Mathematik Realschule Bayern · Klasse 7 · Lernbereich „Proportionalitäten“ (LehrplanPLUS) · BY
Prozent- und Zinsrechnung: vermehrter und verminderter Grundwert
Rabatt auf ein Sofa, Skonto auf eine Rechnung, Zinsen für einen Kredit – überall dahinter steckt dieselbe Rechnung: Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert. Aus der 6. Klasse kennst du diese drei Größen bereits. Auf dieser Seite baust du dieses Wissen aus: Du lernst, wie du bei Preissteigerungen und Preissenkungen den vermehrten und den verminderten Grundwert berechnest, und du überträgst die Prozentrechnung auf die Zinsrechnung mit den Begriffen Kapital, Zinssatz und Zinsen.
Diese Seite gilt inhaltlich identisch für Mathematik I und Mathematik II/III. Der LehrplanPLUS Bayern verlangt für Klasse 7 wörtlich: „wenden das um den verminderten und vermehrten Grundwert erweiterte Wissen über die Prozentrechnung auch in Alltagssituationen (z. B. Berechnung von Preisen ohne MwSt., Preissteigerung bzw. -reduzierung) an“ sowie „übertragen ihre Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Prozentrechnung auf die Zinsrechnung und nutzen dabei die Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen“ (Mathematik I, Lernbereich 7, 12 Std.; Mathematik II/III, Lernbereich 5, 12 Std. – die Kompetenzerwartung ist wörtlich identisch, ebenso die Stundenzahl).
Wozu brauchst du das?
Überall dort, wo sich ein Preis oder ein Kapital verändert: Rabatte und Sonderangebote im Handel · Skonto beim schnellen Bezahlen einer Rechnung · die Mehrwertsteuer, die zu einem Nettopreis dazukommt oder aus einem Bruttopreis herausgerechnet werden muss · Gehalts- und Preissteigerungen · Zinsen auf ein Sparkonto oder auf einen Kredit, mit dem zum Beispiel eine Werkstatt neue Maschinen finanziert. In der Abschlussprüfung tauchen solche Aufgaben fast immer als Sachaufgabe mit Alltagsbezug auf.
Inhalt dieser Seite
- Der Prozentbegriff: Prozentsatz, Prozentwert, Grundwert
- Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
- Vermehrter und verminderter Grundwert
- Einfache Zinsrechnung: Jahres-, Monats- und Tageszins
- Das Wichtigste in Kürze
1. Der Prozentbegriff: Prozentsatz, Prozentwert, Grundwert
Das Holzwerk Brandl bietet ein Sofa aus der Ausstellung zum Sonderpreis an: 15 % Rabatt auf den Listenpreis von 800 €. Drei Größen stecken in diesem einen Satz:
| Grundwert \( G \) | das Ganze, also 100 % – hier der Listenpreis: 800 € |
| Prozentsatz \( p \) | der Anteil in Hundertsteln – hier: 15 % |
| Prozentwert \( W \) | der Anteil in der Einheit des Grundwerts – hier der Rabattbetrag: \( 800\ \text{€} \cdot 0{,}15 = 120\ \text{€} \) |
Der grün markierte Ausschnitt ist der Prozentwert – der Teil des Grundwerts, der zum angegebenen Prozentsatz gehört.
Merke: Der Grundwert \( G \) ist das Ganze (100 %), der Prozentsatz \( p \) gibt an, welcher Anteil von 100 % gemeint ist, und der Prozentwert \( W \) ist dieser Anteil, ausgedrückt in derselben Einheit wie der Grundwert. Es gilt \( p\,\% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \).
2. Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
Von den drei Größen \( G \), \( p \) und \( W \) sind in einer Aufgabe immer zwei gegeben, die dritte ist gesucht. Damit ergeben sich genau drei Grundaufgaben. Am einfachsten merkst du dir die Formeln mit dem Zauberdreieck: Verdeckst du die gesuchte Größe, zeigen die beiden anderen, wie zu rechnen ist.
Verdeckst du \( p \): \( W : G \) · Verdeckst du \( G \): \( W : p \) (mal 100) · Verdeckst du \( W \): \( G \cdot p \) (durch 100).
Aufgabe 1 – Prozentwert berechnen (Grundwert und Prozentsatz gegeben)
Ein Regal im Holzwerk Brandl kostet 250 €. Auf Ausstellungsstücke gewährt der Verkäufer 12 % Rabatt. Wie viel Euro Rabatt sind das?
| gegeben | \( G = 250\ \text{€} \), \( p = 12\ \% \) |
| Formel | \( W = \dfrac{G \cdot p}{100} \) |
| einsetzen | \( W = \dfrac{250 \cdot 12}{100} \) |
| Ergebnis | \( W = 30\ \text{€} \) |
Probe: \( \dfrac{30}{250} \cdot 100 = 12\ \% \) ✓. Antwort: Der Rabatt beträgt 30 €.
Aufgabe 2 – Prozentsatz berechnen (Grundwert und Prozentwert gegeben)
Zahlt ein Kunde eine Rechnung über 1 500 € innerhalb von 10 Tagen, gewährt das Holzwerk Brandl 30 € Skonto. Wie viel Prozent Skonto sind das?
| gegeben | \( G = 1\,500\ \text{€} \), \( W = 30\ \text{€} \) |
| Formel | \( p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \) |
| einsetzen | \( p = \dfrac{30}{1\,500} \cdot 100 \) |
| Ergebnis | \( p = 2\ \% \) |
Probe: \( 1\,500\ \text{€} \cdot 0{,}02 = 30\ \text{€} \) ✓. Antwort: Der Kunde erhält 2 % Skonto.
Aufgabe 3 – Grundwert berechnen (Prozentsatz und Prozentwert gegeben)
Bei einem Vollholztisch beträgt der Rabatt 45 €, das entspricht 9 % des Listenpreises. Wie teuer war der Tisch ursprünglich?
| gegeben | \( p = 9\ \% \), \( W = 45\ \text{€} \) |
| Formel | \( G = \dfrac{W}{p} \cdot 100 \) |
| einsetzen | \( G = \dfrac{45}{9} \cdot 100 \) |
| Ergebnis | \( G = 500\ \text{€} \) |
Probe: \( 500\ \text{€} \cdot 0{,}09 = 45\ \text{€} \) ✓. Antwort: Der Tisch kostete ursprünglich 500 €.
Merke: \( W = \dfrac{G \cdot p}{100} \) · \( p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \) · \( G = \dfrac{W}{p} \cdot 100 \). Schreibe dir bei jeder Aufgabe zuerst hin, welche zwei Größen gegeben sind – dann ist die passende Formel sofort klar.
3. Vermehrter und verminderter Grundwert
In Aufgabe 1 hast du erst den Rabatt und dann den neuen Preis hätten berechnen können: \( 250\ \text{€} – 30\ \text{€} = 220\ \text{€} \). Diesen Umweg über den Prozentwert kannst du dir sparen. Sinkt der Grundwert um \( p\,\% \), bleiben \( (100 – p)\,\% \) übrig; steigt er um \( p\,\% \), sind es \( (100 + p)\,\% \). Den neuen Wert nennt man verminderten bzw. vermehrten Grundwert.
Beispiel 1 – verminderter Grundwert (Rabatt direkt zum Endpreis)
Ein Massivholzschrank kostet regulär 600 €. Zur Lagerräumung gewährt das Holzwerk Brandl 20 % Rabatt. Welchen Preis zahlt der Kunde?
| gegeben | \( G = 600\ \text{€} \), \( p = 20\ \% \) |
| Restanteil | \( 100\ \% – 20\ \% = 80\ \% \) |
| einsetzen | \( G_{\text{vermindert}} = 600 \cdot 0{,}80 \) |
| Ergebnis | \( G_{\text{vermindert}} = 480\ \text{€} \) |
Probe: Rabatt \( = 600\ \text{€} – 480\ \text{€} = 120\ \text{€} \), und \( \dfrac{120}{600} \cdot 100 = 20\ \% \) ✓. Antwort: Der Kunde zahlt 480 €.
Beispiel 2 – verminderter Grundwert rückwärts (häufiger Prüfungstyp)
Ein Stuhl kostet nach 20 % Rabatt noch 480 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? Achtung: Hier darfst du nicht einfach 20 % zum Endpreis dazuzählen, denn die 480 € entsprechen bereits 80 %, nicht 100 %.
| gegeben | \( G_{\text{vermindert}} = 480\ \text{€} \) entspricht 80 % |
| Formel | \( G = G_{\text{vermindert}} : \dfrac{100-p}{100} \) |
| einsetzen | \( G = 480 : 0{,}80 \) |
| Ergebnis | \( G = 600\ \text{€} \) |
Probe: \( 600\ \text{€} \cdot 0{,}80 = 480\ \text{€} \) ✓. Antwort: Der ursprüngliche Preis betrug 600 €.
Beispiel 3 – vermehrter Grundwert (Mehrwertsteuer)
Eine Werkbank hat einen Nettopreis (ohne MwSt.) von 650 €. Auf den Nettopreis kommen 19 % Mehrwertsteuer hinzu. Wie hoch ist der Bruttopreis?
| gegeben | \( G = 650\ \text{€} \), \( p = 19\ \% \) |
| Zuschlag | \( 100\ \% + 19\ \% = 119\ \% \) |
| einsetzen | \( G_{\text{vermehrt}} = 650 \cdot 1{,}19 \) |
| Ergebnis | \( G_{\text{vermehrt}} = 773{,}50\ \text{€} \) |
Probe (rückwärts): \( 773{,}50\ \text{€} : 1{,}19 = 650\ \text{€} \) ✓. Antwort: Der Bruttopreis beträgt 773,50 €. Genau umgekehrt rechnest du, wenn du aus einem gegebenen Bruttopreis den Nettopreis suchst: dann teilst du durch 1,19, statt fälschlich 19 % abzuziehen.
Merke: Verminderung um \( p\,\% \): \( G_{\text{vermindert}} = G \cdot \dfrac{100-p}{100} \). Vermehrung um \( p\,\% \): \( G_{\text{vermehrt}} = G \cdot \dfrac{100+p}{100} \). Ist der veränderte Wert bereits gegeben und der ursprüngliche Grundwert gesucht, wird dividiert, nicht wieder der Prozentsatz addiert oder subtrahiert – sonst rechnest du vom falschen Bezugswert aus.
4. Einfache Zinsrechnung: Jahres-, Monats- und Tageszins
Die Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit eigenen Fachbegriffen: Das Kapital \( K \) entspricht dem Grundwert, der Zinssatz \( p\,\% \) entspricht dem Prozentsatz und die Zinsen \( Z \) entsprechen dem Prozentwert. Ein Zinssatz gilt dabei immer für ein volles Jahr, auch wenn er für eine kürzere Laufzeit angewendet wird.
Das Holzwerk Brandl nimmt für eine neue Absauganlage einen Kredit von 12 000 € zu einem Zinssatz von 4,5 % pro Jahr auf.
Jahreszins
| gegeben | \( K = 12\,000\ \text{€} \), \( p = 4{,}5\ \% \) |
| Formel | \( Z_{\text{Jahr}} = \dfrac{K \cdot p}{100} \) |
| einsetzen | \( Z_{\text{Jahr}} = \dfrac{12\,000 \cdot 4{,}5}{100} \) |
| Ergebnis | \( Z_{\text{Jahr}} = 540\ \text{€} \) |
Probe: \( \dfrac{540}{12\,000} \cdot 100 = 4{,}5\ \% \) ✓. Für ein volles Jahr fallen 540 € Zinsen an.
Monatszins
Läuft der Kredit nur 8 Monate, erhält das Holzwerk Brandl nur den entsprechenden Bruchteil der Jahreszinsen: den Faktor \( \tfrac{8}{12} \).
| Formel | \( Z_{\text{Monat}} = Z_{\text{Jahr}} \cdot \dfrac{t_{\text{Monate}}}{12} \) |
| einsetzen | \( Z_{\text{Monat}} = 540 \cdot \dfrac{8}{12} \) |
| Ergebnis | \( Z_{\text{Monat}} = 360\ \text{€} \) |
Probe: Ein Monatszins beträgt \( 540 : 12 = 45\ \text{€} \); für 8 Monate also \( 8 \cdot 45\ \text{€} = 360\ \text{€} \) ✓.
Tageszins
Für eine Laufzeit von 90 Tagen wird – wie in der Zinsrechnung üblich – mit dem kaufmännischen Bankjahr zu 360 Tagen gerechnet.
| Formel | \( Z_{\text{Tag}} = \dfrac{K \cdot p \cdot t_{\text{Tage}}}{100 \cdot 360} \) |
| einsetzen | \( Z_{\text{Tag}} = \dfrac{12\,000 \cdot 4{,}5 \cdot 90}{100 \cdot 360} \) |
| Ergebnis | \( Z_{\text{Tag}} = 135\ \text{€} \) |
Probe: Ein Tageszins beträgt \( 540 : 360 = 1{,}50\ \text{€} \); für 90 Tage also \( 90 \cdot 1{,}50\ \text{€} = 135\ \text{€} \) ✓.
Je kürzer die Laufzeit, desto kleiner der Bruchteil der Jahreszinsen – das Kapital und der Zinssatz bleiben dabei gleich.
Merke: \( Z_{\text{Jahr}} = \dfrac{K \cdot p}{100} \). Für Monate gilt \( Z_{\text{Monat}} = Z_{\text{Jahr}} \cdot \dfrac{t_{\text{Monate}}}{12} \), für Tage \( Z_{\text{Tag}} = \dfrac{K \cdot p \cdot t_{\text{Tage}}}{100 \cdot 360} \) – das Bankjahr hat 360 Tage, jeder Monat wird pauschal mit 30 Tagen gerechnet. Der Zinssatz \( p\,\% \) bezieht sich immer auf ein volles Jahr, auch wenn die Laufzeit kürzer ist.
5. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die vier Kernpunkte dieser Seite:
- Grundwert \( G \) = das Ganze (100 %), Prozentsatz \( p \) = der Anteil in Hundertsteln, Prozentwert \( W \) = der Anteil in der Einheit des Grundwerts.
- Die drei Grundaufgaben: \( W = \dfrac{G \cdot p}{100} \), \( p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \), \( G = \dfrac{W}{p} \cdot 100 \).
- Vermehrter/verminderter Grundwert spart den Umweg über den Prozentwert: \( G \cdot \dfrac{100 \pm p}{100} \). Ist der veränderte Wert gegeben, wird durch diesen Faktor dividiert, nicht wieder addiert oder subtrahiert.
- Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit Kapital \( K \) statt Grundwert und Zinsen \( Z \) statt Prozentwert. Der Zinssatz gilt für ein Jahr; für kürzere Laufzeiten wird mit \( \tfrac{t_{\text{Monate}}}{12} \) bzw. \( \tfrac{t_{\text{Tage}}}{360} \) anteilig gerechnet.
6. So fragt die Abschlussprüfung
Prozent- und Zinsrechnung gehört zu den Themen, die in der Abschlussprüfung sicher vorkommen – meist als Sachaufgabe, bei der du selbst entscheiden musst, welche der drei Größen gesucht ist und ob der veränderte oder der ursprüngliche Wert das Ganze ist. Vier typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl, jeweils mit Ansatz, Rechnung, Gegenprobe und Antwortsatz.
Aufgabe 1 – Rabatt: der Grundwert ist gesucht. Ein Massivholztisch wird im Abverkauf mit 15 % Rabatt angeboten und kostet dann 1 020 €. a) Wie hoch war der Listenpreis? b) Wie viel Euro spart der Kunde?
| Was ist das Ganze? | der Listenpreis \( G \) – er entspricht 100 % |
| verminderter Grundwert | \( 1\,020\ \text{€} \) entsprechen \( 100\,\% – 15\,\% = 85\,\% \) |
| Ansatz | \( G \cdot \dfrac{85}{100} = 1\,020\ \text{€} \) |
| a) dividieren | \( G = 1\,020\ \text{€} : 0{,}85 = 1\,200\ \text{€} \) |
| b) Ersparnis | \( 1\,200\ \text{€} – 1\,020\ \text{€} = 180\ \text{€} \) |
Gegenprobe: \( 1\,200\ \text{€} \cdot 0{,}85 = 1\,020\ \text{€} \) ✓, und der Rabattbetrag ist \( \tfrac{1\,200 \cdot 15}{100} = 180\ \text{€} \) ✓. Zweite Kontrolle über die Größenordnung: Der Listenpreis muss größer als 1 020 € sein – 1 200 € passt ✓. Antwort: Der Listenpreis betrug 1 200 €; der Kunde spart 180 €. Wichtig: 15 % von 1 020 € (also 153 €) einfach dazuzurechnen wäre falsch, denn der Rabatt bezieht sich auf den Listenpreis, nicht auf den Aktionspreis.
Aufgabe 2 – Umsatzsteuer herausrechnen. Eine Rechnung des Holzwerks lautet auf 952 € einschließlich 19 % Umsatzsteuer. Wie hoch ist der Nettobetrag, wie hoch die enthaltene Umsatzsteuer?
| Was ist das Ganze? | der Nettobetrag \( G \) – die Steuer kommt oben drauf |
| vermehrter Grundwert | \( 952\ \text{€} \) entsprechen \( 100\,\% + 19\,\% = 119\,\% \) |
| Netto | \( G = 952\ \text{€} : 1{,}19 = 800\ \text{€} \) |
| Umsatzsteuer | \( \dfrac{800 \cdot 19}{100} = 152\ \text{€} \) |
Gegenprobe: \( 800\ \text{€} + 152\ \text{€} = 952\ \text{€} \) ✓ und \( 800 \cdot 1{,}19 = 952 \) ✓. Achtung vor dem Klassiker: 19 % von 952 € sind 180,88 € – das ist nicht die enthaltene Steuer, weil 952 € nicht der Grundwert sind. Antwort: Der Nettobetrag ist 800 €, darin enthalten sind 152 € Umsatzsteuer.
Aufgabe 3 – prozentuale Zunahme: der Prozentsatz ist gesucht. Im Vorjahr hat das Holzwerk 240 Regalsysteme gebaut, in diesem Jahr 288. Um wie viel Prozent ist die Produktion gestiegen?
| Grundwert (das Ganze) | \( G = 240 \) – der alte Wert, denn auf ihn bezieht sich die Änderung |
| Prozentwert (die Zunahme) | \( W = 288 – 240 = 48 \) |
| Formel | \( p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 = \dfrac{48}{240} \cdot 100 \) |
| Ergebnis | \( p = 0{,}2 \cdot 100 = 20\ \% \) |
Gegenprobe: \( 240 \cdot 1{,}20 = 288 \) ✓. Und über den Prozentwert: 20 % von 240 sind \( \tfrac{240 \cdot 20}{100} = 48 \), und \( 240 + 48 = 288 \) ✓. Antwort: Die Produktion ist um 20 % gestiegen. Hätte man fälschlich durch den neuen Wert geteilt (\( 48 : 288 \approx 16{,}7\,\% \)), wäre die Gegenprobe sofort gescheitert – deshalb gehört sie dazu.
Aufgabe 4 – Zinsrechnung: das Kapital ist gesucht. Für einen Überbrückungskredit mit 120 Tagen Laufzeit und 3 % Jahreszinssatz stellt die Bank dem Holzwerk 90 € Zinsen in Rechnung. Wie hoch war das Kapital? (Bankjahr 360 Tage.)
| gegeben | \( Z = 90\ \text{€} \), \( p = 3\,\% \), \( t = 120 \) Tage |
| Formel | \( Z = \dfrac{K \cdot p \cdot t}{100 \cdot 360} \) |
| einsetzen und zusammenfassen | \( 90 = \dfrac{K \cdot 3 \cdot 120}{36\,000} = \dfrac{K \cdot 360}{36\,000} = \dfrac{K}{100} \) |
| Kapital | \( K = 90 \cdot 100\ \text{€} = 9\,000\ \text{€} \) |
Gegenprobe in zwei Schritten: Jahreszins \( Z_{\text{Jahr}} = \tfrac{9\,000 \cdot 3}{100} = 270\ \text{€} \); davon 120 von 360 Tagen, also \( 270 \cdot \tfrac{120}{360} = 270 \cdot \tfrac{1}{3} = 90\ \text{€} \) ✓. Antwort: Das Kapital betrug 9 000 €. Der Zwischenschritt „120 Tage sind genau ein Drittel des Bankjahrs“ ist der schnellste Kopfrechenweg – und gleichzeitig die beste Kontrolle.
7. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Der falsche Wert wird als Grundwert genommen. Ursache: Bei Rabatt- und Steueraufgaben ist der gegebene Betrag oft schon der veränderte Wert, wird aber als 100 % behandelt. Vermeidung: Schreibe vor jeder Rechnung einen Satz hin: „Das Ganze (100 %) ist …“. Beim Rabatt ist es der Listenpreis, bei der Umsatzsteuer der Nettobetrag, bei einer Änderung immer der alte Wert.
- Beim Rückwärtsrechnen addiert oder subtrahiert statt dividiert. Ursache: Aus „15 % Rabatt“ wird „also 15 % wieder draufrechnen“. Vermeidung: Vorwärts wird mit \( \tfrac{100 \pm p}{100} \) multipliziert, rückwärts durch genau diesen Faktor dividiert. Test: 1 020 € plus 15 % ergibt 1 173 € – und 15 % Rabatt davon wären 997,05 €, nicht 1 020 €. Der Fehler fällt sofort auf.
- Prozentuale Änderung auf den neuen Wert bezogen. Ursache: Die Zunahme 48 wird durch 288 statt durch 240 geteilt. Vermeidung: Der Bezug ist immer der Ausgangszustand – „gestiegen um … % gegenüber dem Vorjahr“. Kontrolliere mit dem Faktor: \( 240 \cdot 1{,}20 = 288 \) muss aufgehen.
- Prozent und Prozentpunkte verwechselt. Ursache: Steigt ein Zinssatz von 3 % auf 4,5 %, wird von „1,5 % mehr“ gesprochen. Vermeidung: Der Unterschied zweier Prozentangaben sind Prozentpunkte (hier 1,5 Prozentpunkte). Die relative Steigerung ist \( \tfrac{1{,}5}{3} \cdot 100 = 50\ \% \). Formuliere im Antwortsatz genau, was du meinst.
- Bei kurzen Laufzeiten der ganze Jahreszins angesetzt. Ursache: Der Zinssatz wird angewendet, ohne die Laufzeit zu berücksichtigen. Vermeidung: Der Zinssatz gilt immer für ein volles Jahr. Rechne den Jahreszins aus und multipliziere ihn dann mit \( \tfrac{t_{\text{Monate}}}{12} \) bzw. \( \tfrac{t_{\text{Tage}}}{360} \) – und rechne mit dem Bankjahr zu 360 Tagen und Monaten zu 30 Tagen, nicht mit 365.
- Zwei Rabatte einfach addiert. Ursache: „10 % und noch einmal 10 %“ wird zu 20 % zusammengefasst. Vermeidung: Nacheinander gewährte Rabatte werden multiplikativ verrechnet: \( 0{,}90 \cdot 0{,}90 = 0{,}81 \), also nur 19 % Gesamtnachlass. Der zweite Rabatt bezieht sich auf den bereits reduzierten Preis.
- Zu früh gerundet oder Geldbeträge falsch gerundet. Ursache: Zwischenergebnisse werden auf ganze Euro gerundet und dann weiterverwendet. Vermeidung: Erst am Ende runden, Geldbeträge auf zwei Dezimalstellen (Cent). Und schreibe die Einheit dazu – ein Ergebnis „20“ ohne „%“ oder „€“ kostet in der Prüfung Punkte.
Weiterlernen
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen – die Grundlage, um Sachaufgaben mit unbekanntem Grundwert als Gleichung zu lösen.
- Direkte Proportionalität – Prozentsatz, Grundwert und Prozentwert, wie sie in Klasse 6 eingeführt wurden.
- Statistische Kenngrößen – der nächste Lernbereich der 7. Klasse.
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