Mathematik Realschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich „Funktionen“ (LehrplanPLUS) · BY
Funktionen und lineare Funktionen: y = mx + t verstehen, zeichnen und aufstellen
Bisher hast du mit einzelnen Zahlen gerechnet. Jetzt geht es um Zusammenhänge: Je mehr Meter Leimholz das Holzwerk Brandl bestellt, desto höher die Rechnung. Je länger die Säge läuft, desto mehr Späne fallen an. Solche Zusammenhänge kannst du als Funktion aufschreiben – und wenn sie gleichmäßig wachsen, ist ihr Graph eine Gerade. Auf dieser Seite lernst du Schritt für Schritt, was eine Funktion ist, was die beiden Zahlen \( m \) und \( t \) in \( y = mx + t \) bedeuten, wie du den Graphen zeichnest, wie du die Gleichung aus einem Bild oder aus zwei Punkten zurückgewinnst und wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest.
Wichtig: Dieses Thema ist bei Mathematik I und Mathematik II/III unterschiedlich verteilt.
Mathematik I behandelt lineare Funktionen vollständig bereits in der 8. Klasse: Lernbereich „Funktionen“ mit 26 Stunden, einschließlich \( y = mx + t \), Parallelenscharen und Flächeninhalten mit zweireihigen Determinanten. Für Zug I ist also die ganze Seite Stoff der 8. Klasse.
Mathematik II/III hat in Jgst. 8 einen deutlich kleineren Lernbereich „Funktionen“ (8 Stunden). Dort geht es nur um den Funktionsbegriff, die vier Darstellungsformen samt Funktionswerten und Nullstellen, die Ursprungsgerade \( y = mx \) mit Steigungsdreieck und um das Kriterium \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) für orthogonale Geraden – das sind die Kapitel 1, 2 und der Orthogonalitätsteil von Kapitel 5 dieser Seite. Die Normalform \( y = mx + t \) mit dem \( y \)-Achsenabschnitt, die parallelen Geraden, die Parallelenscharen und die Flächeninhalte mit zweireihigen Determinanten kommen bei Zug II/III erst in der 9. Klasse im Lernbereich „Lineare Funktionen“ (15 Stunden). Wenn du Zug II oder III besuchst, sind die Kapitel 3, 4, 6 und 7 also Vorschau bzw. Nachschlagewerk für Jgst. 9. Kapitel 8 bleibt ausdrücklich nur für Mathematik I.
Wozu brauchst du das?
Lineare Funktionen sind das Werkzeug für alles, was mit einem festen Grundbetrag startet und dann gleichmäßig steigt: Handytarife mit Grundgebühr und Preis pro Gigabyte · Stromrechnungen mit Grundpreis und Arbeitspreis · Taxifahrten mit Grundtaxe und Kilometerpreis · Materialbedarf, der proportional zur Werkstücklänge wächst · Handwerkerrechnungen mit Anfahrtspauschale und Stundenlohn. Und in der Abschlussprüfung steckt \( y = mx + t \) überall: bei Gleichungssystemen, bei Schnittpunkten mit Parabeln, bei Steigungen von Rampen. Wer die Gerade beherrscht, hat den Rest der Analysis halb gewonnen.
Inhalt dieser Seite
- Zuordnung und Funktion – was „eindeutig“ bedeutet
- Die Ursprungsgerade y = mx und das Steigungsdreieck
- y = mx + t: der y-Achsenabschnitt t und das Zeichnen des Graphen
- Funktionsgleichung aufstellen – aus dem Graphen und aus zwei Punkten
- Parallele und orthogonale Geraden
- Der Schnittpunkt zweier Geraden
- Anwendungen: Kostenfunktionen im Holzwerk Brandl
- Nur für Mathematik I: Parallelenscharen und Flächen im Koordinatensystem
- Das Wichtigste in Kürze
1. Zuordnung und Funktion – was „eindeutig“ bedeutet
Eine Zuordnung ordnet jedem Element einer Ausgangsmenge ein oder mehrere Elemente einer Zielmenge zu. Eine Funktion ist eine Zuordnung mit einer zusätzlichen Bedingung: Jedem \( x \)-Wert wird genau ein \( y \)-Wert zugeordnet. Nicht „mindestens einer“, nicht „höchstens einer“ – genau einer.
Beispiel aus dem Holzwerk: Jeder Auftragsnummer ist genau ein Rechnungsbetrag zugeordnet – das ist eine Funktion. Umgekehrt ist jedem Rechnungsbetrag nicht mehr genau eine Auftragsnummer zugeordnet, denn zwei Aufträge können gleich viel kosten – als Zuordnung in dieser Richtung ist es keine Funktion.
Die Eindeutigkeit entscheidet: Von jedem linken Punkt darf genau ein Pfeil ausgehen.
Die vier Darstellungsformen
Dieselbe Funktion kannst du auf vier Arten aufschreiben. Nimm die Funktion „Spänemenge in kg“ in Abhängigkeit von der Sägezeit in Stunden bei 3 kg pro Stunde:
| verbal | „Pro Stunde fallen 3 kg Späne an.“ |
| Funktionsgleichung | \( y = 3x \) bzw. \( f(x) = 3x \) |
| Wertetabelle | \( x \): 0, 1, 2, 3 → \( y \): 0, 3, 6, 9 |
| Graph | Gerade durch den Ursprung (siehe Kapitel 2) |
Dazu gehört immer die Definitionsmenge \( \text{ID} \): die Menge aller \( x \)-Werte, die eingesetzt werden dürfen. Rein rechnerisch ist bei \( y = 3x \) jede reelle Zahl erlaubt, also \( \text{ID} = \text{IR} \). Im Sachzusammenhang gibt es keine negative Sägezeit, deshalb schränkst du ein: \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x \ge 0\} \). Die zugehörigen \( y \)-Werte bilden die Wertemenge \( \text{IW} \).
Eine Nullstelle ist ein \( x \)-Wert mit \( f(x) = 0 \) – grafisch der Schnittpunkt des Graphen mit der \( x \)-Achse. Bei \( y = 3x \) ist \( 3x = 0 \), also \( x = 0 \).
Merke: Eine Funktion liegt vor, wenn zu jedem \( x \) aus der Definitionsmenge \( \text{ID} \) genau ein Wert \( y \) aus der Wertemenge \( \text{IW} \) gehört. Am Graphen prüfst du das mit der Senkrechten-Probe: Legst du irgendwo eine Senkrechte zur \( x \)-Achse an, darf sie den Graphen an keiner Stelle mehr als einmal treffen. Gib zu jeder Funktion die Definitionsmenge an – im Sachzusammenhang ist sie fast nie ganz \( \text{IR} \).
2. Die Ursprungsgerade y = mx und das Steigungsdreieck
Der einfachste Funktionstyp ist \( y = mx \). Sein Graph ist eine Gerade, die immer durch den Ursprung \( O(0\,|\,0) \) geht – denn setzt du \( x = 0 \) ein, kommt \( y = 0 \) heraus. Die Zahl \( m \) heißt Steigung. Sie sagt dir, um wie viel \( y \) wächst, wenn \( x \) um 1 größer wird.
Sichtbar machst du \( m \) mit dem Steigungsdreieck: Gehe von einem Punkt der Geraden ein Stück \( \Delta x \) nach rechts und dann \( \Delta y \) nach oben (oder unten), bis du wieder auf der Geraden bist. Dann gilt
Im Bild unten ist \( \Delta x = 4 \) und \( \Delta y = 3 \), also \( m = \tfrac{3}{4} = 0{,}75 \).
Das Steigungsdreieck darfst du an jede Stelle der Geraden legen – das Verhältnis \( \Delta y : \Delta x \) bleibt gleich.
Kontrolle mit einem zweiten Steigungsdreieck
Nimm statt \( \Delta x = 4 \) den Wert \( \Delta x = 8 \), also den Punkt \( Q(8\,|\,6) \) auf derselben Geraden. Dann ist \( \Delta y = 6 \) und
Derselbe Wert – genau das ist der Kern: Die Steigung ist eine Eigenschaft der ganzen Geraden, nicht eines einzelnen Dreiecks.
Vorzeichen der Steigung
| \( m > 0 \) | Gerade steigt von links nach rechts an |
| \( m < 0 \) | Gerade fällt von links nach rechts |
| \( m = 0 \) | Gerade verläuft waagrecht, parallel zur \( x \)-Achse |
Merke: Jede Gleichung der Bauart \( y = mx \) beschreibt eine Gerade, die den Ursprung \( O(0\,|\,0) \) enthält – deshalb spricht man von Ursprungsgeraden. Der Vorfaktor \( m \) ist die Steigung; für \( m > 0 \) steigt die Gerade, für \( m < 0 \) fällt sie. Die Steigung berechnest du aus jedem Steigungsdreieck als \( m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \). Achte auf die Reihenfolge: \( \Delta y \) steht oben. Der Bruch \( \dfrac{\Delta x}{\Delta y} \) wäre der Kehrwert und damit falsch.
3. y = mx + t: der y-Achsenabschnitt t und das Zeichnen des Graphen
Addierst du zu \( mx \) noch eine feste Zahl \( t \), verschiebt sich die ganze Gerade nach oben oder unten. Die Form
heißt Normalform der Geradengleichung. Sie hat zwei Parameter mit klarer Bedeutung:
| \( m \) – Steigung | Wie steil die Gerade ist. Ablesbar am Steigungsdreieck. |
| \( t \) – \( y \)-Achsenabschnitt | Wo die Gerade die \( y \)-Achse schneidet: im Punkt \( (0\,|\,t) \). |
Warum \( (0\,|\,t) \)? Setze \( x = 0 \) ein: \( y = m \cdot 0 + t = t \). Der \( y \)-Achsenabschnitt ist also einfach der Funktionswert an der Stelle 0.
Beispiel: den Graphen von \( y = 0{,}5x + 2 \) zeichnen
| Schritt 1 – \( t \) eintragen | \( t = 2 \), also Punkt \( (0\,|\,2) \) |
| Schritt 2 – \( m \) als Bruch | \( m = 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) |
| Schritt 3 – Dreieck | von \( (0\,|\,2) \) aus 2 nach rechts, 1 nach oben → \( (2\,|\,3) \) |
| Schritt 4 – Gerade | beide Punkte verbinden und über sie hinaus verlängern |
Kontrolle mit einem dritten Punkt: \( x = 4 \) liefert \( y = 0{,}5 \cdot 4 + 2 = 4 \), also \( (4\,|\,4) \). Dieser Punkt muss auf der gezeichneten Geraden liegen – tut er.
Nullstelle: \( 0{,}5x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; 0{,}5x = -2 \;\Rightarrow\; x = -4 \). Die Gerade schneidet die \( x \)-Achse bei \( (-4\,|\,0) \). Probe: \( 0{,}5 \cdot (-4) + 2 = -2 + 2 = 0 \) ✓
Erst \( t \) auf der \( y \)-Achse markieren, dann von dort das Steigungsdreieck anlegen.
Die Sonderfälle achsenparalleler Geraden
Ist \( m = 0 \), bleibt \( y = t \) übrig: eine waagrechte Gerade, parallel zur \( x \)-Achse. Das ist eine Funktion – jedem \( x \) ist genau ein \( y \) zugeordnet, nämlich immer dasselbe. Eine senkrechte Gerade schreibt man dagegen \( x = c \). Sie lässt sich nicht als \( y = mx + t \) darstellen und ist keine Funktion: Über der Stelle \( c \) liegen unendlich viele \( y \)-Werte, die Senkrechten-Probe scheitert.
Merke: Alles, was sich als \( y = mx + t \) schreiben lässt, ist eine lineare Funktion, und ihr Graph ist stets eine Gerade. Diese Schreibweise trägt den Namen Normalform der Geradengleichung. Darin steckt in \( m \) die Steigung und in \( t \) der \( y \)-Achsenabschnitt; die Gerade läuft durch \( (0\,|\,t) \). Setzt man \( t = 0 \), bleibt die Ursprungsgerade \( y = mx \) übrig. Zum Zeichnen: erst \( (0\,|\,t) \) markieren, dann \( m \) als Bruch \( \tfrac{\Delta y}{\Delta x} \) schreiben und das Steigungsdreieck anlegen. Waagrechte Geraden heißen \( y = t \) (Funktion, \( m = 0 \)), senkrechte Geraden heißen \( x = c \) (keine Funktion).
4. Funktionsgleichung aufstellen – aus dem Graphen und aus zwei Punkten
Jetzt drehst du die Richtung um: Gegeben ist die Gerade, gesucht ist ihre Gleichung. Du brauchst dazu immer zwei Bestimmungsstücke – zwei Punkte, oder einen Punkt und die Steigung.
Fall A – aus dem Graphen ablesen
Lies zuerst \( t \) am Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse ab. Lege dann ein Steigungsdreieck an zwei gut ablesbaren Gitterpunkten an und bilde \( m = \tfrac{\Delta y}{\Delta x} \). Im Bild unten schneidet die Gerade die \( y \)-Achse bei \( 2 \), und von \( A(-1\,|\,4) \) aus führen \( \Delta x = 4 \) nach rechts und \( \Delta y = -8 \) nach unten zu \( B(3\,|\,-4) \).
Geht es beim Steigungsdreieck nach unten, ist \( \Delta y \) negativ – und damit auch \( m \).
Probe an beiden Punkten: \( A \): \( -2 \cdot (-1) + 2 = 2 + 2 = 4 \) ✓ · \( B \): \( -2 \cdot 3 + 2 = -6 + 2 = -4 \) ✓
Fall B – aus zwei Punkten rechnen
Wenn kein Bild vorliegt, rechnest du. Für zwei Punkte \( P_1(x_1\,|\,y_1) \) und \( P_2(x_2\,|\,y_2) \) mit \( x_1 \ne x_2 \) gilt die Zweipunkteformel für die Steigung:
Danach setzt du einen der Punkte in \( y = mx + t \) ein und löst nach \( t \) auf.
Beispiel: Gerade durch \( P_1(-3\,|\,-1) \) und \( P_2(3\,|\,3) \)
| Steigung | \( m = \dfrac{3 – (-1)}{3 – (-3)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \) |
| \( P_2 \) einsetzen | \( 3 = \dfrac{2}{3} \cdot 3 + t = 2 + t \) |
| nach \( t \) auflösen | \( t = 1 \) |
| Funktionsgleichung | \( y = \dfrac{2}{3}x + 1 \) |
Probe am zweiten Punkt (dem, den du nicht zum Bestimmen von \( t \) benutzt hast): \( \tfrac{2}{3} \cdot (-3) + 1 = -2 + 1 = -1 \) ✓. Genau dafür ist der zweite Punkt gut – er kontrolliert deine Rechnung kostenlos.
Fall C – ein Punkt und die Steigung
Gesucht ist die Gerade mit \( m = -3 \) durch \( P(2\,|\,1) \). Einsetzen: \( 1 = -3 \cdot 2 + t = -6 + t \), also \( t = 7 \) und damit \( y = -3x + 7 \). Probe: \( -3 \cdot 2 + 7 = 1 \) ✓
Merke: Zwei Bestimmungsstücke legen eine Gerade fest. Aus zwei Punkten: erst \( m = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \), dann einen Punkt einsetzen und nach \( t \) auflösen. Die Reihenfolge im Zähler und im Nenner muss dieselbe sein – also nicht \( y_2 – y_1 \) über \( x_1 – x_2 \). Zum Schluss immer mit dem zweiten Punkt Probe machen.
5. Parallele und orthogonale Geraden
Die Lage zweier Geraden zueinander hängt allein von ihren Steigungen ab:
| parallel | \( m_1 = m_2 \) (und \( t_1 \ne t_2 \), sonst sind sie identisch) |
| orthogonal | \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) |
| schneidend | \( m_1 \ne m_2 \) – genau ein Schnittpunkt |
Aus \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) folgt \( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} \): Du bildest den Kehrwert und wechselst das Vorzeichen. Anschaulich heißt das: Das Steigungsdreieck wird um \( 90^\circ \) gedreht, aus \( \Delta x \) wird \( \Delta y \) und umgekehrt.
Beispiel
Gegeben ist \( g: y = 0{,}5x + 1 \).
| parallel zu \( g \) durch \( (0\,|\,-2) \) | \( m = 0{,}5 \;\Rightarrow\; h: y = 0{,}5x – 2 \) |
| orthogonal zu \( g \) | \( m_2 = -\dfrac{1}{0{,}5} = -2 \) |
| Kontrolle | \( 0{,}5 \cdot (-2) = -1 \) ✓ |
| durch \( (0\,|\,1) \) | \( k: y = -2x + 1 \) |
\( g \) und \( h \) haben dieselbe Steigung und schneiden sich nie; \( k \) trifft \( g \) im rechten Winkel.
Merke: Stimmen die Steigungen zweier Geraden überein, so verlaufen sie parallel: \( m_1 = m_2 \). Ergibt das Produkt der beiden Steigungen dagegen \( -1 \), treffen sie im rechten Winkel aufeinander: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) bzw. \( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} \). Für diesen Fall ist auch das Wort orthogonal gebräuchlich. Merksatz zur Orthogonalen: Kehrwert bilden, Vorzeichen wechseln. Waagrechte und senkrechte Geraden stehen zwar auch senkrecht aufeinander, die Produktregel greift dort aber nicht – für \( x = c \) gibt es keine Steigung \( m \).
6. Der Schnittpunkt zweier Geraden
Der Schnittpunkt ist der einzige Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Dort stimmen also beide \( y \)-Werte überein – du setzt die beiden Terme gleich.
So gehst du vor: (1) Beide Gleichungen in der Form \( y = mx + t \) schreiben. (2) Terme gleichsetzen. (3) Nach \( x \) auflösen. (4) \( x \) in eine der Gleichungen einsetzen und \( y \) berechnen. (5) Probe in beiden Gleichungen.
Beispiel: \( g: y = 2x – 3 \) und \( h: y = -x + 3 \)
| gleichsetzen | \( 2x – 3 = -x + 3 \) |
| \( +x \) und \( +3 \) | \( 3x = 6 \) |
| \( :3 \) | \( x = 2 \) |
| in \( g \) einsetzen | \( y = 2 \cdot 2 – 3 = 1 \) |
| Schnittpunkt | \( S(2\,|\,1) \) |
Probe: \( g \): \( 2 \cdot 2 – 3 = 1 \) ✓ · \( h \): \( -2 + 3 = 1 \) ✓. Beide Geraden liefern bei \( x = 2 \) denselben \( y \)-Wert.
Die Zeichnung bestätigt die Rechnung – verlassen solltest du dich aber auf die Rechnung.
Zwei Sonderfälle: Sind die Steigungen gleich und die \( y \)-Achsenabschnitte verschieden, führt das Gleichsetzen auf einen Widerspruch wie \( -3 = 3 \) – die Geraden sind parallel, es gibt keinen Schnittpunkt. Sind beide Gleichungen identisch, kommt eine immer wahre Aussage heraus – die Geraden fallen zusammen und haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
Merke: Den Schnittpunkt zweier Geraden findest du durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme. Das Ergebnis ist ein Punkt \( S(x\,|\,y) \) – nicht nur ein \( x \)-Wert. Vergiss den zweiten Schritt nicht: \( x \) zurück einsetzen, um \( y \) zu erhalten.
7. Anwendungen: Kostenfunktionen im Holzwerk Brandl
In Sachaufgaben taucht \( y = mx + t \) fast immer als Kostenfunktion auf: \( t \) ist der feste Grundbetrag, der auch ohne Verbrauch anfällt, und \( m \) ist der Preis pro Einheit.
Beispiel 1 – eine Gleichung aufstellen und auswerten
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim lässt Leimholz zuschneiden. Der Sägebetrieb verlangt 45 € Grundgebühr pro Auftrag und 8 € je laufendem Meter Holz.
| Festlegung | \( x \) = Holzlänge in m, \( y \) = Kosten in € |
| Kostenfunktion | \( y = 8x + 45 \) |
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x \ge 0\} \) |
| Kosten für 12 m | \( y = 8 \cdot 12 + 45 = 96 + 45 = 141 \) |
| Wie viele Meter für 125 €? | \( 8x + 45 = 125 \;\Rightarrow\; 8x = 80 \;\Rightarrow\; x = 10 \) |
Probe: \( 8 \cdot 10 + 45 = 80 + 45 = 125 \) ✓. Antwort: 12 m Zuschnitt kosten 141 €; für 125 € bekommt der Betrieb 10 m zugeschnitten.
Beachte die Bedeutung von \( t = 45 \): Auch bei \( x = 0 \) – also ohne einen einzigen Meter Holz – werden 45 € fällig. Der Grundbetrag ist der \( y \)-Achsenabschnitt.
Beispiel 2 – zwei Angebote vergleichen
Ein zweiter Sägebetrieb bietet an: 25 € Grundgebühr, dafür 12 € je Meter. Ab welcher Länge ist das erste Angebot günstiger?
| Angebot A | \( y_A = 8x + 45 \) |
| Angebot B | \( y_B = 12x + 25 \) |
| gleichsetzen | \( 8x + 45 = 12x + 25 \) |
| \( -8x \) und \( -25 \) | \( 20 = 4x \;\Rightarrow\; x = 5 \) |
| Preis dort | \( y = 8 \cdot 5 + 45 = 85 \) |
| Schnittpunkt | \( S(5\,|\,85) \) |
Probe: \( y_A = 8 \cdot 5 + 45 = 85 \) ✓ · \( y_B = 12 \cdot 5 + 25 = 60 + 25 = 85 \) ✓. Gegenprobe an einer anderen Stelle: Bei \( x = 8 \) ist \( y_A = 109\ \text{€} \) und \( y_B = 121\ \text{€} \) – A ist dort tatsächlich günstiger. Antwort: Bei genau 5 m kosten beide 85 €; ab mehr als 5 m ist Angebot A günstiger, darunter Angebot B.
Die flachere Gerade überholt die steilere – rechts vom Schnittpunkt lohnt sich die höhere Grundgebühr.
Merke: In Sachaufgaben ist \( t \) der feste Grundbetrag und \( m \) der Preis pro Einheit. Schreibe immer dazu, was \( x \) und \( y \) bedeuten – mit Einheit – und gib die Definitionsmenge an. Der Schnittpunkt zweier Kostenfunktionen ist die Stelle, ab der sich der Wechsel des Anbieters lohnt; prüfe mit einem zweiten Wert, welche Seite günstiger ist.
8. Nur für Mathematik I: Parallelenscharen und Flächen im Koordinatensystem
Dieser Abschnitt gehört nur zum Lehrplan von Mathematik I (Jgst. 8). Parallelenscharen und Flächenberechnungen mit zweireihigen Determinanten sind Zusatzinhalt von Zug I und gehören nicht zum Lehrplan von Mathematik II/III – wenn du Zug II oder III besuchst, kannst du hier aufhören oder neugierig weiterlesen.
Parallelenscharen
Lässt du in \( y = mx + t \) die Steigung \( m \) fest und den \( y \)-Achsenabschnitt \( t \) frei, erhältst du unendlich viele Geraden, die alle dieselbe Richtung haben: eine Parallelenschar. Man schreibt sie mit einem Scharparameter:
Jeder Wert von \( t \) liefert genau eine Gerade der Schar. Zusammen überdecken alle Geraden der Schar die gesamte Ebene, und durch jeden Punkt der Ebene geht genau eine von ihnen.
Gleiche Steigung, verschiedene \( t \): Die Geraden sind Verschiebungen voneinander längs der \( y \)-Achse.
Typische Aufgabe: Welche Gerade der Schar \( g_t: y = 0{,}5x + t \) geht durch \( P(4\,|\,5) \)?
Punkt einsetzen: \( 5 = 0{,}5 \cdot 4 + t = 2 + t \), also \( t = 3 \). Die gesuchte Gerade ist \( g_3: y = 0{,}5x + 3 \). Probe: \( 0{,}5 \cdot 4 + 3 = 5 \) ✓
Beachte: Keine zwei Geraden der Schar schneiden sich, denn beim Gleichsetzen von \( 0{,}5x + t_1 \) und \( 0{,}5x + t_2 \) fällt \( x \) heraus und es bleibt \( t_1 = t_2 \) – ein Widerspruch, sobald \( t_1 \ne t_2 \).
Flächeninhalte mit der zweireihigen Determinante
Aus Jgst. 7 kennst du die Determinante als Rechenschema für den Flächeninhalt. Sie funktioniert genauso, wenn die Eckpunkte aus Geradengleichungen stammen. Für ein Dreieck mit den Ecken \( A \), \( B \) und \( C \) bildest du zuerst die beiden Verbindungsvektoren
und rechnest dann „über Kreuz“:
Beispiel 1 – Dreieck aus drei gegebenen Punkten
Gegeben: \( A(-2\,|\,-1) \), \( B(4\,|\,1) \), \( C(1\,|\,4) \).
| Vektor \( \vec{AB} \) | \( \begin{pmatrix} 4 – (-2) \\ 1 – (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \) |
| Vektor \( \vec{AC} \) | \( \begin{pmatrix} 1 – (-2) \\ 4 – (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \) |
| Determinante | \( D = 6 \cdot 5 – 2 \cdot 3 = 30 – 6 = 24 \) |
| Flächeninhalt | \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 24 = 12\ \text{FE} \) |
Gegenprobe mit einer anderen Eckenwahl: Rechne von \( B \) aus. \( \vec{BA} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} \). Dann ist \( D = (-6) \cdot 3 – (-2) \cdot (-3) = -18 – 6 = -24 \) und \( A = \tfrac{1}{2} \cdot |-24| = 12\ \text{FE} \) ✓. Das Vorzeichen der Determinante hängt vom Umlaufsinn ab, der Betrag nicht – deshalb stehen die Betragsstriche in der Formel.
Beide Vektoren gehen vom selben Eckpunkt aus – das ist die einzige Bedingung.
Beispiel 2 – Dreieck aus zwei Geraden und der x-Achse
Die Geraden aus Kapitel 6, \( g: y = 2x – 3 \) und \( h: y = -x + 3 \), schließen zusammen mit der \( x \)-Achse ein Dreieck ein. Berechne seinen Flächeninhalt.
| Nullstelle von \( g \) | \( 2x – 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1{,}5 \;\Rightarrow\; P(1{,}5\,|\,0) \) |
| Nullstelle von \( h \) | \( -x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \;\Rightarrow\; Q(3\,|\,0) \) |
| Schnittpunkt (Kapitel 6) | \( S(2\,|\,1) \) |
| \( \vec{PQ} \) und \( \vec{PS} \) | \( \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \) |
| Determinante | \( D = 1{,}5 \cdot 1 – 0 \cdot 0{,}5 = 1{,}5 \) |
| Flächeninhalt | \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}5 = 0{,}75\ \text{FE} \) |
Gegenprobe elementar: Die Grundseite liegt auf der \( x \)-Achse und ist \( 3 – 1{,}5 = 1{,}5 \) Einheiten lang; die zugehörige Höhe ist der \( y \)-Wert von \( S \), also 1. Damit ist \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 1 = 0{,}75\ \text{FE} \) ✓. Beide Wege stimmen überein.
Merke: Fasst man alle Geraden zusammen, die dieselbe Richtung haben, erhält man eine Parallelenschar \( g_t \). Beschreiben lässt sie sich durch \( y = m_0 x + t \): die Steigung \( m_0 \) bleibt fest, der Scharparameter \( t \) durchläuft alle Werte. Die einzelne Gerade findest du, indem du einen gegebenen Punkt einsetzt und nach \( t \) auflöst. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit \( A = \tfrac{1}{2} \cdot |D| \), wobei \( D \) die zweireihige Determinante aus zwei Vektoren ist, die vom selben Eckpunkt ausgehen. Der Betrag ist Pflicht – ein negatives \( D \) bedeutet nur einen anderen Umlaufsinn, keine negative Fläche.
9. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die sechs Kernpunkte dieser Seite:
- Eine Funktion ordnet jedem \( x \) aus \( \text{ID} \) genau einen \( y \)-Wert zu. Am Graphen prüfst du das mit der Senkrechten-Probe.
- In \( y = mx + t \) ist \( m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) die Steigung und \( t \) der \( y \)-Achsenabschnitt; die Gerade geht durch \( (0\,|\,t) \).
- Zum Zeichnen: erst \( (0\,|\,t) \) markieren, dann Steigungsdreieck anlegen. Zum Aufstellen: erst \( m \) aus zwei Punkten, dann \( t \) durch Einsetzen – und Probe am zweiten Punkt.
- Parallel heißt \( m_1 = m_2 \), orthogonal heißt \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) (Kehrwert bilden, Vorzeichen wechseln).
- Den Schnittpunkt findest du durch Gleichsetzen der Funktionsterme; das Ergebnis ist ein Punkt \( S(x\,|\,y) \), also immer \( x \) zurück einsetzen.
- In Sachaufgaben ist \( t \) der feste Grundbetrag und \( m \) der Preis pro Einheit; Definitionsmenge angeben, Antwortsatz mit Einheit.
10. So fragt die Abschlussprüfung
Lineare Funktionen gehören zu den häufigsten Prüfungsthemen überhaupt – meist als Tarifvergleich, als Gerade durch zwei gegebene Punkte oder als Lagebeziehung im Koordinatensystem. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext:
Aufgabe 1 – Funktionsgleichung aus dem Sachtext. Das Holzwerk Brandl berechnet für eine Lieferung eine Anfahrtspauschale von 40 € und zusätzlich 12 € je Regalbrett. a) Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne die Kosten für 15 Bretter. b) Wie viele Bretter enthält eine Rechnung von 268 €?
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \text{IN} \) (\( x \) = Anzahl der Bretter) |
| Gleichung (\( t \) = Pauschale, \( m \) = Preis je Stück) | \( y = 12x + 40 \) |
| a) \( x = 15 \) | \( y = 12 \cdot 15 + 40 = 180 + 40 = 220 \) |
| b) \( y = 268 \) | \( 268 – 40 = 228 \), \( 228 : 12 = 19 \) |
Gegenprobe: \( 12 \cdot 19 + 40 = 228 + 40 = 268 \) ✓. Antwort: 15 Bretter kosten 220 €; die Rechnung von 268 € umfasst 19 Bretter. Beachte: Die Pauschale wird bei b) zuerst abgezogen – sonst dividierst du sie mit.
Aufgabe 2 – Gerade durch zwei Punkte. Lena hat zwei Messwerte eines Zuschnittprotokolls: \( P(2\,|\,11) \) und \( Q(6\,|\,23) \). Bestimme die Gleichung der Geraden durch \( P \) und \( Q \).
| Steigung | \( m = \dfrac{23 – 11}{6 – 2} = \dfrac{12}{4} = 3 \) |
| \( P \) einsetzen | \( 11 = 3 \cdot 2 + t \;\Rightarrow\; t = 11 – 6 = 5 \) |
| Funktionsgleichung | \( y = 3x + 5 \) |
Gegenprobe am zweiten Punkt: \( 3 \cdot 6 + 5 = 18 + 5 = 23 \) ✓ – \( Q \) liegt also wirklich auf der Geraden. Genau diese Probe am nicht zum Auflösen benutzten Punkt ist die sichere Kontrolle. Antwort: Die Gerade hat die Gleichung \( y = 3x + 5 \).
Aufgabe 3 – Tarifvergleich: Schnittpunkt. Das Holzwerk Brandl liefert nach \( y = 12x + 40 \). Eine Spedition bietet \( y = 16x + 20 \) an (\( x \) = Anzahl der Bretter, \( y \) in €). Ab welcher Stückzahl ist Brandl günstiger?
| gleichsetzen | \( 12x + 40 = 16x + 20 \) |
| nach \( x \) auflösen | \( 20 = 4x \;\Rightarrow\; x = 5 \) |
| \( x \) zurück einsetzen | \( y = 12 \cdot 5 + 40 = 100 \) |
| Schnittpunkt | \( S(5\,|\,100) \) |
Gegenprobe: In die zweite Gleichung eingesetzt: \( 16 \cdot 5 + 20 = 80 + 20 = 100 \) ✓. Kontrolle der Aussage: Bei \( x = 6 \) kostet Brandl \( 112\ \text{€} \), die Spedition \( 116\ \text{€} \) ✓. Antwort: Bei 5 Brettern kosten beide gleich viel (100 €). Ab 6 Brettern ist Brandl günstiger, weil die kleinere Steigung (12 € statt 16 € je Brett) auf Dauer gewinnt.
Aufgabe 4 – orthogonale Gerade. In einer Werkstattzeichnung verläuft die Anrisslinie \( g: y = -0{,}5x + 4 \). Tobias soll die dazu senkrechte Gerade \( h \) durch den Punkt \( R(2\,|\,3) \) bestimmen.
| Bedingung | \( m_g \cdot m_h = -1 \) |
| Steigung von \( h \) | \( m_h = \dfrac{-1}{-0{,}5} = 2 \) |
| \( R(2\,|\,3) \) einsetzen | \( 3 = 2 \cdot 2 + t \;\Rightarrow\; t = -1 \) |
| Gleichung von \( h \) | \( y = 2x – 1 \) |
Gegenprobe: \( -0{,}5 \cdot 2 = -1 \) ✓, und \( R \) liegt auf \( h \): \( 2 \cdot 2 – 1 = 3 \) ✓. Anschaulich: \( g \) fällt flach, \( h \) steigt steil – Kehrwert bilden und Vorzeichen wechseln. Antwort: Die senkrechte Gerade lautet \( h: y = 2x – 1 \).
11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Steigung falsch herum berechnet. Ursache: Es wird \( \frac{\Delta x}{\Delta y} \) gerechnet, die Steigung wird zum Kehrwert. Vermeidung: Sprich die Formel mit „\( y \) oben“ mit: \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \) – Steigung heißt „Höhe pro Weg“.
- Pauschale mitmultipliziert. Ursache: Aus „40 € Anfahrt und 12 € je Brett“ wird \( y = 52x \). Vermeidung: Der feste Betrag ist immer \( t \) und steht ohne \( x \). Kontrolle: Bei \( x = 0 \) muss genau die Pauschale herauskommen.
- Bei der Rückrechnung nicht zuerst \( t \) abgezogen. Ursache: Aus \( 268 = 12x + 40 \) wird direkt \( 268 : 12 \) gerechnet. Vermeidung: Erst \( -t \) auf beiden Seiten, dann \( :m \) – in dieser Reihenfolge, nie umgekehrt.
- Schnittpunkt nur als \( x \)-Wert angegeben. Ursache: Nach dem Gleichsetzen wird \( x = 5 \) hingeschrieben und aufgehört. Vermeidung: Ein Schnittpunkt ist ein Punkt. Setze \( x \) in eine der beiden Gleichungen zurück ein und schreibe \( S(5\,|\,100) \).
- Parallel und orthogonal verwechselt. Ursache: Beide Bedingungen werden auf „irgendwas mit den Steigungen“ verkürzt. Vermeidung: Parallel = gleiche Steigung (\( m_1 = m_2 \)); senkrecht = Produkt \( -1 \), also Kehrwert mit umgedrehtem Vorzeichen.
- Definitionsmenge der Sachaufgabe ignoriert. Ursache: Es wird mit \( x = 4{,}5 \) Brettern oder mit negativen Stückzahlen gerechnet. Vermeidung: Gib \( \text{ID} \) an, bevor du rechnest – bei Stückzahlen \( \text{ID} = \text{IN} \), bei Längen \( x \in \text{IR}, \; x > 0 \).
- Steigungsdreieck beim Zeichnen zu klein angelegt. Ursache: Bei \( m = 0{,}5 \) wird ein Dreieck mit \( \Delta x = 1 \) gewählt, die halbe Kästchenhöhe wird ungenau. Vermeidung: Wähle \( \Delta x \) so, dass \( \Delta y \) auf einen ganzen Kästchenwert fällt – bei \( m = 0{,}5 \) also \( \Delta x = 2 \) und \( \Delta y = 1 \).
Weiterlernen
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen – die Äquivalenzumformungen, die du beim Auflösen nach \( t \) brauchst.
- Systeme linearer Gleichungen – der Schnittpunkt zweier Geraden als Gleichungssystem gedacht.
- Quadratische Funktionen – der nächste Funktionstyp: aus der Geraden wird die Parabel.
- Prozent- und Zinsrechnung – proportionale Zusammenhänge, die du jetzt als \( y = mx \) schreiben kannst.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erstelle dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zu Realschule Bayern und deiner Klasse. Kostenloses Konto erstellen und direkt testen.