Quadratwurzeln – die Zahlenmenge IR, in der wir hier rechnen.
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