Mathematik Realschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich „Exponentialfunktionen, Logarithmen“ (LehrplanPLUS) · BY
Exponentialfunktionen und Logarithmen: Wachsen und Abklingen mit konstantem Faktor
Bis jetzt hast du Größen beschrieben, die in gleichen Zeitspannen um denselben Betrag zunehmen – das war das lineare Wachstum. In der 10. Klasse kommt eine zweite Art dazu: Größen, die in gleichen Zeitspannen um denselben Faktor zunehmen oder abnehmen. Bakterien verdoppeln sich, ein Guthaben wächst um Prozente, eine Maschine verliert Jahr für Jahr denselben Prozentsatz ihres Werts. Auf dieser Seite lernst du, solche Prozesse zu erkennen, mit einer Funktionsgleichung zu beschreiben und die zugehörigen Gleichungen mit dem Logarithmus zu lösen.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Die Kapitel 1 bis 5 sind der gemeinsame Kern: exponentielles Wachstum erkennen, die Funktionsgleichung \( f(x) = k \cdot a^x \) aufstellen, den Wachstumsfaktor aus einer Prozentangabe berechnen, Sachaufgaben lösen und Exponentialgleichungen \( a^x = b \) mit dem Logarithmus lösen. Mathematik I hat für diesen Lernbereich 22 Stunden, Mathematik II/III 10 Stunden. Der deutlich größere Umfang von Mathematik I steht vollständig im letzten Kapitel „Nur für Mathematik I“: Logarithmensätze, Logarithmusfunktion, Asymptote und Umkehrfunktion sowie die allgemeine Parameterform. Bis dorthin gilt alles für beide Ausrichtungen.
Wozu brauchst du das?
Weil fast alles, was mit Prozenten über mehrere Zeiträume rechnet, exponentiell ist: Zinseszins auf einem Sparkonto · die Abschreibung einer Maschine in der Buchführung · die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffs · die Ausbreitung einer Krankheit · der Wertverlust eines Autos · das Wachstum eines Kundenstamms. Wer den Unterschied zwischen „jedes Jahr 5000 € weniger“ und „jedes Jahr 20 % weniger“ nicht sieht, verrechnet sich um Tausende. In der Abschlussprüfung erkennst du eine Exponentialaufgabe fast immer daran, dass eine Prozentangabe mehrfach hintereinander wirkt.
Inhalt dieser Seite
- Exponentiell oder linear? So erkennst du den Unterschied
- Die Exponentialfunktion \( f(x) = k \cdot a^x \) aufstellen
- Vom Prozentsatz zum Wachstumsfaktor – und der Zinseszins
- Sachaufgaben: Bakterien, Zerfall, Wertverlust
- Der Logarithmus: die Gleichung \( a^x = b \) lösen
- Nur für Mathematik I: Logarithmensätze, Logarithmusfunktion, Parameterform
- Das Wichtigste in Kürze
1. Exponentiell oder linear? So erkennst du den Unterschied
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim betreut zu Beginn des Jahres 2020 genau 400 Stammkunden. Zwei Prognosen liegen auf dem Tisch. Die Vertriebsleitung rechnet vorsichtig: „Wir gewinnen jedes Jahr 100 neue Kunden dazu.“ Die Marketingagentur rechnet anders: „Jeder zufriedene Kunde empfiehlt uns weiter – der Bestand wächst jedes Jahr um die Hälfte.“
Beide Aussagen klingen ähnlich, sind aber grundverschieden. Die erste addiert immer dieselbe Zahl, die zweite multipliziert mit immer demselben Faktor (nämlich mit \( 1{,}5 \), denn zum ganzen Bestand kommt die Hälfte dazu). Schreib beide Prognosen in eine Tabelle:
| Jahr \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| linear: \( +100 \) | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 |
| exponentiell: \( \cdot 1{,}5 \) | 400 | 600 | 900 | 1350 | 2025 |
Nach vier Jahren steht in der einen Zeile 800, in der anderen 2025. Damit hast du auch das Prüfverfahren: Bilde die Differenzen benachbarter Werte – sind sie konstant, ist es linear. Bilde die Quotienten benachbarter Werte – sind sie konstant, ist es exponentiell.
| Differenzen der zweiten Zeile | \( 200,\ 300,\ 450,\ 675 \) – nicht konstant |
| Quotienten der zweiten Zeile | \( \tfrac{600}{400} = 1{,}5 \quad \tfrac{900}{600} = 1{,}5 \quad \tfrac{1350}{900} = 1{,}5 \quad \tfrac{2025}{1350} = 1{,}5 \) |
Der Quotient ist viermal derselbe – das Wachstum ist exponentiell mit dem Wachstumsfaktor \( a = 1{,}5 \).
Am Anfang liegen beide Prognosen dicht beieinander – der Unterschied entsteht erst mit der Zeit.
Merk dir die Form der beiden Bilder: Lineares Wachstum ergibt eine Gerade, exponentielles Wachstum eine Kurve, die immer steiler wird. Fällt der Faktor unter 1, kehrt sich das um: Die Kurve fällt und wird dabei immer flacher – sie nähert sich der \( x \)-Achse, erreicht sie aber nie.
Merke: Bei linearem Wachstum ist die Differenz aufeinanderfolgender Werte konstant, bei exponentiellem Wachstum der Quotient. Diesen konstanten Quotienten nennst du Wachstumsfaktor \( a \). Für \( a > 1 \) wächst die Größe, für \( 0 < a < 1 \) klingt sie ab. Der Test in der Prüfung ist immer derselbe: Teile jeden Wert der Wertetabelle durch seinen Vorgänger.
2. Die Exponentialfunktion \( f(x) = k \cdot a^x \) aufstellen
Aus der Tabelle wird jetzt eine Formel. Startest du bei 400 Kunden und multiplizierst \( x \)-mal mit \( 1{,}5 \), dann steht dort \( 400 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot \ldots \) mit \( x \) Faktoren – und genau das ist eine Potenz:
Allgemein heißt eine Funktion mit der Gleichung \( f(x) = k \cdot a^x \) (mit \( a > 0 \) und \( a \ne 1 \), \( k \ne 0 \)) Exponentialfunktion. Der Name kommt daher, dass die Variable im Exponenten steht – bei \( f(x) = x^2 \) steht sie dagegen in der Basis, das ist eine quadratische Funktion und etwas ganz anderes.
| \( k \) | Anfangswert – der Wert zum Zeitpunkt \( x = 0 \), denn \( a^0 = 1 \), also \( f(0) = k \) |
| \( a \) | Wachstumsfaktor – die Zahl, mit der von einem Schritt zum nächsten multipliziert wird |
| \( x \) | Anzahl der Schritte (Jahre, Stunden, Tage …) seit dem Anfangswert |
Beispiel 1 – aus Anfangswert und Faktor
In einer Nährlösung befinden sich zu Beginn 50 Bakterien. Ihre Zahl verdoppelt sich stündlich. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne den Bestand nach 5 Stunden.
| Anfangswert | \( k = 50 \) |
| Wachstumsfaktor (Verdopplung) | \( a = 2 \) |
| Funktionsgleichung | \( f(x) = 50 \cdot 2^{\,x} \), \( x \) in Stunden |
| nach 5 Stunden | \( f(5) = 50 \cdot 2^5 = 50 \cdot 32 = 1600 \) |
Kontrolle durch schrittweises Verdoppeln: \( 50 \rightarrow 100 \rightarrow 200 \rightarrow 400 \rightarrow 800 \rightarrow 1600 \) – fünf Verdopplungen, Ergebnis 1600 ✓. Antwort: Nach 5 Stunden sind es 1600 Bakterien.
Beispiel 2 – aus einer Wertetabelle
Gegeben ist diese Wertetabelle. Zeige, dass exponentielles Wachstum vorliegt, und stelle die Funktionsgleichung auf.
| \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \( f(x) \) | 80 | 120 | 180 | 270 |
| Quotienten prüfen | \( \tfrac{120}{80} = 1{,}5 \quad \tfrac{180}{120} = 1{,}5 \quad \tfrac{270}{180} = 1{,}5 \) |
| Anfangswert ablesen | \( k = f(0) = 80 \) |
| Funktionsgleichung | \( f(x) = 80 \cdot 1{,}5^{\,x} \) |
Probe durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: \( f(1) = 80 \cdot 1{,}5 = 120 \) ✓ · \( f(2) = 80 \cdot 1{,}5^2 = 80 \cdot 2{,}25 = 180 \) ✓ · \( f(3) = 80 \cdot 1{,}5^3 = 80 \cdot 3{,}375 = 270 \) ✓. Alle vier Tabellenwerte werden getroffen.
Wie die Basis den Graphen verändert
Zeichne \( y = 2^x \), \( y = 3^x \) und \( y = 0{,}5^x \) in ein Koordinatensystem (alle mit \( k = 1 \)). Alle drei gehen durch den Punkt \( P(0\,|\,1) \), denn jede Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt 1.
Je größer die Basis, desto steiler der Anstieg. Bei \( 0 < a < 1 \) fällt der Graph – er ist das Spiegelbild an der \( y \)-Achse.
Drei Eigenschaften gelten für jede Exponentialfunktion \( f(x) = k \cdot a^x \) mit \( k > 0 \): Der Graph verläuft vollständig oberhalb der \( x \)-Achse, er hat keine Nullstelle, und er nähert sich der \( x \)-Achse beliebig weit an, ohne sie je zu erreichen. Die \( x \)-Achse ist die Asymptote. Der Grund ist einfach: Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, sie kann noch so klein werden, aber nie null.
Merke: Eine Exponentialfunktion hat die Gleichung \( f(x) = k \cdot a^x \). Dabei ist \( k = f(0) \) der Anfangswert und \( a \) der Wachstumsfaktor. Aus einer Wertetabelle liest du \( k \) bei \( x = 0 \) ab und berechnest \( a \) als Quotient zweier benachbarter Werte. Die Definitionsmenge ist \( \text{ID} = \text{IR} \), die Wertemenge für \( k > 0 \) ist \( \text{IR}^{+} \) – der Graph erreicht die \( x \)-Achse nie.
3. Vom Prozentsatz zum Wachstumsfaktor – und der Zinseszins
In Sachaufgaben steht fast nie „der Faktor ist 1,08“, sondern „der Bestand wächst jährlich um 8 %“. Die Umrechnung ist der Kern dieses Kapitels – und die häufigste Fehlerquelle der Prüfung.
Überlege dir das am ganzen Bestand: Er ist 100 %. Kommen 8 % dazu, hast du danach 108 % des alten Bestands, also das \( 1{,}08 \)-fache. Gehen 8 % weg, bleiben 92 %, also das \( 0{,}92 \)-fache.
| Angabe im Text | Wachstumsfaktor \( a \) |
| Zunahme um 8 % | \( a = 1{,}08 \) |
| Zunahme um 50 % | \( a = 1{,}5 \) |
| Abnahme um 12 % | \( a = 0{,}88 \) |
| Abnahme um 50 % (Halbierung) | \( a = 0{,}5 \) |
| Verdopplung | \( a = 2 \) (Zunahme um 100 %) |
Der klassische Fehler: 8 % Zunahme über 5 Jahre sind nicht 40 % Zunahme. Denn im zweiten Jahr werden die 8 % vom bereits gewachsenen Bestand berechnet, nicht mehr vom Startwert. Genau dafür ist die Potenz da.
Der Zinseszins – der bekannteste Anwendungsfall
Legst du ein Kapital \( K_0 \) zum Zinssatz \( p\ \% \) an und lässt die Zinsen auf dem Konto, dann werden sie im nächsten Jahr mitverzinst. Der Bestand wird jedes Jahr mit demselben Faktor multipliziert – das ist exponentielles Wachstum in Reinform:
Beispiel – Zinseszins
Das Holzwerk Brandl legt 2500 € als Rücklage für eine neue Absauganlage zu 3 % Zinsen pro Jahr an. Wie viel ist nach 6 Jahren auf dem Konto?
| gegeben | \( K_0 = 2500\ \text{€} \), \( p = 3 \), \( n = 6 \) |
| Wachstumsfaktor | \( a = 1 + \tfrac{3}{100} = 1{,}03 \) |
| einsetzen | \( K_6 = 2500\ \text{€} \cdot 1{,}03^{6} \) |
| Potenz berechnen | \( 1{,}03^{6} \approx 1{,}194052 \) |
| Ergebnis | \( K_6 \approx 2985{,}13\ \text{€} \) |
Kontrolle Jahr für Jahr (jeder Wert entsteht aus dem vorigen durch Multiplikation mit 1,03, auf Cent gerundet erst am Schluss): 2500,00 → 2575,00 → 2652,25 → 2731,82 → 2813,77 → 2898,19 → 2985,13 ✓. Sechs Multiplikationen, dasselbe Ergebnis wie die Potenz. Antwort: Nach 6 Jahren liegen rund 2985,13 € auf dem Konto, die Zinsen betragen also rund 485,13 €.
Zum Vergleich: Ohne Zinseszins, also bei einfacher Verzinsung, wären es \( 6 \cdot 0{,}03 \cdot 2500\ \text{€} = 450\ \text{€} \) Zinsen. Die Differenz von 35,13 € sind genau die Zinsen auf die Zinsen.
Diskret oder stetig? Das Treppendiagramm
Zinsen werden nur einmal im Jahr gutgeschrieben, Bakterien dagegen teilen sich fortlaufend. Zeichnest du einen solchen Prozess, hast du deshalb zwei Bilder: die Treppe der tatsächlichen Sprungzeitpunkte und die glatte Kurve, die auch die Zwischenwerte erfasst. Beide treffen sich in den Sprungpunkten – das Beispiel zeigt 200 Bakterien, die sich alle 3 Stunden verdoppeln.
Beide Darstellungen liefern in den vollen Schritten dieselben Werte – nur dazwischen unterscheiden sie sich.
Merke: Aus einer Prozentangabe wird der Wachstumsfaktor so: Zunahme um \( p\ \% \) bedeutet \( a = 1 + \tfrac{p}{100} \), Abnahme um \( p\ \% \) bedeutet \( a = 1 – \tfrac{p}{100} \). Mehrere Zeiträume hintereinander werden nicht addiert, sondern potenziert: \( K_n = K_0 \cdot a^n \). Rechne den Faktor nie als „\( a = 0{,}08 \)“ – das wäre ein Verlust von 92 %.
4. Sachaufgaben: Bakterien, Zerfall, Wertverlust
Jede Aufgabe dieses Typs löst du in derselben Reihenfolge: (1) Anfangswert \( k \) aus dem Text holen. (2) Wachstumsfaktor \( a \) bestimmen – und dabei genau darauf achten, worauf sich ein Schritt bezieht (ein Jahr? drei Stunden? eine Halbwertszeit?). (3) Funktionsgleichung aufstellen und die Einheit von \( x \) dazuschreiben. (4) Einsetzen und rechnen. (5) Ergebnis am Sachverhalt prüfen und mit Einheit antworten.
Beispiel 1 – Bakterienwachstum mit einer Verdopplungszeit
In einer Kultur befinden sich 200 Bakterien; ihre Anzahl verdoppelt sich alle 3 Stunden. Wie viele sind es nach 12 Stunden?
Hier ist der Schritt nicht eine Stunde, sondern drei. In 12 Stunden passen \( 12 : 3 = 4 \) Verdopplungen. Deshalb steht im Exponenten \( \tfrac{t}{3} \):
| Funktionsgleichung | \( N(t) = 200 \cdot 2^{\frac{t}{3}} \), \( t \) in Stunden |
| \( t = 12 \) einsetzen | \( N(12) = 200 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 200 \cdot 2^{4} \) |
| Ergebnis | \( N(12) = 200 \cdot 16 = 3200 \) |
Probe durch Einsetzen und schrittweises Verdoppeln: \( N(3) = 200 \cdot 2^1 = 400 \), \( N(6) = 200 \cdot 2^2 = 800 \), \( N(9) = 200 \cdot 2^3 = 1600 \), \( N(12) = 3200 \) ✓ – genau die vier Verdopplungen aus dem Treppendiagramm oben. Antwort: Nach 12 Stunden sind es 3200 Bakterien.
Beispiel 2 – radioaktiver Zerfall mit einer Halbwertszeit
Von einem Präparat mit 40 mg Jod‑131 zerfällt in 8 Tagen jeweils die Hälfte (die Halbwertszeit beträgt 8 Tage). Wie viel ist nach 24 Tagen noch vorhanden?
| Anfangswert, Faktor | \( k = 40\ \text{mg} \), \( a = 0{,}5 \) je 8 Tage |
| Funktionsgleichung | \( m(t) = 40\ \text{mg} \cdot 0{,}5^{\frac{t}{8}} \), \( t \) in Tagen |
| \( t = 24 \) einsetzen | \( m(24) = 40\ \text{mg} \cdot 0{,}5^{3} = 40\ \text{mg} \cdot \tfrac{1}{8} \) |
| Ergebnis | \( m(24) = 5\ \text{mg} \) |
Probe am Sachverhalt: 24 Tage sind drei Halbwertszeiten. Halbiere dreimal: \( 40\ \text{mg} \rightarrow 20\ \text{mg} \rightarrow 10\ \text{mg} \rightarrow 5\ \text{mg} \) ✓. Antwort: Nach 24 Tagen sind noch 5 mg vorhanden. Beachte: Der Rest wird nie exakt null – rechnerisch bleibt immer etwas übrig, weil die Kurve die \( x \)-Achse nur als Asymptote hat.
Beispiel 3 – Wertverlust einer Maschine
Das Holzwerk Brandl kauft eine CNC‑Fräse für 60 000 €. In der Buchhaltung wird sie mit 20 % vom jeweiligen Restwert pro Jahr abgeschrieben. a) Welchen Wert hat die Maschine nach 4 Jahren? b) In welchem Jahr sinkt der Wert erstmals unter 20 000 €?
| Abnahme um 20 % | \( a = 1 – 0{,}20 = 0{,}8 \) |
| Funktionsgleichung | \( W(n) = 60\,000\ \text{€} \cdot 0{,}8^{\,n} \), \( n \) in Jahren |
| a) \( n = 4 \) | \( 0{,}8^{4} = 0{,}4096 \) |
| Wert nach 4 Jahren | \( W(4) = 24\,576\ \text{€} \) |
Probe durch Einsetzen Jahr für Jahr: \( 60\,000 \rightarrow 48\,000 \rightarrow 38\,400 \rightarrow 30\,720 \rightarrow 24\,576 \) (jedes Mal \( \cdot\, 0{,}8 \)) ✓.
Für Teil b) rechnest du eine Zeile weiter: \( W(5) = 24\,576\ \text{€} \cdot 0{,}8 = 19\,660{,}80\ \text{€} \). Das ist der erste Wert unter 20 000 €, während \( W(4) = 24\,576\ \text{€} \) noch darüber liegt. Antwort: a) Nach 4 Jahren ist die Fräse noch 24 576 € wert. b) Im 5. Jahr sinkt ihr Wert erstmals unter 20 000 €.
Der Abstand zwischen den Punkten wird immer kleiner – 20 % von wenig ist wenig.
Merke: Der Schlüssel jeder Sachaufgabe ist die Frage: Was ist ein Schritt? Ist eine Verdopplungs- oder Halbwertszeit \( T \) gegeben, lautet die Gleichung \( f(t) = k \cdot a^{\frac{t}{T}} \) mit \( a = 2 \) bzw. \( a = 0{,}5 \). Ist ein Prozentsatz pro Jahr gegeben, lautet sie \( f(n) = k \cdot a^{\,n} \) mit \( a = 1 \pm \tfrac{p}{100} \). Antworte immer mit Einheit und prüfe das Ergebnis, indem du den Prozess Schritt für Schritt nachrechnest.
5. Der Logarithmus: die Gleichung \( a^x = b \) lösen
Bis jetzt war der Exponent gegeben und du hast den Bestand ausgerechnet. Jetzt drehst du die Frage um: Wann ist der Bestand doppelt so groß? Nach wie vielen Jahren ist die Maschine nur noch ein Drittel wert? Dann steht die gesuchte Größe im Exponenten – und dort kommst du mit Plus, Minus, Mal und Geteilt nicht heran.
Manchmal geht es noch durch Hinsehen. \( 3^x = 81 \) löst du, indem du 81 als Potenz von 3 schreibst: \( 81 = 3^4 \), also \( x = 4 \). Aber bei \( 2^x = 5 \) versagt das: 5 ist keine Zweierpotenz, die Lösung liegt zwischen 2 und 3. Sie existiert trotzdem – du siehst sie am Graphen.
Zu jedem \( b > 0 \) trifft die waagrechte Linie den Graphen genau einmal – genau deshalb ist der Logarithmus eindeutig.
Diese eindeutige Lösung bekommt einen Namen:
In Worten: \( \log_a b \) ist der Exponent, mit dem du \( a \) potenzieren musst, um \( b \) zu erhalten. Sprich es als „Logarithmus von \( b \) zur Basis \( a \)“. Damit ist \( x = \log_2 5 \) die exakte Lösung von \( 2^x = 5 \) – sie ist einfach nur keine ganze Zahl.
| Potenzschreibweise | Logarithmusschreibweise |
| \( 2^3 = 8 \) | \( \log_2 8 = 3 \) |
| \( 3^4 = 81 \) | \( \log_3 81 = 4 \) |
| \( 10^2 = 100 \) | \( \log_{10} 100 = \lg 100 = 2 \) |
| \( 5^0 = 1 \) | \( \log_5 1 = 0 \) |
Den Logarithmus zur Basis 10 schreibt man kurz \( \lg \) – er hat als einziger eine eigene Taste auf dem Taschenrechner. Damit rechnest du jeden anderen Logarithmus aus, indem du die Gleichung logarithmierst:
Beispiel – wann hat sich der Kundenstamm verdoppelt?
Das Holzwerk Brandl gewinnt jährlich 8 % neue Stammkunden dazu. Nach wie vielen Jahren hat sich der Kundenstamm verdoppelt?
Der Anfangswert spielt keine Rolle, denn du willst nur das Verhältnis 2 erreichen: \( k \cdot 1{,}08^{\,x} = 2k \), und nach Division durch \( k \) bleibt \( 1{,}08^{\,x} = 2 \).
| Gleichung | \( 1{,}08^{\,x} = 2 \) |
| logarithmieren | \( x \cdot \lg 1{,}08 = \lg 2 \) |
| nach \( x \) auflösen | \( x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}08} \approx \dfrac{0{,}30103}{0{,}03342} \) |
| Lösung | \( x \approx 9{,}01 \) |
Kontrolle durch Einsetzen in die Funktionsgleichung: \( 1{,}08^{9} \approx 1{,}999 \) – noch knapp unter dem Doppelten ✓ · \( 1{,}08^{10} \approx 2{,}159 \) – schon darüber ✓. Die Lösung liegt also tatsächlich zwischen 9 und 10, sehr dicht bei 9. Antwort: Der Kundenstamm hat sich rechnerisch nach rund 9 Jahren verdoppelt; da die Kunden nur zu vollen Jahren gezählt werden, ist die Verdopplung erst im 10. Jahr erreicht.
Zwei Dinge musst du beim Runden aufpassen: Rechne den Bruch in einem Zug im Taschenrechner, ohne \( \lg 2 \) und \( \lg 1{,}08 \) vorher zu runden. Und beantworte Sachfragen nach der Sachlage – bei „nach wie vielen ganzen Jahren“ rundest du bei Wachstum immer auf, nicht kaufmännisch.
Merke: \( \log_a b \) ist die Lösung von \( a^x = b \), also der Exponent zur Basis \( a \), der \( b \) ergibt. Nur \( b > 0 \) hat einen Logarithmus – für \( b \le 0 \) gibt es keine Lösung, weil jede Potenz mit positiver Basis positiv ist. Zum Ausrechnen isolierst du zuerst die Potenz und logarithmierst dann beide Seiten: \( x = \dfrac{\lg b}{\lg a} \).
6. Nur für Mathematik I: Logarithmensätze, Logarithmusfunktion, Parameterform
Alles ab hier steht ausschließlich in der Kompetenzerwartung für Mathematik I (Jgst. 10, Lernbereich 4, 22 Stunden): die Logarithmensätze, die Logarithmusfunktion mit Definitions- und Wertemenge, die Gleichung der Asymptote, die Umkehrfunktion und die allgemeinen Parameterformen \( y = k \cdot a^{\,x-b} + c \) und \( y = k \cdot \log_a(x – b) + c \). Wer Mathematik II/III belegt, kann diesen Abschnitt überspringen – für dich endet der Stoff mit Kapitel 5 und dem Kernüberblick darunter.
6.1 Die Logarithmensätze
Ein Logarithmus ist ein Exponent. Deshalb wird jede Potenzregel zu einer Logarithmusregel – und zwar eine Stufe „niedriger“: Aus Mal wird Plus, aus Geteilt wird Minus, aus Potenzieren wird Mal. Für \( u, v > 0 \) gilt:
| Produktsatz | \( \log_a (u \cdot v) = \log_a u + \log_a v \) |
| Quotientensatz | \( \log_a \dfrac{u}{v} = \log_a u – \log_a v \) |
| Potenzsatz | \( \log_a \left(u^{\,n}\right) = n \cdot \log_a u \) |
| Basiswechsel | \( \log_a b = \dfrac{\lg b}{\lg a} \) |
Kontrolle an einem Zahlenbeispiel: \( \log_2 32 = 5 \), denn \( 2^5 = 32 \). Mit dem Produktsatz über \( 32 = 4 \cdot 8 \): \( \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 \) ✓. Mit dem Potenzsatz über \( 32 = 2^5 \): \( 5 \cdot \log_2 2 = 5 \cdot 1 = 5 \) ✓. Mit dem Basiswechsel: \( \tfrac{\lg 32}{\lg 2} \approx \tfrac{1{,}50515}{0{,}30103} = 5 \) ✓. Drei Wege, dasselbe Ergebnis.
Aufpassen: \( \log_a(u + v) \) lässt sich nicht zerlegen. \( \log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3 \), aber \( \log_2 4 + \log_2 4 = 4 \) – das ist etwas ganz anderes. Es gibt keinen Summensatz.
Merke: Die Logarithmensätze bauen eine Stufe ab: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Produkt. Genau der Potenzsatz macht das Lösen von Exponentialgleichungen möglich, denn er holt das \( x \) aus dem Exponenten herunter. Einen Satz für \( \log_a(u+v) \) gibt es nicht.
6.2 Gleichungen der Form \( k \cdot a^{\,x-b} + c = 0 \)
Der Weg ist immer derselbe: erst die Potenz allein auf eine Seite bringen, dann logarithmieren.
Beispiel 1 – die Potenz geht glatt auf
| Gleichung | \( 3 \cdot 2^{\,x-1} – 6 = 0 \) |
| \( +6 \) | \( 3 \cdot 2^{\,x-1} = 6 \) |
| \( :3 \) | \( 2^{\,x-1} = 2 \) |
| Exponenten vergleichen | \( x – 1 = 1 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{2\} \), \( \text{ID} = \text{IR} \) |
Probe durch Einsetzen: \( 3 \cdot 2^{2-1} – 6 = 3 \cdot 2 – 6 = 0 \) ✓.
Beispiel 2 – mit dem Logarithmus
| Gleichung | \( 5 \cdot 3^{\,x-2} – 45 = 0 \) |
| isolieren | \( 3^{\,x-2} = 9 \) |
| logarithmieren, Potenzsatz | \( (x-2) \cdot \lg 3 = \lg 9 \) |
| auflösen | \( x – 2 = \dfrac{\lg 9}{\lg 3} = 2 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{4\} \), \( \text{ID} = \text{IR} \) |
Probe durch Einsetzen: \( 5 \cdot 3^{4-2} – 45 = 5 \cdot 9 – 45 = 0 \) ✓.
Sonderfall zum Mitdenken: \( 3 \cdot 2^{\,x-1} + 6 = 0 \) führt auf \( 2^{\,x-1} = -2 \). Eine Zweierpotenz ist nie negativ, also \( \text{IL} = \{\;\} \). Solche Gleichungen erkennst du sofort, wenn du die Potenz isoliert hast.
6.3 Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion
Die Funktion \( f(x) = 2^x \) ordnet jedem Exponenten seine Potenz zu. Kehrst du diese Zuordnung um – jeder Potenz ihren Exponenten –, erhältst du die Logarithmusfunktion \( g(x) = \log_2 x \). Sie ist die Umkehrfunktion von \( f \).
Umkehren heißt: In jedem Wertepaar tauschen \( x \) und \( y \) die Plätze. Aus dem Punkt \( (3\,|\,8) \) auf dem Graphen von \( f \) wird der Punkt \( (8\,|\,3) \) auf dem Graphen von \( g \). Genau das leistet geometrisch die Spiegelung an der Winkelhalbierenden \( y = x \).
Beim Spiegeln tauschen auch die Asymptoten: aus der waagrechten \( y = 0 \) wird die senkrechte \( x = 0 \).
| \( f(x) = 2^x \) | \( g(x) = \log_2 x \) | |
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \text{IR} \) | \( \text{ID} = \text{IR}^{+} \) |
| Wertemenge | \( \text{IR}^{+} \) | \( \text{IR} \) |
| Asymptote | \( y = 0 \) (waagrecht) | \( x = 0 \) (senkrecht) |
| Schnittpunkt mit einer Achse | \( (0\,|\,1) \) mit der \( y \)-Achse | \( (1\,|\,0) \) mit der \( x \)-Achse |
An dieser Tabelle siehst du das Prinzip: Bei der Umkehrfunktion tauschen Definitions- und Wertemenge die Rollen. Und weil \( \log_2 x \) nur für \( x > 0 \) definiert ist, musst du bei jeder Aufgabe mit einer Logarithmusfunktion zuerst die Definitionsmenge angeben. Bei \( y = \log_2(x – 3) \) etwa muss \( x – 3 > 0 \) sein, also \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x > 3\} \) – und die senkrechte Asymptote wandert auf \( x = 3 \).
Die allgemeine Form \( y = k \cdot \log_a(x – b) + c \)
Genauso wie die Exponentialfunktion hat auch die Logarithmusfunktion eine Parameterform. Die Parameter wirken sinngemäß gleich, nur dass hier die senkrechte Asymptote verschoben wird: \( b \) schiebt den Graphen um \( b \) nach rechts und nimmt die Asymptote mit – sie lautet \( x = b \). \( c \) verschiebt um \( c \) nach oben, \( k \) streckt in \( y \)-Richtung. Weil das Argument positiv sein muss, gilt immer \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x > b\} \), die Wertemenge bleibt \( \text{IR} \).
Durchgerechnetes Beispiel
Untersuche \( g(x) = 2 \cdot \log_2(x – 3) – 4 \): Definitionsmenge, Asymptote, Wertemenge, Nullstelle und Umkehrfunktion.
| Parameter ablesen | \( k = 2 \), \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -4 \) |
| Definitionsmenge | \( x – 3 > 0 \), also \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x > 3\} \) |
| senkrechte Asymptote | \( x = 3 \) |
| Wertemenge | \( \text{IR} \) |
| Nullstelle: \( g(x) = 0 \) | \( \log_2(x-3) = 2 \Rightarrow x – 3 = 4 \Rightarrow x = 7 \) |
| Umkehrfunktion | \( g^{-1}(x) = 2^{\frac{x+4}{2}} + 3 \) |
So entsteht die Umkehrfunktion Schritt für Schritt: Aus \( y = 2 \cdot \log_2(x-3) – 4 \) folgt \( y + 4 = 2 \cdot \log_2(x-3) \), dann \( \tfrac{y+4}{2} = \log_2(x-3) \), also \( x – 3 = 2^{\frac{y+4}{2}} \) und damit \( x = 2^{\frac{y+4}{2}} + 3 \). Zum Schluss die Variablennamen tauschen. Die Umkehrfunktion ist eine Exponentialfunktion in Parameterform mit \( \text{ID} = \text{IR} \) und der waagrechten Asymptote \( y = 3 \) – genau die gespiegelte Asymptote von \( g \).
Kontrolle durch Einsetzen in beide Gleichungen: \( g(4) = 2 \cdot \log_2 1 – 4 = -4 \) ✓ und \( g^{-1}(-4) = 2^{0} + 3 = 4 \) ✓ · \( g(11) = 2 \cdot \log_2 8 – 4 = 6 – 4 = 2 \) ✓ und \( g^{-1}(2) = 2^{3} + 3 = 11 \) ✓ · Nullstelle: \( g(7) = 2 \cdot \log_2 4 – 4 = 4 – 4 = 0 \) ✓.
Merke: Die Logarithmusfunktion \( g(x) = \log_a x \) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \( f(x) = a^x \); ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Geraden \( y = x \). Dabei tauschen Definitions- und Wertemenge sowie die Asymptoten: \( \text{ID} = \text{IR}^{+} \), Wertemenge \( \text{IR} \), senkrechte Asymptote \( x = 0 \). In der allgemeinen Form \( y = k \cdot \log_a(x – b) + c \) wandert die senkrechte Asymptote auf \( x = b \) und die Definitionsmenge lautet \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x > b\} \), die Wertemenge bleibt \( \text{IR} \). Die Definitionsmenge gehört bei jeder Logarithmusaufgabe in die Lösung.
6.4 Die allgemeine Parameterform \( y = k \cdot a^{\,x-b} + c \)
Jetzt bekommt die Exponentialfunktion drei zusätzliche Stellschrauben. Sie wirken genau so, wie du es von der Scheitelform der Parabel kennst:
| \( k \) | streckt in \( y \)-Richtung; \( k < 0 \) spiegelt zusätzlich an der Asymptote |
| \( b \) | verschiebt um \( b \) nach rechts (Vorsicht: im Exponenten steht \( x – b \)) |
| \( c \) | verschiebt um \( c \) nach oben – und nimmt die Asymptote mit: \( y = c \) |
Der wichtigste Punkt ist der letzte: Die Asymptote ist bei der Grundform die \( x \)-Achse, bei der Parameterform aber die waagrechte Gerade \( \boldsymbol{y = c} \). Damit ändert sich auch die Wertemenge, und die Funktion kann jetzt sogar eine Nullstelle haben.
Durchgerechnetes Beispiel
Untersuche \( f(x) = 3 \cdot 2^{\,x-1} – 6 \): Asymptote, Wertemenge, Nullstelle, Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse und Umkehrfunktion.
| Parameter ablesen | \( k = 3 \), \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \) |
| Definitionsmenge | \( \text{ID} = \text{IR} \) |
| Asymptote | \( y = -6 \) |
| Wertemenge (da \( k > 0 \)) | \( \{y \in \text{IR} \mid y > -6\} \) |
| Nullstelle: \( f(x) = 0 \) | \( 2^{\,x-1} = 2 \;\Rightarrow\; x = 2 \) |
| Schnittpunkt mit \( y \)-Achse | \( f(0) = 3 \cdot 2^{-1} – 6 = 1{,}5 – 6 = -4{,}5 \) |
| Umkehrfunktion | \( f^{-1}(x) = \log_2\!\left(\dfrac{x+6}{3}\right) + 1 \) |
So entsteht die Umkehrfunktion Schritt für Schritt: Aus \( y = 3 \cdot 2^{\,x-1} – 6 \) folgt \( y + 6 = 3 \cdot 2^{\,x-1} \), dann \( \dfrac{y+6}{3} = 2^{\,x-1} \), also \( x – 1 = \log_2\!\left(\dfrac{y+6}{3}\right) \) und schließlich \( x = \log_2\!\left(\dfrac{y+6}{3}\right) + 1 \). Zum Schluss tauschst du die Variablennamen. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge von \( f \), also \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x > -6\} \) – und ihre senkrechte Asymptote ist \( x = -6 \).
Kontrolle durch Einsetzen in beide Gleichungen: \( f(3) = 3 \cdot 2^{2} – 6 = 12 – 6 = 6 \) ✓. Umgekehrt \( f^{-1}(6) = \log_2\!\left(\tfrac{12}{3}\right) + 1 = \log_2 4 + 1 = 2 + 1 = 3 \) ✓. Und für die Nullstelle: \( f(2) = 3 \cdot 2^{1} – 6 = 0 \) ✓, \( f^{-1}(0) = \log_2 2 + 1 = 2 \) ✓. Die beiden Funktionen machen einander exakt rückgängig.
Weil die Asymptote unter der \( x \)-Achse liegt, hat diese Exponentialfunktion – anders als die Grundform – eine Nullstelle.
Merke: Bei \( y = k \cdot a^{\,x-b} + c \) liest du die Asymptote direkt an \( c \) ab: \( y = c \). Die Wertemenge ist \( y > c \) für \( k > 0 \) und \( y < c \) für \( k < 0 \). Eine Nullstelle existiert genau dann, wenn der Graph die \( x \)-Achse überhaupt erreichen kann, also wenn \( k \) und \( c \) verschiedene Vorzeichen haben. Die Umkehrfunktion findest du, indem du die Gleichung nach \( x \) auflöst und erst zum Schluss die Variablennamen tauschst – ihre Definitionsmenge ist die Wertemenge der Ausgangsfunktion.
7. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die sechs Kernpunkte dieser Seite:
- Linear erkennst du an der konstanten Differenz, exponentiell an dem konstanten Quotienten benachbarter Werte.
- Die Exponentialfunktion heißt \( f(x) = k \cdot a^x \) mit dem Anfangswert \( k = f(0) \) und dem Wachstumsfaktor \( a \). Der Graph liegt ganz oberhalb der \( x \)-Achse und hat sie als Asymptote.
- Aus Prozenten wird der Faktor: Zunahme um \( p\ \% \) heißt \( a = 1 + \tfrac{p}{100} \), Abnahme um \( p\ \% \) heißt \( a = 1 – \tfrac{p}{100} \). Mehrere Perioden werden potenziert, nicht addiert – das ist der Zinseszins \( K_n = K_0 \cdot a^n \).
- Ist eine Verdopplungs- oder Halbwertszeit \( T \) gegeben, lautet die Gleichung \( f(t) = k \cdot a^{\frac{t}{T}} \).
- \( \log_a b \) ist die Lösung von \( a^x = b \). Zum Rechnen: Potenz isolieren, logarithmieren, \( x = \dfrac{\lg b}{\lg a} \). Nur positive Zahlen haben einen Logarithmus.
- Nur Mathematik I: Logarithmensätze machen aus Produkt Summe und aus Potenz Produkt; die Logarithmusfunktion ist die an \( y = x \) gespiegelte Umkehrfunktion mit \( \text{ID} = \text{IR}^{+} \) und senkrechter Asymptote \( x = 0 \); bei \( y = k \cdot a^{\,x-b} + c \) ist die Asymptote \( y = c \).
8. So fragt die Abschlussprüfung
In der Abschlussprüfung erscheinen Exponentialfunktionen fast immer als Sachaufgabe mit vier wiederkehrenden Fragerichtungen: Wert nach \( n \) Schritten, Wachstumsfaktor aus zwei Messwerten, gesuchter Exponent (also Logarithmus) und die Unterscheidung Zunahme/Abnahme. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext.
Aufgabe 1 – Zinseszins: Wert nach \( n \) Jahren. Katharina Brandl legt 20 000 € für eine geplante Maschine zurück. Die Bank verzinst das Geld mit 5 % pro Jahr. Welcher Betrag steht nach 3 Jahren zur Verfügung?
| Wachstumsfaktor | \( a = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05 \) |
| Ansatz | \( K(n) = 20\,000\ \text{€} \cdot 1{,}05^{\,n} \) |
| Potenz berechnen | \( 1{,}05^3 = 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}157625 \) |
| Ergebnis | \( K(3) = 20\,000\ \text{€} \cdot 1{,}157625 = 23\,152{,}50\ \text{€} \) |
Gegenprobe – Jahr für Jahr: \( 20\,000 \to 21\,000 \to 22\,050 \to 23\,152{,}50 \) ✓. Zweite Kontrolle über die Größenordnung: Ohne Zinseszins wären es \( 3 \cdot 1000 = 3000\ \text{€} \) Zinsen, mit Zinseszins müssen es etwas mehr sein – hier 3152,50 € ✓. Antwort: Nach 3 Jahren stehen 23 152,50 € zur Verfügung. Der Exponent zählt die Zeitschritte, nicht die Jahreszahl – deshalb steht dort 3 und nicht etwa 4.
Aufgabe 2 – Abnahme: Wertverlust einer Maschine. Eine neue Kantenanleimmaschine kostet 40 000 € und verliert jährlich 20 % ihres jeweiligen Restwerts. Was ist sie nach 3 Jahren noch wert?
| Abnahmefaktor | \( a = 1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8 \) |
| Ansatz | \( W(n) = 40\,000\ \text{€} \cdot 0{,}8^{\,n} \) |
| Potenz berechnen | \( 0{,}8^3 = 0{,}512 \) |
| Ergebnis | \( W(3) = 40\,000\ \text{€} \cdot 0{,}512 = 20\,480\ \text{€} \) |
Gegenprobe – Jahr für Jahr: \( 40\,000 \to 32\,000 \to 25\,600 \to 20\,480 \) ✓. Achtung, die Falle: 20 % pro Jahr über 3 Jahre sind nicht 60 % Verlust – das ergebe 16 000 € und wäre deutlich zu wenig. Prozente werden bei exponentiellem Verlauf nicht addiert, sondern die Faktoren multipliziert. Antwort: Die Maschine ist nach 3 Jahren noch 20 480 € wert, hat also 48,8 % ihres Werts verloren.
Aufgabe 3 – Funktion aus zwei Messwerten aufstellen. Herr Sailer lässt die Klasse Schimmelsporen auf einem feucht gelagerten Brett zählen. Zu Beginn (\( x = 0 \), in Tagen) sind es 500, nach 3 Tagen 4000. Stelle die Funktion \( f(x) = k \cdot a^{\,x} \) auf und bestimme den täglichen Zuwachs in Prozent.
| Startwert ablesen | \( f(0) = k \cdot a^0 = k = 500 \) |
| zweiten Wert einsetzen | \( 500 \cdot a^3 = 4000 \) |
| nach \( a^3 \) auflösen | \( a^3 = \dfrac{4000}{500} = 8 \;\Rightarrow\; a = 2 \) |
| Funktion | \( f(x) = 500 \cdot 2^{\,x} \), täglicher Zuwachs 100 % |
Gegenprobe: \( f(0) = 500 \cdot 1 = 500 \) ✓, \( f(3) = 500 \cdot 8 = 4000 \) ✓. Die Zwischenwerte passen zur Verdopplung: \( 500 \to 1000 \to 2000 \to 4000 \) ✓. Antwort: Es gilt \( f(x) = 500 \cdot 2^{\,x} \); die Sporenzahl verdoppelt sich täglich, der Zuwachs beträgt also 100 % pro Tag. Der Faktor \( k \) ist immer der Wert bei \( x = 0 \) – wegen \( a^0 = 1 \) fällt die Basis dort weg.
Aufgabe 4 – der Exponent ist gesucht: Logarithmus. Die 20 000 € aus Aufgabe 1 liegen weiter zu 5 % pro Jahr. Nach wie vielen vollen Jahren sind erstmals mindestens 30 000 € erreicht?
| Ansatz | \( 20\,000 \cdot 1{,}05^{\,n} \ge 30\,000 \) |
| Potenz isolieren | \( 1{,}05^{\,n} \ge 1{,}5 \) |
| logarithmieren | \( n \ge \dfrac{\lg 1{,}5}{\lg 1{,}05} = \dfrac{0{,}176091\ldots}{0{,}021189\ldots} \) |
| Wert | \( n \ge 8{,}31\ldots \) |
| aufrunden | \( n = 9 \) Jahre |
Gegenprobe an den Nachbarjahren: \( 1{,}05^8 = 1{,}477455\ldots \), also \( 20\,000 \cdot 1{,}477455 = 29\,549{,}11\ \text{€} \) – noch zu wenig. \( 1{,}05^9 = 1{,}551328\ldots \), also \( 20\,000 \cdot 1{,}551328 = 31\,026{,}56\ \text{€} \) – erstmals über 30 000 € ✓. Antwort: Nach 9 vollen Jahren ist das Ziel erreicht. Hier wird aufgerundet, obwohl 8,31 kaufmännisch auf 8 gerundet würde: Im achten Jahr ist die Grenze noch nicht überschritten. Diese Kontrolle an den beiden Nachbarjahren gehört in die Lösung – sie beweist das Aufrunden.
9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Den Prozentsatz statt des Wachstumsfaktors eingesetzt. Ursache: Aus „5 %“ wird \( a = 0{,}05 \) statt \( a = 1{,}05 \). Vermeidung: Notiere den Faktor als eigene erste Zeile: \( a = 1 + p \) bei Zunahme, \( a = 1 – p \) bei Abnahme. Plausibilitätstest: Bei Wachstum muss \( a > 1 \) sein, bei Abnahme \( 0 < a < 1 \).
- Prozente über mehrere Zeitschritte addiert. Ursache: 20 % Verlust in 3 Jahren werden als 60 % Gesamtverlust gerechnet. Vermeidung: Bei exponentiellem Verlauf werden die Faktoren multipliziert: \( 0{,}8^3 = 0{,}512 \), also 48,8 % Verlust. Die Rechnung Jahr für Jahr ist die schnellste Gegenprobe.
- Exponentielles mit linearem Wachstum verwechselt. Ursache: In der Wertetabelle wird nach gleichen Differenzen gesucht, obwohl gleiche Quotienten vorliegen. Vermeidung: Teile benachbarte Werte durcheinander. Kommt immer dieselbe Zahl heraus (hier \( 1000:500 = 2000:1000 = 2 \)), ist der Verlauf exponentiell; sind die Differenzen gleich, ist er linear.
- Beim Aufstellen von \( f(x) = k \cdot a^{\,x} \) den Startwert falsch zugeordnet. Ursache: Der erste Messwert der Tabelle wird als \( k \) genommen, obwohl er nicht zu \( x = 0 \) gehört. Vermeidung: \( k \) ist immer \( f(0) \), weil \( a^0 = 1 \) gilt. Steht \( x = 0 \) nicht in der Tabelle, musst du \( k \) aus einer Gleichung bestimmen – nicht ablesen.
- Beim Logarithmieren die Terme zerlegt, die nicht zerlegt werden dürfen. Ursache: Es wird \( \lg(1{,}5 : 1{,}05) \) statt \( \lg 1{,}5 : \lg 1{,}05 \) gerechnet oder der Logarithmus einer Summe „auseinandergezogen“. Vermeidung: Isoliere zuerst die Potenz allein auf einer Seite, logarithmiere dann beide Seiten. Der Logarithmus einer Summe lässt sich nicht vereinfachen.
- Bei ganzen Zeitschritten falsch gerundet. Ursache: \( n = 8{,}31 \) wird kaufmännisch auf 8 abgerundet, obwohl das Ziel dort noch nicht erreicht ist. Vermeidung: Bei „wann ist mindestens… erreicht?“ immer aufrunden, bei „wie lange bleibt es unter…?“ abrunden – und beide Nachbarwerte einsetzen, um die Entscheidung zu belegen.
Weiterlernen
- Potenzen – die Rechengesetze, aus denen die Logarithmensätze entstehen.
- Prozent- und Zinsrechnung – die Grundlage für den Wachstumsfaktor und den Zinseszins.
- Funktionen und lineare Funktionen – das Wachstum mit konstanter Differenz zum Vergleich.
- Quadratische Funktionen – dort steht die Variable in der Basis, hier im Exponenten.
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