Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Daten und Zufall“ (LehrplanPLUS) · BY
Laplace-Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeiten berechnen, ohne zu experimentieren
Diese Seite gilt inhaltlich für alle Ausbildungsrichtungen (Mathematik I und Mathematik II/III) – die Kompetenzerwartung im LehrplanPLUS Bayern ist für beide Züge wortgleich und umfasst jeweils 9 Unterrichtsstunden.
In Klasse 8 hast du Wahrscheinlichkeiten empirisch geschätzt: Du hast einen Würfel oft geworfen und die relative Häufigkeit gezählt. Jetzt lernst du einen zweiten Weg kennen – einen, bei dem du gar nicht experimentieren musst. Der Lehrplan formuliert das so: Du „benutzt den Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace und grenzt ihn von anderen Wahrscheinlichkeitsbegriffen ab“, „bildest den Ergebnisraum als Menge aller möglichen Ergebnisse bei Zufallsexperimenten“ und „stellst Ereignisse und Gegenereignisse als Teilmengen des Ergebnisraums dar, um damit Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten zu berechnen“. Genau diese Bausteine lernst du hier der Reihe nach.
Inhalt dieser Seite
- Was ist ein Laplace-Experiment?
- Die Laplace-Formel
- Einfache Ereignisse berechnen
- Das Gegenereignis
- Sachaufgaben
- Das Wichtigste in Kürze
1. Was ist ein Laplace-Experiment?
Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Beim Werfen eines fairen Würfels ist keine der sechs Augenzahlen bevorzugt, beim Werfen einer fairen Münze sind Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich, bei einem Glücksrad mit gleich großen Feldern trifft der Zeiger jedes Feld genauso oft wie jedes andere. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum \( \Omega \). Beim Würfel ist \( \Omega = \{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\} \), er hat 6 Elemente.
Der Unterschied zu Klasse 8: Dort hast du die relative Häufigkeit \( h(A) = \dfrac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Versuche}} \) durch tatsächliches Werfen ermittelt und dabei beobachtet, dass sie sich bei sehr vielen Versuchen einem festen Wert annähert (Gesetz der großen Zahlen). Das war ein experimenteller Zugang – du musstest Würfeln, um etwas herauszufinden. Bei einem Laplace-Experiment brauchst du das nicht: Weil du von vornherein weißt, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, kannst du die Wahrscheinlichkeit theoretisch aus dem Aufbau des Experiments berechnen, ganz ohne einen einzigen Wurf.
Kein Feld ist bevorzugt – das ist die Voraussetzung für ein Laplace-Experiment.
Merke: Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse des Ergebnisraums \( \Omega \) gleich wahrscheinlich sind. Nur dann darfst du die Wahrscheinlichkeit rein rechnerisch bestimmen – ohne Klasse 8s empirische Häufigkeit zu brauchen. Bei einem gezinkten Würfel oder einem Glücksrad mit unterschiedlich großen Feldern ist das Verfahren dieser Seite nicht anwendbar.
2. Die Laplace-Formel
Ein Ereignis \( A \) ist eine Teilmenge des Ergebnisraums – also eine Auswahl von Ergebnissen, die dich interessieren (zum Beispiel „eine gerade Zahl würfeln“). Für ein Laplace-Experiment berechnest du die Wahrscheinlichkeit von \( A \) mit der Laplace-Formel:
Dabei zählst du oben nur die Ergebnisse, die zu \( A \) gehören („günstige“ Ergebnisse), und unten alle möglichen Ergebnisse. Kürze den Bruch am Ende immer vollständig.
Beispiel – eine Karte aus dem Skatblatt ziehen
Ein Skatblatt hat 32 Karten, darunter genau 4 Asse. Du ziehst verdeckt eine Karte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen?
| Ergebnisraum | \( |\Omega| = 32 \) (alle Karten, gleich wahrscheinlich) |
| Ereignis \( A \) | \( A \) = „Ass gezogen“, \( |A| = 4 \) |
| Laplace-Formel | \( P(A) = \dfrac{4}{32} \) |
| gekürzt | \( P(A) = \dfrac{1}{8} \) |
Merke: \( P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} \) – Zähler: Anzahl der günstigen Ergebnisse für \( A \); Nenner: Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Die Formel gilt nur bei einem Laplace-Experiment, also nur, wenn alle Ergebnisse in \( \Omega \) gleich wahrscheinlich sind.
3. Einfache Ereignisse berechnen
Die Laplace-Formel wendest du immer nach demselben Muster an: (1) Ergebnisraum \( \Omega \) bestimmen und \( |\Omega| \) zählen. (2) Das Ereignis \( A \) genau beschreiben und \( |A| \) zählen. (3) Bruch bilden und vollständig kürzen.
Beispiel 1 – Kugeln aus einer Urne ziehen
In einer Urne liegen 3 rote, 5 blaue und 2 grüne Kugeln, insgesamt also 10 Kugeln. Du ziehst blind eine Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?
| Ergebnisraum | \( |\Omega| = 3 + 5 + 2 = 10 \) |
| Ereignis \( A \) | \( A \) = „rote Kugel“, \( |A| = 3 \) |
| Laplace-Formel | \( P(A) = \dfrac{3}{10} \) |
| Ergebnis | \( P(A) = \dfrac{3}{10} \) (bereits gekürzt) |
Beispiel 2 – Materiallose beim Holzwerk Brandl
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim liefert Massivholzplatten mit einem beigelegten Materiallos, das die Holzart bestätigt. Aus einer Charge von 40 Materiallosen sind 6 Stück falsch bedruckt (Ausschuss). Ein Mitarbeiter zieht zur Kontrolle zufällig ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um Ausschuss handelt?
| Ergebnisraum | \( |\Omega| = 40 \) |
| Ereignis \( A \) | \( A \) = „Ausschuss gezogen“, \( |A| = 6 \) |
| Laplace-Formel | \( P(A) = \dfrac{6}{40} \) |
| gekürzt | \( P(A) = \dfrac{3}{20} \) |
Gekürzt wird mit dem größten gemeinsamen Teiler von 6 und 40, also mit 2: \( \dfrac{6}{40} = \dfrac{6:2}{40:2} = \dfrac{3}{20} \).
Merke: Zähle beim Bestimmen von \( |\Omega| \) und \( |A| \) sorgfältig und prüfe, ob wirklich alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (bei Kugeln, Losen und Karten ist das der Fall, solange jedes Objekt gleich oft vorkommen kann und blind gezogen wird). Kürze das Ergebnis am Schluss vollständig.
4. Das Gegenereignis
Zu jedem Ereignis \( A \) gehört das Gegenereignis \( \overline{A} \) (sprich: „nicht \( A \)“) – alle Ergebnisse aus \( \Omega \), die nicht zu \( A \) gehören. Zusammen ergeben \( A \) und \( \overline{A} \) den gesamten Ergebnisraum, deshalb gilt immer:
Das ist besonders praktisch, wenn \( \overline{A} \) einfacher zu zählen ist als \( A \) selbst.
Beispiel – Gegenereignis zur Urne aus Kapitel 3
In der Urne mit 10 Kugeln (3 rot, 5 blau, 2 grün) gilt \( P(\text{rot}) = \dfrac{3}{10} \). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine rote Kugel zu ziehen?
| Gegenereignis | \( \overline{A} \) = „nicht rot“ = „blau oder grün“ |
| über die Formel | \( P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} \) |
| Kontrolle durch Abzählen | \( |\overline{A}| = 5 + 2 = 7 \;\Rightarrow\; P(\overline{A}) = \dfrac{7}{10} \) |
| Kontrollrechnung | \( P(A) + P(\overline{A}) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{10}{10} = 1 \) ✓ |
Merke: \( P(A) + P(\overline{A}) = 1 \). Willst du eine Gegenwahrscheinlichkeit berechnen, rechne entweder direkt \( 1 – P(A) \) oder zähle \( \overline{A} \) ab – beide Wege müssen zum gleichen Ergebnis führen. Diese Kontrollrechnung solltest du bei jeder Gegenereignis-Aufgabe explizit hinschreiben.
5. Sachaufgaben
In der Prüfung steckt die Laplace-Wahrscheinlichkeit meist in einem Sachtext. Gehe wie immer vor: Ergebnisraum bestimmen, Ereignis genau beschreiben, Formel anwenden, Ergebnis im Sachzusammenhang deuten.
Beispiel 1 – Qualitätsstichprobe beim Holzwerk Brandl
Bei einer Qualitätskontrolle prüft das Holzwerk Brandl eine Lieferung von 25 Materiallosen. Dabei stellt sich heraus, dass 4 Lose fehlerhaft bedruckt sind. Ein Qualitätsprüfer zieht zufällig ein Los aus der Lieferung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Los (a) fehlerhaft ist, (b) einwandfrei ist?
| Festlegung | \( \Omega \) = alle 25 Lose, \( A \) = „Los fehlerhaft“ |
| (a) Laplace-Formel | \( P(A) = \dfrac{4}{25} \) |
| (b) Gegenereignis | \( P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{4}{25} = \dfrac{21}{25} \) |
| Kontrollrechnung | \( \dfrac{4}{25} + \dfrac{21}{25} = \dfrac{25}{25} = 1 \) ✓ |
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, ein fehlerhaftes Los zu ziehen, beträgt \( \dfrac{4}{25} \) (das sind 16 %); die Wahrscheinlichkeit, ein einwandfreies Los zu ziehen, beträgt \( \dfrac{21}{25} \) (das sind 84 %).
Beispiel 2 – Glücksrad auf dem Schulfest
Auf dem Schulfest steht ein Glücksrad mit 8 gleich großen Feldern. Davon sind 3 Felder grün beschriftet und bringen einen Gewinn, die restlichen Felder sind Nieten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Drehen zu gewinnen, und wie groß, eine Niete zu drehen?
| Festlegung | \( \Omega \) = 8 Felder, \( A \) = „Gewinnfeld“, \( |A| = 3 \) |
| Gewinn | \( P(A) = \dfrac{3}{8} \) |
| Niete (Gegenereignis) | \( P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} \) |
| Kontrollrechnung | \( \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8} = 1 \) ✓ |
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt \( \dfrac{3}{8} \), die Wahrscheinlichkeit, eine Niete zu drehen, beträgt \( \dfrac{5}{8} \).
Merke: Lies aus dem Sachtext genau heraus, was \( \Omega \) und was das gesuchte Ereignis \( A \) ist, bevor du rechnest. Bei „wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nicht …“ oder bei zwei sich ergänzenden Ausgängen (fehlerhaft/einwandfrei, Gewinn/Niete) lohnt sich fast immer das Gegenereignis.
6. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die Kernpunkte dieser Seite:
- Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Ergebnisse des Ergebnisraums \( \Omega \) gleich wahrscheinlich sind. Nur dann darfst du theoretisch statt experimentell rechnen – anders als bei der relativen Häufigkeit aus Klasse 8.
- Laplace-Formel: \( P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} \) – günstige Ergebnisse durch mögliche Ergebnisse, am Ende vollständig gekürzt.
- Zu jedem Ereignis \( A \) gehört das Gegenereignis \( \overline{A} \) mit \( P(A) + P(\overline{A}) = 1 \) – nutze das, wenn \( \overline{A} \) leichter zu zählen ist.
- Bei Sachaufgaben zuerst \( \Omega \) und \( A \) aus dem Text herausarbeiten, dann rechnen, dann das Ergebnis als Antwortsatz im Sachzusammenhang deuten.
Wozu brauchst du das?
Laplace-Wahrscheinlichkeiten stecken überall dort, wo aus einer festen Menge zufällig etwas ausgewählt wird: In der Qualitätskontrolle schätzt ein Betrieb wie das Holzwerk Brandl mit genau dieser Rechnung, wie hoch der Anteil an Ausschuss in einer Stichprobe ausfallen kann. Versicherungen und Lotterien bauen ihre Gewinnchancen auf Laplace-ähnlichen Überlegungen auf, und auch im Alltag hilft dir der Ergebnisraum-Gedanke, Aussagen wie „die Chance steht eins zu drei“ richtig einzuordnen, statt sie nur zu erahnen.
7. So fragt die Abschlussprüfung
Laplace-Aufgaben stecken in der Prüfung fast immer in einem Sachtext: Eine feste Menge ist beschrieben, daraus wird ein Stück zufällig gezogen. Deine Arbeit besteht zu zwei Dritteln aus richtigem Abzählen von \( |\Omega| \) und \( |A| \) – die Division ist der leichte Teil. Drei typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk-Kontext:
Aufgabe 1 – Qualitätskontrolle: Grundaufgabe und Gegenereignis. In einer Kiste des Holzwerks Brandl liegen 60 Regalbretter, davon 9 mit einem Astloch. Lena zieht zur Stichprobe blind ein Brett. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es ein Astloch? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es astlochfrei?
| Laplace-Bedingung prüfen | blindes Ziehen → jedes Brett gleich wahrscheinlich ✓ |
| abzählen | \( |\Omega| = 60 \), \( |A| = 9 \) |
| a) \( P(A) \) | \( P(A) = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15 = 15\ \% \) |
| b) Gegenereignis | \( P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{3}{20} = \dfrac{17}{20} = 0{,}85 = 85\ \% \) |
Gegenprobe: Direkt abgezählt sind \( 60 – 9 = 51 \) Bretter astlochfrei, also \( \dfrac{51}{60} = \dfrac{17}{20} = 0{,}85 \) ✓ – derselbe Wert, aber auf einem unabhängigen Weg. Zweite Kontrolle: \( 0{,}15 + 0{,}85 = 1 \) ✓. Antwort: Mit 15 % Wahrscheinlichkeit hat das gezogene Brett ein Astloch, mit 85 % ist es astlochfrei. In der Prüfung zählt der Antwortsatz im Sachzusammenhang mit – ein nackter Bruch reicht nicht.
Aufgabe 2 – Losverfahren im Betrieb: Ereignis zusammensetzen. Zum Firmenjubiläum verlost Katharina Brandl unter allen 250 Losen 10 Hauptgewinne (ein Massivholztisch) und 40 Trostpreise (ein Regalbrett-Set). Jonas kauft ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, überhaupt etwas zu gewinnen – und wie groß die, leer auszugehen?
| Ereignis festlegen | \( G = \{\text{Hauptgewinn};\ \text{Trostpreis}\} \) |
| günstige Ergebnisse addieren | \( |G| = 10 + 40 = 50 \), \( |\Omega| = 250 \) |
| Gewinnwahrscheinlichkeit | \( P(G) = \dfrac{50}{250} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\ \% \) |
| Niete | \( P(\overline{G}) = 1 – \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 = 80\ \% \) |
Gegenprobe: Nieten direkt gezählt: \( 250 – 50 = 200 \), also \( \dfrac{200}{250} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \) ✓. Und die Einzelwahrscheinlichkeiten müssen sich zu \( P(G) \) addieren: \( \dfrac{10}{250} + \dfrac{40}{250} = \dfrac{1}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} \) ✓. Antwort: Mit 20 % Wahrscheinlichkeit gewinnt Jonas etwas, mit 80 % geht er leer aus. Beachte: Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen – erst die günstigen Ergebnisse addieren, dann einmal durch \( |\Omega| \) teilen. Wer stattdessen die beiden fertigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert, rechnet die Aufgabe falsch.
Aufgabe 3 – Stichprobe mit zwei Merkmalen. Auf einer Palette liegen 80 Tischplatten: 48 aus Eiche und 32 aus Buche. Von den Eichenplatten haben 4 einen Kratzer, von den Buchenplatten ebenfalls 4. Merve zieht eine Platte zufällig heraus. Berechne a) \( P(\text{Kratzer}) \), b) \( P(\text{Eiche und Kratzer}) \), c) \( P(\text{einwandfrei}) \).
| Kratzer | einwandfrei | Summe | |
|---|---|---|---|
| Eiche | 4 | 44 | 48 |
| Buche | 4 | 28 | 32 |
| Summe | 8 | 72 | 80 |
| a) Kratzer | \( P = \dfrac{8}{80} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\ \% \) |
| b) Eiche und Kratzer | \( P = \dfrac{4}{80} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5\ \% \) |
| c) einwandfrei (Gegenereignis zu a) | \( P = 1 – \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9 = 90\ \% \) |
Gegenprobe: Die Tabelle muss in jeder Richtung aufgehen: \( 4 + 44 = 48 \) ✓, \( 4 + 28 = 32 \) ✓, \( 48 + 32 = 80 \) ✓, \( 8 + 72 = 80 \) ✓. Teil c) direkt abgezählt: \( \dfrac{72}{80} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9 \) ✓. Antwort: 10 % der Platten haben einen Kratzer, 5 % sind zerkratzte Eichenplatten, 90 % sind einwandfrei. Achte auf das kleine Wort „und“ in Teil b): Gefragt ist nur das Feld, in dem beide Merkmale zutreffen – nicht die Zeilensumme 48 und nicht die Spaltensumme 8.
8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Laplace-Formel angewendet, obwohl kein Laplace-Experiment vorliegt. Ursache: Die Formel wirkt universell. Sie gilt aber nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Vermeidung: Prüfe zuerst, ob wirklich blind aus einer festen Menge gezogen wird. Werden größere Bretter leichter gegriffen oder liegen die Ergebnisse in unterschiedlich vielen Formen vor, ist es kein Laplace-Experiment – schreibe die Prüfung als ersten Satz in die Lösung, dafür gibt es oft einen eigenen Punkt.
- Zähler und Nenner verdreht. Ursache: Beim Eintippen wird die größere Zahl zuerst genommen, aus \( \frac{9}{60} \) wird \( \frac{60}{9} \). Vermeidung: Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Kommt bei dir ein Wert größer als 1 heraus (etwa 6,67), dreh den Bruch um. Faustregel: günstig oben, möglich unten.
- \( |\Omega| \) falsch abgezählt. Ursache: Es wird die Zahl der Kategorien statt die Zahl der Ergebnisse genommen – also 3 statt 60, weil es drei Holzarten gibt. Vermeidung: \( |\Omega| \) ist immer die Gesamtzahl der einzelnen Dinge, aus denen gezogen wird. Kontrolliere mit der Summenprobe: Alle Teilanzahlen zusammen müssen genau \( |\Omega| \) ergeben.
- Beim zusammengesetzten Ereignis multipliziert statt addiert. Ursache: Aus dem einstufigen Ziehen wird gedanklich ein mehrstufiges gemacht. Vermeidung: Bei einem Zug gibt es keine Pfade. Addiere die günstigen Ergebnisse (\( 10 + 40 = 50 \)) und teile erst dann. Multipliziert wird erst bei mehrstufigen Experimenten – dort entlang eines Pfades.
- Gegenereignis falsch berechnet. Ursache: Statt \( 1 – P(A) \) wird \( -P(A) \) oder \( \frac{1}{P(A)} \) gerechnet. Vermeidung: Es gilt \( P(A) + P(\overline{A}) = 1 \), also \( P(\overline{A}) = 1 – P(A) \). Kontrolle: Beide Werte müssen sich am Ende zu genau 1 bzw. 100 % addieren. Bei Aufgaben mit „mindestens“ oder „höchstens“ ist der Weg über das Gegenereignis fast immer der kürzere.
- Prozentzahl und Wahrscheinlichkeit vermischt. Ursache: 0,15 wird als „0,15 %“ hingeschrieben, oder 15 wird zum Weiterrechnen verwendet. Vermeidung: \( 0{,}15 = 15\ \% \). Rechne stets mit der Dezimal- oder Bruchform und setze das Prozentzeichen erst im Antwortsatz. Und kürze den Bruch vollständig – \( \frac{9}{60} \) ist nicht fertig, \( \frac{3}{20} \) schon.
- Laplace-Wahrscheinlichkeit mit relativer Häufigkeit verwechselt. Ursache: Beide sehen als Bruch gleich aus. Vermeidung: Die relative Häufigkeit ist gemessen (durch Versuche gewonnen und von der Versuchszahl abhängig), die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist berechnet (durch Abzählen des Ergebnisraums, immer derselbe Wert). Formuliere entsprechend: „Die Wahrscheinlichkeit beträgt 15 %“ – nicht „etwa 15 %“.
- Antwortsatz und Sachbezug fehlen. Ursache: Nach dem gekürzten Bruch scheint die Aufgabe fertig. Vermeidung: Schreibe immer einen vollständigen Satz, der die Zahl deutet – etwa „Rund jedes siebte Brett hat ein Astloch.“ Genau darauf zielen die Sachaufgaben der Abschlussprüfung.
Weiterlernen
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist die Grundlage für mehrstufige Zufallsexperimente: Sobald du mehrmals hintereinander ziehst oder würfelst, kombinierst du mehrere Laplace-Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen und Pfadregeln zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit. Außerdem lohnt sich ein Rückblick auf die empirische relative Häufigkeit aus Klasse 8, um den Unterschied zwischen „geschätzt durch Experimentieren“ und „berechnet durch Abzählen“ sicher zu beherrschen.
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